蘇科版·九年級(jí)上冊(cè)1.4用一元二次方程解決問題

第一章

一元二次方程章節(jié)導(dǎo)讀學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)12能由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，掌握用一元二次方程解決問題的一般步驟能用一元二次方程解決圖形面積問題、增長(zhǎng)率問題、商品銷售問題、動(dòng)態(tài)幾何問題、數(shù)字問題等知識(shí)回顧1.用一元一次方程解決問題的一般步驟：步驟注意點(diǎn)（一）審審題，明確已知未知，找出等量關(guān)系等量關(guān)系關(guān)鍵句中找（二）設(shè)設(shè)未知數(shù)一般要帶單位（三）列根據(jù)等量關(guān)系列方程方程兩邊單位要統(tǒng)一（四）解選擇合適的方法解方程一般不必寫出解方程的過程（五）驗(yàn)檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否滿足方程，檢驗(yàn)該值在實(shí)際問題中是否有意義若不符合實(shí)際意義，要舍去（六）答寫出實(shí)際問題的答案注意帶上單位新知探究知識(shí)要點(diǎn)類似地，用一元二次方程解決問題的一般步驟：步驟注意點(diǎn)（一）審審題，明確已知未知，找出等量關(guān)系等量關(guān)系關(guān)鍵句中找（二）設(shè)設(shè)未知數(shù)一般要帶單位（三）列根據(jù)等量關(guān)系列方程方程兩邊單位要統(tǒng)一（四）解選擇合適的方法解方程一般不必寫出解方程的過程（五）驗(yàn)檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否滿足方程，檢驗(yàn)該值在實(shí)際問題中是否有意義若不符合實(shí)際意義，要舍去（六）答寫出實(shí)際問題的答案注意帶上單位典例分析圖形面積典例1

如圖，在寬為20m，長(zhǎng)為38m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪。要使草坪的面積為540m2，求道路的寬。如果設(shè)小路寬為x

m，根據(jù)題意，所列的方程為_______________________?！痉治觥康攘筷P(guān)系：草坪的面積為540m2解：∵小路寬為x

m，∴種植草坪的部分可合成長(zhǎng)為(38

-

x

)m，寬為(20-

x

)m的矩形，由題意可得：(20-

x

)(38

-

x

)=

540。(20-

x

)(38

-

x

)=

540新知探究知識(shí)要點(diǎn)

原數(shù)量第一輪第二輪aa(1+x)a(1+x)2典例分析增長(zhǎng)率

典例2

小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)題意可列方程為___________________。第一天攬件數(shù)（單位：件）第二天攬件數(shù)（單位：件）第三天攬件數(shù)（單位：件）200200(1+x

)242200(1+x

)2【分析】等量關(guān)系：200(1+x

)2=242200(1+x

)2=242新知探究知識(shí)要點(diǎn)

原數(shù)量第一輪第二輪aa(1-x)a(1-x)2典例分析下降率

典例3

某一芯片實(shí)現(xiàn)國(guó)產(chǎn)化后，經(jīng)過兩次降價(jià)，每塊芯片單價(jià)由256元降為196元。若兩次降價(jià)的百分率相同，設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則根據(jù)題意可列方程為___________________。原價(jià)（單位：元/塊）經(jīng)第一次降價(jià)后的價(jià)格（單位：元/塊）經(jīng)第二次降價(jià)后的價(jià)格（單位：元/塊）256256(1+x

)196256(1-x

)2【分析】等量關(guān)系：256(1-x

)2

=196256(1-x

)2=196典例分析商品銷售

典例4

某商店經(jīng)銷一批小家電，每個(gè)小家電成本40元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，定價(jià)為50元時(shí)，可銷售200個(gè)，定價(jià)每增加1元，銷售量將減少10個(gè)，如果商店進(jìn)貨后全部銷售完，賺了2160元，該小家電定價(jià)是____________元?！痉治觥康攘筷P(guān)系：每個(gè)的銷售利潤(rùn)

×

銷售數(shù)量

=

總利潤(rùn)2160元解：設(shè)該小家電定價(jià)時(shí)x元，則每個(gè)的銷售利潤(rùn)為(x

-

40)元，可銷售[

200

-

10(x

-

50)]個(gè)，由題意可得：(x

-

40)[

200

-

10(x

-

50)]

=

2160，整理得：x2

-

110x

+

3016

=

0，解得：x1

=

52，x2

=

58，經(jīng)檢驗(yàn)，兩解都成立，答：該小家電定價(jià)是52元或58元。52或58典例分析動(dòng)態(tài)幾何

典例5

如圖，在Rt△ABC中，∠C

=

90°，AC

=

12cm，BC

=

9cm?，F(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t

s，當(dāng)t為何值時(shí)，Rt△CPQ的面積等于5cm2？

典例分析數(shù)字

典例6

一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這兩位數(shù)小4，設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則可列方程為_____________________________。解：由題意可得：十位數(shù)字是(x

+

4)，這個(gè)兩位數(shù)是[10(x

+

4

)+

x

]，∴x2

+

(x

+

4)2

=

10(x

+

4)+

x

-

4?！痉治觥康攘筷P(guān)系：(個(gè)位數(shù)字)2+(十位數(shù)字)2=這個(gè)兩位數(shù)-4x2

+(x

+

4)2

=

10(x

+

4)+

x

-

4題型探究【例1】如圖，用一面足夠長(zhǎng)的墻為一邊，其余三邊用總長(zhǎng)36米的圍欄建兩個(gè)面積相同的生態(tài)園，由于場(chǎng)地限制，垂直于墻的一邊長(zhǎng)不超過6米。（圍欄寬忽略不計(jì)）(1)每個(gè)生態(tài)園的面積為48平方米，求每個(gè)生態(tài)園的邊長(zhǎng)；(2)每個(gè)生態(tài)園的面積能否達(dá)到60平方米？請(qǐng)說明理由。圖形面積問題題型一

【分析】(1)等量關(guān)系：生態(tài)園的面積為48平方米題型探究【例1】如圖，用一面足夠長(zhǎng)的墻為一邊，其余三邊用總長(zhǎng)36米的圍欄建兩個(gè)面積相同的生態(tài)園，由于場(chǎng)地限制，垂直于墻的一邊長(zhǎng)不超過6米。（圍欄寬忽略不計(jì)）(1)每個(gè)生態(tài)園的面積為48平方米，求每個(gè)生態(tài)園的邊長(zhǎng)；(2)每個(gè)生態(tài)園的面積能否達(dá)到60平方米？請(qǐng)說明理由。圖形面積問題題型一

【分析】(2)等量關(guān)系：生態(tài)園的面積為60平方米題型探究增長(zhǎng)率/下降率問題題型二【例2】(1)某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)2022年的新注冊(cè)用戶數(shù)為100萬，2024年的新注冊(cè)用戶數(shù)為169萬，設(shè)新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x

(x>0)，則x

=_______；2022年的用戶數(shù)（單位：萬）2023年的用戶數(shù)（單位：萬）2024年的用戶數(shù)（單位：萬）100100(1+x

)169100(1+x

)2解：(1)由題意可得：100(1+x

)2

=

169，解得：x1

=

0.3

=

30%，x2

=

-2.3（不合題意，舍去）。【分析】(1)等量關(guān)系：100(1+x

)2

=

16930%題型探究增長(zhǎng)率/下降率問題題型二【例2】(2)某商品原價(jià)每件75元，兩次降價(jià)后每件48元，則平均每次的降價(jià)百分率是_______。原價(jià)（單位：元/件）經(jīng)第一次降價(jià)后的價(jià)格（單位：元/件）經(jīng)第二次降價(jià)后的價(jià)格（單位：元/件）7575(1-x

)4875(1-x

)2解：(2)設(shè)平均每次的降價(jià)百分率是x，由題意可得：75(1-x

)2

=48，解得：x1

=

0.2=20%，x2

=1.8（不合題意，舍去），∴平均每次的降價(jià)百分率是20%?！痉治觥?2)等量關(guān)系：75(1-x)2=4820%題型探究商品銷售問題題型三【例3】某商店銷售甲、乙兩種商品，甲的成本為5元，乙的成本為7元。甲現(xiàn)在的售價(jià)為10元，每天賣出30個(gè)；售價(jià)每提高1元，每天少賣出2個(gè)。乙現(xiàn)在的售價(jià)為14元，每天賣出6個(gè)；售價(jià)每降低1元，每天多賣出4個(gè)。假定甲、乙兩種商品每天賣出的數(shù)量和不變（和為36袋），且售價(jià)均為整數(shù)。(1)當(dāng)甲的售價(jià)提高x元，乙的售價(jià)為__________元；（用含x的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)甲的售價(jià)提高多少元時(shí)，銷售這兩種商品當(dāng)天的總利潤(rùn)是268元？

題型探究商品銷售問題題型三

【分析】(2)等量關(guān)系：甲的銷售利潤(rùn)

×

甲的銷售數(shù)量+乙的銷售利潤(rùn)

×

乙的銷售數(shù)量

=

總利潤(rùn)268元

題型探究動(dòng)態(tài)幾何問題題型四

題型探究動(dòng)態(tài)幾何問題題型四

題型探究動(dòng)態(tài)幾何問題題型四

題型探究數(shù)字問題題型五【例5】一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是多少？解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字是(x

-

3)，這個(gè)兩位數(shù)是[10(x

-

3)+

x]，由題意可得：x2

=

10

(x

-

3)+

x，整理得：x2

-

11x

+

30

=

0，解得：x1

=

5，x2

=

6，當(dāng)x

=

5時(shí)，x

-

3

=

2，則這個(gè)兩位數(shù)是25；當(dāng)x

=6時(shí)，x

-

3

=3，則這個(gè)兩位數(shù)是36；答：這個(gè)兩位數(shù)是25或36?！痉治觥康攘筷P(guān)系：