第九講幾何綜合問題這一講我們學(xué)習(xí)幾何綜合題，題型是復(fù)雜而巧妙的．這種問題往往需要我們有點(diǎn)武俠小說中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧勁．比如已知一個面積為2的正方形，求邊長為其兩倍的正方形的面積．把邊長具體數(shù)值求出來，用邊長的關(guān)系來計(jì)算面積的想法是不可行的．而且事實(shí)上也是沒必要的，我們可以把面積為2的正方形邊長設(shè)為，它的兩倍為，則，以為邊長的正方形面積為．我們再來看幾個用類似想法解決的問題．本講知識點(diǎn)匯總：巧用面積公式，利用圖形面積之間的和差關(guān)系來求解圖形面積．圓與直角三角形中利用勾股定理．同底三角形利用“”求面積和，“”求面積差．不去考慮每塊圖形的面積，而是將若干塊圖形放在一起，考慮其面積之間的和差關(guān)系．輔助線與幾何變換．通過割、補(bǔ)，將圖形的變?yōu)橐?guī)則圖形，以便于分析．通過幾何變換（翻轉(zhuǎn)、對稱）等，將圖形變得易于求解．圖形運(yùn)動．

能夠正確地畫出簡單幾何圖形（如圓等）在運(yùn)動過程中所掃過區(qū)域的邊界，并求解相關(guān)的長度和面積．

如圖，陰影部分的面積是25平方厘米，求圓環(huán)的面積．（取3.14）

OBDCA

OBDCA練習(xí)1、下圖中陰影部分的面積是40平方厘米，求圓環(huán)的面積．（取3.14）

O

O如圖，在長方形ABCD中，厘米，厘米，P為BC上一點(diǎn)，PQ垂直于AC，PR垂直于BD．求PQ與PR的長度之和．

CAQBDPRO

「分析」如果這道題只是要嘗試出一個結(jié)果的話，我們只要讓P取特殊點(diǎn)，例如取成B點(diǎn)，所求的長度之和就是B點(diǎn)到AC邊的距離．但PQ與PR的長度之和是否是一個固定的值呢？

練習(xí)2、如圖，在面積為72的正方形中，P為CD邊上一點(diǎn)，PQ與BD垂直，PR與ACCAQBDPROA A B D C P Q R O 如圖，P為長方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)．三角形PAB的面積為5，三角形PBC的面積為13．請問：三角形PBD的面積是多少？

BBCAPD「分析」直接用面積公式或者比例關(guān)系來求三角形PBD面積，顯然不可行．那么還有什么方法可以用來求三角形PBD面積呢？

練習(xí)3、如圖，P為長方形ABCD外的一點(diǎn)．三角形PAB的面積為7，三角形PBC的面積為20，三角形PCD的面積為4．請問：三角形PAD的面積是多少？三角形PAC的面積又是多少？

PPABCD中國古代的幾何學(xué)形的研究屬于幾何學(xué)的范疇．古代民族都具有形的簡單概念，并往往以圖畫來表示，而圖形之所以成為數(shù)學(xué)對象，便是由工具的制作與測量的要求所促成的．規(guī)矩以作圓方，中國古代夏禹泊水時即已有規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等測量工具．《史記》“夏本紀(jì)”記載說：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”．“規(guī)”是圓規(guī)，“矩”是直角尺，“準(zhǔn)繩”則是確定鉛垂方向的器械．這些都說明了早期幾何學(xué)的應(yīng)用．從戰(zhàn)國時代的著作《考工記》中也可以看到與手工業(yè)制作有關(guān)的實(shí)用幾何知識．戰(zhàn)國時期墨子所寫的《墨經(jīng)》中，對一系列的幾何概念進(jìn)行抽象概括，作出了科學(xué)的定義．《周髀算經(jīng)》與劉徽的《海島算經(jīng)》則給出了用矩觀測天地的一般方法與具體公式．在《九章算術(shù)》及劉徽注解的《九章算術(shù)》中，除勾股定理外，還提出了若干一般原理以解決多種問題．例如求任意多邊形面積的出入相補(bǔ)原理；求多面體體積的劉徽原理；5世紀(jì)祖暅提出的用以求曲形體積特別是球的體積的“冪勢既同則積不容異”的原理；以內(nèi)接正多邊形逼近圓周長的極限方法（割圓術(shù)）等．

如圖，一個六邊形的6個內(nèi)角都是120，其連續(xù)四邊的長依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米．求這個六邊形的周長．

1995

「分析」所給六邊形各內(nèi)角都是120°，這使我們聯(lián)想到正六邊形．在求解與正六邊形有關(guān)的題目時，最常用的方法有兩種：一種是“割”，一種是“補(bǔ)”．“割”是指把六邊形分割干個邊長或面積為1的正三角形；“補(bǔ)”是指在正六邊形中取出三條互不相鄰的邊來延長，補(bǔ)成一個正三角形．這兩種方法對本題適用嗎？

練習(xí)4、一個六邊形的6個內(nèi)角都是1201995666 如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，．請問：四邊形ABCD的面積是多少？

ABCD

「分析」本題的條件讓人感覺很別扭，雖然，但它們并不是緊挨著的；雖然，但它們也不是緊挨著的．那究竟對這個圖形做怎樣的變換，才能讓那些應(yīng)該緊挨著的角真正挨在一起呢？

ABCD如圖，一塊半徑為2厘米的圓板，從位置①開始，依次沿線段AB、BC、CD滾到位置②．如果AB、BC、CD的長都是20厘米，那么圓板掃過區(qū)域的面積是多少平方厘米？（取3.14，答案保留兩位小數(shù)．）

AC21120BD

AC21120BD中國古代的幾何學(xué)中國古代的幾何學(xué)形的研究屬于幾何學(xué)的范疇．古代民族都具有形的簡單概念，并往往以圖畫來表示，而圖形之所以成為數(shù)學(xué)對象，便是由工具的制作與測量的要求所促成的．規(guī)矩以作圓方，中國古代夏禹泊水時即已有規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等測量工具．《史記》“夏本紀(jì)”記載說：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”．“規(guī)”是圓規(guī)，“矩”是直角尺，“準(zhǔn)繩”則是確定鉛垂方向的器械．這些都說明了早期幾何學(xué)的應(yīng)用．從戰(zhàn)國時代的著作《考工記》中也可以看到與手工業(yè)制作有關(guān)的實(shí)用幾何知識．戰(zhàn)國時期墨子所寫的《墨經(jīng)》中，對一系列的幾何概念進(jìn)行抽象概括，作出了科學(xué)的定義．《周髀算經(jīng)》與劉徽的《海島算經(jīng)》則給出了用矩觀測天地的一般方法與具體公式．在《九章算術(shù)》及劉徽注解的《九章算術(shù)》中，除勾股定理外，還提出了若干一般原理以解決多種問題．例如求任意多邊形面積的出入相補(bǔ)原理；求多面體體積的劉徽原理；5世紀(jì)祖暅提出的用以求曲形體積特別是球的體積的“冪勢既同則積不容異”的原理；以內(nèi)接正多邊形逼近圓周長的極限方法（割圓術(shù)）等．課堂內(nèi)外

作業(yè)圖1如果圖1中的圓環(huán)面積為12.56，陰影部分的內(nèi)外兩側(cè)都是正方形，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）

圖1PABCD圖3ABCDEF圖2如圖2，等腰三角形ABC中，，．為邊上的一點(diǎn)，DE與AB垂直，DF與PABCD圖3ABCDEF圖2如圖3，P為長方形ABCD外的一點(diǎn)．三角形PAB的面積為5，三角形PBC的面積為30，三角形PCD的面積為24．