北師大版·九年級上冊1.1菱形的性質(zhì)與判定

第2課時

第一章

特殊平行四邊形學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)1.經(jīng)歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判定定理;（重點）2.會用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計算.（難點）問題2:菱形作為特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的一般性質(zhì)外，還有哪些獨特性質(zhì)？知識回顧問題1:菱形的定義是什么？一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對稱性：既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形（2條對稱軸）.性質(zhì)定理1：菱形的四條邊都相等.性質(zhì)定理2：菱形的對角線互相垂直.每條對角線平分一組對角.

菱形經(jīng)常用于生活中，例如建筑、窗戶、地板磚等.工匠制作菱形窗花時，如何在沒有定義的情況下，通過測量或折疊的方法確保圖形是菱形？”情境引入例如：測量四條邊是否相等；測量對角線是否互相垂直平分；先制作平行四邊形框架，再調(diào)整對角線是否垂直。

這些生活中的操作方法，背后蘊含著怎樣的數(shù)學(xué)原理？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的菱形的判定。新知探究

探究：菱形的判定根據(jù)菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

除此之外，你認(rèn)為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是菱形?先想一想，再與同伴交流。AB=AD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形.幾何語言：ABCD定義法.新知探究小組活動：我們用一長一短兩根細(xì)木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可以轉(zhuǎn)動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動木條,這個平行四邊形什么時候變成菱形?對此你有什么猜想？猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明這一猜想嗎？新知探究驗證猜想：已知:如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD交于點O，AC⊥BD.求證:□ABCD是菱形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴直線BD是線段AC的垂直平分線，∴BA＝BC，∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義).新知探究菱形的判定定理1：知識歸納幾何語言：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.AC⊥BDABCD菱形ABCDABCD□ABCD對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.新知探究1.下列結(jié)論正確的是（

）A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.對角線垂直且平分的四邊形是菱形C.對角線互相平分的平行四邊形是菱形D.對角線垂直且相等的四邊形是菱形B

已知線段AC，你能用尺規(guī)作圖的方法作一個菱形ABCD，使AC為菱形的一條對角線嗎？議一議AC新知探究你是怎么做的？你認(rèn)為小剛的作法正確嗎？與同伴進(jìn)行交流.BD

ABCD已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.新知探究轉(zhuǎn)化成幾何語言思考：根據(jù)小剛的作法你有什么猜想？你能驗證小剛的作法對嗎？

猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.證明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD,BC=AD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形. 又∵AB=BC, ∴四邊形ABCD是菱形.驗證猜想：新知探究菱形的判定定理2：知識歸納四條邊都相等的四邊形是菱形.幾何語言：∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形.AB=BC=CD=ADABCD菱形ABCD四邊形ABCDABCD2.下列條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是（

） A.AC⊥BD,AC與BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BDABCOD新知探究C做一做你能用折紙的辦法得到一個菱形嗎？動手試一試.新知探究你能說說小穎這樣做的道理嗎？

先將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，將紙展開，就得到了一個菱形.新知探究展開ABCDO依據(jù)菱形的判定定理：菱形的判定定理之一是四條邊相等的四邊形是菱形。小穎通過折紙和裁剪得到的圖形四條邊相等，滿足菱形的判定條件，所以這個圖形是菱形。

例1ABCDO典例分析

如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)，求證：四邊形AFCE是菱形.

AEDBFCO例2典例分析證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥FC，∴∠EAC＝∠FCA.∵EF垂直平分AC，∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO＝FO，∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題1.下列命題中正確的是(

)A.對角線相等的四邊形是菱形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.對角線相等的平行四邊形是菱形

D.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形2.如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是菱形四邊的中點，連接EG與FH交點于O，則圖中的菱形共有（

）A.4個

B.5個

C.6個

D.7個DB鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題3.如圖，下列條件能使□ABCD是菱形的是(

)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A.①③

B.②③

C.③④

D.①③④4.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中點分別為點D，F(xiàn)，E，則四邊形AFDE是(

)A.菱形

B.長方形

C.正方形

D.以上都不對DA鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題5.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF.（1）求證：AF＝DB；（2）求證：四邊形ADCF是菱形.證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵△ABC是直角三角形，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，∴AE＝DE，BD＝CD.在△AFE和△DBE中，∠AFE＝∠DBE,∠FEA＝∠BED,AE＝DE，∴△AFE≌△DBE,∴AF＝BD.鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題（2）由（1）知，AF＝BD,∵BD＝CD,∴AF＝CD.∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形.∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，∴AD＝DC，∴四邊形ADCF是菱形.6.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求證：四邊形AEFG是菱形.鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題證明：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC，∴AE=FE，∵∠ACE=∠ECF，∴△AEC≌△FEC，∴AC=FC.∵CG=CG，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAG

=∠CFG

=∠B，∴GF∥AE.∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADF=∠EFB=90°∴AG∥EF，∴四邊形AGFE是平行四邊形又∵AG=GF（或AE=EF），∴