第1節(jié)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義；（2）理解排列、組合的概念；（3）能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；（4）能利用排列與組合的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理01.知識(shí)點(diǎn)二排列與組合02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1.

分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2

類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

?種不同

的方法.提醒

（1）每類方法都能獨(dú)立完成這件事；（2）各類方法之間是互斥的、

并列的、獨(dú)立的.m＋n

2.

分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不

同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.提醒

任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了才能完成這

件事.m×n

（1）有9本不同的語(yǔ)文書(shū)，7本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，5本不同的英語(yǔ)書(shū)，從

中選出不屬于同一學(xué)科的書(shū)2本，則不同的選法有（

C

）A.21種B.315種C.143種D.153種解析：

可分三類：一類：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)各1本，共有9×7＝63（種）；

二類：語(yǔ)文、英語(yǔ)各1本，共有9×5＝45（種）；三類：數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各1

本，共有7×5＝35（種），所以共有63＋45＋35＝143（種）不同選法.C（2）（2025·日照模擬）如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣

地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，則不同的著

色方法種數(shù)為（

C

）A.120B.150C.180D.200C解析：

先給地區(qū)Ⅰ染色有5種選擇，再給地區(qū)Ⅱ染色有4種選擇，然后

給地區(qū)Ⅲ染色有3種選擇，最后給地區(qū)Ⅳ染色也有3種選擇，綜上所述，滿

足題意的染色方法共有5×4×3×3＝180種.規(guī)律方法利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路（1）弄清完成一件事是做什么；（2）確定是先分類后分步，還是先分步后分類；（3）弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么；（4）利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.練1（1）已知直線方程Ax＋By＝0，若從0，1，2，3，5，7這六個(gè)數(shù)中每

次取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為A，B的值，則Ax＋By＝0可表示不同直線的

條數(shù)為（

）A.11B.15C.22D.25√解析：

當(dāng)A＝0時(shí)，可表示1條直線；當(dāng)B＝0時(shí)，可表示1條直線；當(dāng)

AB≠0時(shí)，A有5種選法，B有4種選法，可表示5×4＝20條不同的直線.由

分類加法計(jì)數(shù)原理，知共可表示1＋1＋20＝22條不同的直線.（2）〔多選〕設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2，3，3，4

條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則下列結(jié)論正確的

是（

）A.

從東面上山有20種走法B.

從西面上山有27種走法C.

從南面上山有30種走法D.

從北面上山有32種走法√√√解析：若從東面上山，則上山走法有2種，下山走法有10種，由分步乘法計(jì)

數(shù)原理可得共有20種走法；若從西面上山，則上山走法有3種，下山走法

有9種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有27種走法；若從南面上山，則上山

走法有3種，下山走法有9種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有27種走法；若

從北面上山，則上山走法有4種，下山走法有8種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可

得共有32種走法.故選A、B、D.

PART02知識(shí)點(diǎn)二排列與組合1.

排列與組合的定義名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素按照

?排成一列組合作為一組一定的順序

2.

排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)類別排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m

（m≤n）個(gè)元素的所

有

?的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)

元素的所有

?的個(gè)數(shù)公式

＝n（n－1）（n－

2）…（n－m＋1）＝

＝

＝

＝

性質(zhì)

＝

，0！

＝

?，

＝n

＝

＝1，

＝

，

＋

＝

不同排列

不同組合

n！

1

A.5B.20C.60D.120

D（2）（2024·桂林模擬）從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從2，4中任取1

個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

D

）A.8B.12C.18D.72D

（3）甲、乙、丙等7名學(xué)生準(zhǔn)備利用暑假時(shí)間從A，B，C三個(gè)社區(qū)中選

一個(gè)參加義務(wù)勞動(dòng)，若甲、乙、丙恰好去三個(gè)不同的社區(qū)，則所有不同的

選擇種數(shù)為

?.

486

A.

B.

C.

－1D.

－1

D（2）（2024·青島模擬）6個(gè)人分5張無(wú)座足球票，每人至多分1張，而且

票必須分完，那么不同的分法種數(shù)是（

A

）A.

B.

C.5！D.65

（3）一條鐵路線原有n個(gè)車站，為了適應(yīng)客運(yùn)需要，新增加了2個(gè)車站，

客運(yùn)車票增加了58種，則原有車站

個(gè).

A14提能點(diǎn)排列與組合的綜合應(yīng)用角度1

相鄰與相間問(wèn)題

（1）現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3

名男生相鄰排在一起，則不同的排法共有（

D

）A.

種B.

種C.

種D.

種D

（2）（2024·雙鴨山模擬）某智能手機(jī)的開(kāi)機(jī)密碼是六位數(shù)字，現(xiàn)甲準(zhǔn)

備將六位數(shù)202403中的6個(gè)數(shù)字打亂順序設(shè)為開(kāi)機(jī)密碼，若要求兩個(gè)2不相

鄰，兩個(gè)0相鄰，則不同的開(kāi)機(jī)密碼總個(gè)數(shù)為

.（答案用數(shù)字表示）

36規(guī)律方法

相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法是解決有限制條件的排

列問(wèn)題的常用方法.角度2

定序問(wèn)題

某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)的6名同學(xué)上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，若甲、乙、丙三人上臺(tái)的先

后順序已確定，則不同的上臺(tái)順序種數(shù)為（

B

）A.20B.120C.360D.720B

規(guī)律方法求解定序問(wèn)題的三種方法（1）倍縮法：可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排

列；（2）插入法：定序元素排好后，把剩下的元素依次插入即可；（3）空位法：在所有位置中先把定序元素之外的元素排好，剩下的空位

再排定序元素，就一種排法.角度3

分組、分配問(wèn)題

（1）某校要派4名教師到甲、乙兩個(gè)社區(qū)開(kāi)展志愿者服務(wù)，若每個(gè)教

師只去一個(gè)社區(qū)，且兩個(gè)社區(qū)都有教師去，則不同的安排方法有

（

B

）A.20種B.14種BC.10種D.7種

（2）（2024·大連二模）第二十一屆大連國(guó)際徒步大會(huì)即將召開(kāi)，現(xiàn)在

要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻

譯、安保、禮儀、服務(wù)四項(xiàng)不同工作，若小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工

作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，若每個(gè)工作僅需要一人且每人只能從

事一項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有

種.

36規(guī)律方法求解分組、分配問(wèn)題的方法（1）分配問(wèn)題中，目標(biāo)與數(shù)目確定的可以直接利用組合數(shù)及兩個(gè)計(jì)數(shù)原

理求解；（2）對(duì)于分配問(wèn)題，應(yīng)先分組后分配；（3）對(duì)于不均分分組問(wèn)題，即各組個(gè)數(shù)均不相同的問(wèn)題，可以直接按照

組數(shù)及各組的元素?cái)?shù)目利用組合數(shù)求解；（4）對(duì)于部分均分分組問(wèn)題，均分的部分可以參考平均分組問(wèn)題的求解

處理.練3（1）（2024·宿遷三模）甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相鄰，且

乙丙不相鄰，則不同排法共有（

B

）A.24種B.36種C.48種D.72種

B（2）（2024·邯鄲二模）某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開(kāi)演

前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排

在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為（

C

）A.12B.18C.20D.60解析：

根據(jù)題意，先將一個(gè)新節(jié)目插入已排成的節(jié)目單，有4種排

法，再將另一個(gè)新節(jié)目插入，有5種方法，所以共有4×5＝20（種）方法.

故選C.

C（3）（2024·廈門(mén)三模）某校5名同學(xué)到A、B、C三家公司實(shí)習(xí)，每名

同學(xué)只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學(xué).若同學(xué)甲去A公司，則不

同的安排方法共有

種.

30

種.PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題1.

有4封不同的信投入3個(gè)不同的信箱，可有不同的投入方法種數(shù)為

（

）A.81B.64C.27D.24解析：

每封信都有3種選擇，所以將4封不同的信投入3個(gè)不同的信箱，

共有34＝81（種）方法.12345678910111213141516√2.

如圖，只閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)將一條電路從A處到B處接通，可構(gòu)成線路的條

數(shù)為（

）A.8B.4C.5D.3解析：

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一條電路從A處到B處接通，A處并聯(lián)

電路開(kāi)關(guān)閉合一個(gè)，有2種方法，B處并聯(lián)電路開(kāi)關(guān)閉合一個(gè)，只能閉合下

面兩個(gè)中的一個(gè)，有2種方法，共有2×2＝4（種）方法.故選B.

√12345678910111213141516

A.11B.10C.9D.8

√123456789101112131415164.

（2025·蚌埠模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，平行直線x＋y－a＝0（a

＝0，1，2，3，4，5）與平行直線2x－y＋b＝0（b＝0，1，2，3，4，

5）組成的圖形中，平行四邊形共有（

）A.25個(gè)B.36個(gè)C.100個(gè)D.225個(gè)

√123456789101112131415165.

（2025·南京模擬）有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出3名醫(yī)生組成

一個(gè)醫(yī)療小組，且醫(yī)療小組中男、女醫(yī)生都要有，則不同的選法共有

（

）A.135種B.150種C.165種D.270種

√123456789101112131415166.

某單位開(kāi)展聯(lián)歡活動(dòng)，抽獎(jiǎng)項(xiàng)目設(shè)置了特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等

獎(jiǎng)、鼓勵(lì)獎(jiǎng)共五種獎(jiǎng)項(xiàng).甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎(jiǎng)票，開(kāi)獎(jiǎng)后

發(fā)現(xiàn)這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)都不相同.甲說(shuō)：“我不是鼓勵(lì)獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“我不是特

等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“我的獎(jiǎng)項(xiàng)介于丁和戊之間”.根據(jù)以上信息，這5人的獎(jiǎng)

項(xiàng)的所有可能的種數(shù)是（

）A.15B.18√C.22D.26

123456789101112131415167.

（2024·德州模擬）中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)

人民一個(gè)重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)

區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要

求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)

域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，

則不同的涂色方案有（

）A.550種B.630種C.720種D.840種√12345678910111213141516解析：

由題意可得，只需確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，即可確定整個(gè)

傘面的涂色.先涂區(qū)域1，有6種選擇，再涂區(qū)域2，有5種選擇，當(dāng)區(qū)域3與

區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；當(dāng)區(qū)

域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有5種選擇，故不同的涂色方案

有6×5×（4×4＋5）＝630（種）.故選B.

123456789101112131415168.

一輛七座（含司機(jī)）旅游客車載著6名游客前往某地游覽，6名游客返程

時(shí)恰有2名游客坐的是出發(fā)時(shí)的座位的方法數(shù)為（

）A.135B.150√C.165D.180

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題9.

下列說(shuō)法正確的是（

）A.88×89×90×…×100可表示為

B.

若把英文“hero”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有23種C.10個(gè)朋友聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)蓚€(gè)人握手一次，一共握手45次D.

學(xué)校有5個(gè)“市三好學(xué)生”名額，現(xiàn)分給3個(gè)年級(jí)，每個(gè)年級(jí)至少一個(gè)

名額，共有6種分法√√√12345678910111213141516

1234567891011121314151610.

（2024·佛山模擬）某學(xué)院派出甲、乙、丙、丁四名老師帶隊(duì)去A，

B，C，D四個(gè)地區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每名老師只能去一個(gè)地區(qū)，則下

列說(shuō)法正確的是（

）A.

若四個(gè)區(qū)都有人去，則共有24種不同的安排方法B.

若恰有一個(gè)區(qū)無(wú)人去，則共有36種不同的安排方法C.

若甲不去A區(qū)，且每個(gè)區(qū)均有人去，則共有18種不同的安排方法D.

若A區(qū)只能是甲去或乙去，且每個(gè)區(qū)均有人去，則共有16種不同的安排

方法√√12345678910111213141516

1234567891011121314151611.

現(xiàn)有4個(gè)小球和4個(gè)盒子，下面的說(shuō)法正確的是（

）A.

將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，共有24種放法B.

將4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，恰有兩個(gè)空盒的放

法共有18種C.

將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，恰有一個(gè)空盒的放

法共有144種D.

將編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，沒(méi)有一

個(gè)空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同的放法共有9種√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，沒(méi)有一個(gè)空盒

但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同，若（2，1，4，3）代表編號(hào)為1，2，

3，4的盒子放入的小球編號(hào)分別為2，1，4，3，所有符合要求的情況為

（2，1，4，3），（4，1，2，3），（3，1，4，2），（2，4，1，3），

（3，4，1，2），（4，3，1，2），（2，3，4，1），（3，4，2，1），

（4，3，2，1），共9種放法，故D正確.12345678910111213141516三、填空題12.

有5個(gè)身高均不相等的學(xué)生排成一排合影，最高的人站在中間，從中間

到左邊和從中間到右邊的身高都遞減，則不同的排法有

種.（用數(shù)字

作答）

61234567891011121314151613.

（2024·三明模擬）正三棱柱的各棱中點(diǎn)共9個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共

面的點(diǎn)，不同的取法共有

種.

1141234567891011121314151614.

（2024·新高考Ⅱ卷14題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求

每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有

種選法.在所有符合上

述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是

?.1121314012223342132233431524344424112解析：由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，所以共有4×3×2×1＝24種選法.12345678910111213141516法一（列舉法）每種選法可標(biāo)記為（a，b，c，d），a，b，c，d分別

表示第一、二、三、四行的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：（11，22，33，

44），（11，22，43，34），（11，33，22，44），（11，33，43，

24），（11，42，22，34），（11，42，33，24），（21，12，33，

44），（21，12，43，34），（21，33，13，44），（21，33，43，

15），（21，42，13，34），（21，42，33，15），（31，12，22，

44），（31，12，43，24），（31，22，13，44），（31，22，43，

15），（31，42，13，24），（31，42，22，15），（40，12，22，

34），（40，12，33，24），（40，22，13，34），（40，22，33，

15），（40，33，13，24），（40，33，22，15），比較可知，所選方格

中，（21，33，43，15）的和最大，最大為112.12345678910111213141516法二（整體分析法）先按列分析，每列必選出一個(gè)數(shù)，故所選4個(gè)數(shù)的十

位上的數(shù)字分別為1，2，3，4.再按行分析，第一、