蘇科版·九年級(jí)上冊(cè)2.4.2圓周角——圓內(nèi)接四邊形

第二章

對(duì)稱圖形——圓章節(jié)導(dǎo)讀學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)12理解圓的內(nèi)接四邊形、四邊形的外接圓的概念掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)3掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的判定，能構(gòu)造輔助圓知識(shí)回顧1.確定圓的條件？CABO不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。知識(shí)回顧2.三角形的外接圓？圓的內(nèi)接三角形？三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。CABO新知探究思

考1.過(guò)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)能畫一個(gè)圓嗎？D3D2CABOD1如圖，過(guò)四邊形ABCD1的4個(gè)頂點(diǎn)能畫一個(gè)圓；但是，過(guò)四邊形ABCD2、四邊形ABCD3的4個(gè)頂點(diǎn)不能畫一個(gè)圓；∴過(guò)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)不一定能畫一個(gè)圓。新知探究思

考

三角形的3個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上這個(gè)圓叫做三角形的外接圓這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形CABOD這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形新知探究

知識(shí)要點(diǎn)CDABO新知探究思

考1.

如圖，在?O的內(nèi)接四邊形ABCD中，BD是?O的直徑，問(wèn)：∠A與∠C、∠ABC與∠ADC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：∵BD是?O的直徑，∴∠A=90°，∠C=90°，∴∠A+∠C=180°，又∵四邊形內(nèi)角和是360°，∴∠ABC+∠ADC=180°。【總結(jié)】在此情況下，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。CADBO新知探究思

考2.如圖，圓心O不在?O的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線上，問(wèn)：上述結(jié)論是否仍然成立?

CADBOE【總結(jié)】圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。新知探究思

考

CADBO3.還有其他證明“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”的方法嗎？【提示：從圓周角的知識(shí)入手】新知探究圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。eg：如圖，∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。知識(shí)要點(diǎn)CDABO典例分析典例1

如圖，B、C、D是?O上的三個(gè)點(diǎn)，已知∠C=105°，求∠BOD的度數(shù)？CDBO解：設(shè)點(diǎn)A是優(yōu)弧BD上一點(diǎn)(不與B、D重合)，連接AB、AD，由題意可得：四邊形ABCD是?O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=105°，∴∠A=75°，∴∠BOD=2∠A=150°。A方法技巧解題關(guān)鍵：構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求圓心角所對(duì)的圓周角的度數(shù)。

新知探究探

究如圖，四邊形ABCD是?O的內(nèi)接四邊形，∠BAE是∠BAD的外角，問(wèn)

：∠C與∠BAE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：∵四邊形ABCD是?O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠C=180°，又∵∠BAD+∠BAE=180°，∴∠C=∠BAE?！究偨Y(jié)】圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。CDABOE新知探究圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的推論：

圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。eg：如圖，∠C=∠BAE。知識(shí)要點(diǎn)CDABOE典例分析典例2

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M為邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。若∠AOC=110°，則∠ABM的度數(shù)是（）A．45° B．50°

C．55° D．70°

CABODMC方法技巧解題關(guān)鍵：套用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的推論。注意：選填小題可直接使用該推論，但解答題需證明。新知探究思

考在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，問(wèn)：A、B、C、D四點(diǎn)共圓嗎？用假設(shè)法：已知不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，則可假設(shè)第四個(gè)點(diǎn)不在圓上第四個(gè)點(diǎn)不在圓上，即第四個(gè)點(diǎn)在圓外或圓內(nèi)新知探究思

考在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，問(wèn)：A、B、C、D四點(diǎn)共圓嗎？解：A、B、C三點(diǎn)可確定?O，①

假設(shè)點(diǎn)D在圓外，延長(zhǎng)AD交?O于點(diǎn)E，連接CE，由題意可得：四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B

+

∠AEC=180°，∵∠B+∠D=180°，∴∠AEC=∠D，與三角形的外角定理矛盾，故假設(shè)不成立。CABODE新知探究思

考在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，問(wèn)：A、B、C、D四點(diǎn)共圓嗎？解：A、B、C三點(diǎn)可確定?O，②

假設(shè)點(diǎn)D在圓內(nèi)，延長(zhǎng)AD交?O于點(diǎn)E，連接CE，由題意可得：四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B

+

∠E=180°，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠E=∠ADC，與三角形的外角定理矛盾，故假設(shè)不成立。CABODE新知探究思

考在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，問(wèn)：A、B、C、D四點(diǎn)共圓嗎？綜上，點(diǎn)D在圓上，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓。CABODECABODE【總結(jié)】如果四邊形ABCD的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓。新知探究知識(shí)要點(diǎn)圓內(nèi)接四邊形的判定：

如果四邊形ABCD的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓。

eg：∵∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓。CADBO典例分析典例3

如圖，在?ABCD中，∠BAD為鈍角，且AE⊥BC，AF⊥CD。求證：A、E、C、F四點(diǎn)共圓。證明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC

=

∠AFC

=

90°，∴∠AEC

+

∠AFC

=

180°，∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓。CABDEF新知探究探

究在四邊形ABCD中，∠ADB=∠ACB，問(wèn)：A、B、C、D四點(diǎn)共圓嗎？

CABODE新知探究在四邊形ABCD中，∠ADB=∠ACB，問(wèn)：A、B、C、D四點(diǎn)共圓嗎？

CABODE探

究新知探究在四邊形ABCD中，∠ADB=∠ACB，問(wèn)：A、B、C、D四點(diǎn)共圓嗎？綜上，點(diǎn)D在圓上，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓?！究偨Y(jié)】如果四邊形ABCD中，∠ADB=∠ACB，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓。CABODECABODE探

究新知探究知識(shí)要點(diǎn)圓內(nèi)接四邊形的判定的其他結(jié)論：

如果四邊形ABCD中，

∠ADB=∠ACB或∠BAC=∠BDC或∠CBD=∠CAD或∠DCA=∠DBA，

那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓。

eg：∵∠ADB=∠ACB，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓。CADBO典例分析典例4

若在四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC=30°，∠ACB=75°，則∠ADB=________。

CDAB75°題型探究圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用題型一【例1】圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C

=

1：2：3，則∠D

=________。解：設(shè)∠A的度數(shù)為x，∵∠A：∠B：∠C

=

1：2：3，∴∠B的度數(shù)為2x，∠C的度數(shù)為3x，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=∠B

+

∠D

=

180°，∴x

+

3x

=

180°，解得：x

=

45°，∴∠B

=

2x

=

90°，∴∠D

=

90°。90°題型探究圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用題型一

55°OBCAD題型探究圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的推論的應(yīng)用題型二【例3】如圖，A、B、C是?O上三點(diǎn)，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠CBD

=

65°，則∠AOC

=________。解：點(diǎn)E是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)(不與A、B重合)，連接AE、CE，由題意可得：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠E

=

∠CBD

=

65°，∴∠AOC

=

2∠E

=

130°。130°OCABDE題型探究圓內(nèi)接四邊形的判定——輔助圓題型三【例4】如圖，已知等腰三角形ABC，∠ACB=120°，

且AC=BC=4，在平面內(nèi)任作∠APB=60°，BP的最大值為________。解：∵∠ACB=120°，∠APB=60°，∴A、P、B、C四點(diǎn)共圓，∴當(dāng)BP是圓的直徑時(shí)，BP最長(zhǎng)，∴∠PAB=90°，∴∠ABP=30°，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交PB于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為圓心，∵∠ACB=120°，且AC=BC=4，∴∠ACB=30°，∴∠BCO=60°，∴△OBC是等邊三角形，8PO∴OC=BC=4，∴BP=2OC=8。課堂小結(jié)圓內(nèi)接四邊形：

一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，

這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形