蘇科版·九年級(jí)上冊(cè)1.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

第一章

一元二次方程章節(jié)導(dǎo)讀學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)12探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及其逆用，并證明掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并解決求值、求參等問(wèn)題知識(shí)回顧1.一元二次方程ax2

+

bx

+

c

=

0(a≠0)的求根公式：2.一元二次方程ax2

+

bx

+

c

=

0(a≠0)的根的情況：

①當(dāng)Δ

>0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ

=0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ

<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。新知探究思

考1.完成下表并觀察一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？x1x2x1+x2x1·x2x2

-3x

+2=012x2

+3x

+2=0-1-2x2

-5x

+6=023x2

+5x

+6=0-2-3x2

-3x

=00332-3256-5630兩根的和與一次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)兩根的積與常數(shù)項(xiàng)相等新知探究思

考1.完成下表并觀察一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？【猜想】若x2+px

+q=0的兩個(gè)根是x1，x2，則x1

+

x2

=-p，x1·x2

=

q。新知探究思

考

新知探究思

考3.求出方程3x2-7x+4=0的解，再驗(yàn)證這個(gè)方程的根與系數(shù)是否有2.中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系。

x1+x2x1·x2∴這個(gè)方程的根與系數(shù)有2.中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系。新知探究

證

明

新知探究

知識(shí)要點(diǎn)典例分析典例1

完成下列表格。方法技巧

Δ=b2-4acx1+x2x1·x2x2

-2x

-3=02x2

-x

-10=04x2

+17x

+4=04x2

-4x

+1=0x2

+4x

+5=016>02-381>0-5225>0101-4<0××再次強(qiáng)調(diào)：韋達(dá)定理的使用前提：Δ=b2-4ac

≥

0典例分析典例2

完成下列表格。x1+x2x1·x2x12+x22|x1-x2|x2

-2x

-3=02-32x2

-x

-10=0-54x2

+17x

+4=014x2

-4x

+1=011040方法技巧

新知探究與x1+x2，x1·x2有關(guān)的常見(jiàn)變形公式：知識(shí)要點(diǎn)典例分析典例3

已知ax2

+

bx

+

c

=

0(a≠0)的兩根之和5，兩根之積是6，則原方程可能為_(kāi)_________________。

x2-5x

+6=0方法技巧解題關(guān)鍵：若已知兩根的和、兩根的積，則可先用韋達(dá)定理，將條件轉(zhuǎn)化為系數(shù)之間的關(guān)系式，再進(jìn)一步求解。新知探究韋達(dá)定理的逆用：

若一元二次方程的兩個(gè)根x1，x2滿足x1

+x2

=

m，x1·x2

=

n，

則這個(gè)方程可以記為a(x2

-mx

+n)=0(a≠0)。知識(shí)要點(diǎn)題型探究【例1】關(guān)于x的一元二次方程5x2

-

4x

+

k

=

0的一個(gè)根為1，則它的另一個(gè)根是________。已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根題型一此題型默認(rèn)b2-4ac≥0，可直接用韋達(dá)定理

題型探究求關(guān)于根的代數(shù)式的值—對(duì)稱型題型二【例2】(1)已知a、b是一元二次方程2x2

+

3x

-

4

=

0的兩個(gè)根，那么ab2

+

a2b的值是________；

此題型默認(rèn)b2-4ac≥0，可直接用韋達(dá)定理3題型探究求關(guān)于根的代數(shù)式的值—對(duì)稱型題型二【例2】(2)已知實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2

-

6a

+

4

=

0，b2

-

6b

+

4

=

0，且a

≠

b，則a2

+

b2的值為（）A．36

B．50

C．28

D．25(2)∵a2

-

6a

+

4

=

0，b2

-

6b

+

4

=

0，且a

≠

b，∴a、b可看作方程x2

-

6x

+

4

=

0的兩根，∴a

+

b

=

6，ab

=

4，∴a2

+

b2

=

(a+b)2

-2ab

=

62

-

2

×

4

=

28。C題型探究求關(guān)于根的代數(shù)式的值—非對(duì)稱型題型三【例3】(1)已知方程x2

-

2x

-

2

=

0的兩根分別為x1，x2，則x12

-x22

+

4x2的值為_(kāi)_______；解：(1)∵x2

-

2x

-

2

=

0的兩根分別為x1，x2，∴x1

+x2

=2，x1·x2

=-2，∴x12

-

x22

+

4x2

=(x1

+x2

)(x1

-

x2

)

+

4x2=

2

(x1

-x2

)+

4x2

=2(

x1

+x2

)=4；4此題型默認(rèn)b2-4ac≥0，可直接用韋達(dá)定理解題方法與策略：先通過(guò)韋達(dá)定理代值將非對(duì)稱型的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱型題型探究求關(guān)于根的代數(shù)式的值—非對(duì)稱型題型三【例3】(2)若α、β為x2

+

2x

-

4

=

0的兩根，則a2

+

αβ

+

2α的值為_(kāi)_______。(2)∵α、β為x2

+

2x

-

4

=

0的兩根，∴α2

+

2α

-

4

=

0，αβ

=

-4，∴α2

=

-2α

+

4，∴a2

+

αβ

+

2α

=

-2α

+

4

+

αβ

+

2α

=4

+

αβ=

4

+(-4)

=

0。0解題方法與策略：先通過(guò)原方程式降次將非對(duì)稱型的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱型等式左邊是二次，右邊是一次，從左到右，可以達(dá)到“降次”的目的題型探究已知方程的兩根，求參數(shù)題型四【例4】若關(guān)于x的方程2x2

+

mx

+

n=

0的根是x1

=

-1，x2

=3，則m+

n=

________。

此題型默認(rèn)b2-4ac≥0，可直接用韋達(dá)定理-10題型探究已知方程兩根的關(guān)系式，求參數(shù)題型五【例5】若關(guān)于x的方程x2

+(2

-

k

)x

+

k2

=

0的兩根互為倒數(shù)，則k

=（）A．3

B．1

C．-1

D．±1判斷下列做法是否正確：解：∵關(guān)于x的方程x2

+(2

-

k

)x

+

k2

=

0的兩根互為倒數(shù)，∴x1·x2

=

k2=1，解得：k

=

1或k

=

-1。兩個(gè)條件：①兩個(gè)實(shí)數(shù)根②兩根互為倒數(shù)當(dāng)k

=

1時(shí)，方程為x2

+

x

+1=

0，∵Δ=

b2-4ac=1-4=-3<0，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，與題意不符。題型探究已知方程兩根的關(guān)系式，求參數(shù)題型五【例5】若關(guān)于x的方程x2

+(2

-

k

)x

+

k2

=

0的兩根互為倒數(shù)，則