第1節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)【課標(biāo)要求】（1）了解任意角的概念和弧度制；（2）能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性；（3）借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.知識點(diǎn)一角的概念1.定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.2.分類：按旋轉(zhuǎn)方向不同分為3.終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.結(jié)論象限角與軸線角（1）象限角（2）軸線角（1）（人A必修一P171練習(xí)4題改編）下列與7π4終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（AA.2kπ－π4（k∈Z） B.2kπ－π4（k∈C.2kπ＋π4（k∈Z） D.2kπ＋π4（k∈（2）（蘇教必修一P171思考改編）若α是第二象限角，則（D）A.－α是第一象限角B.α2C.3π2＋D.2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上解析：（1）因?yàn)?π4＝2π－π4，所以7π4與－π4終邊相同，所以與7π4終邊相同的角為2kπ－π（2）因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，可得?＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，對于A，可得－π－2kπ＜－α＜－π2－2kπ，k∈Z，此時－α位于第三象限，所以A錯誤；對于B，可得π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時，α2位于第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時，α2位于第三象限，所以B錯誤；對于C，可得2π＋2kπ＜3π2＋α＜5π2＋2kπ，k∈Z，即2（k＋1）π＜3π2＋α＜π2＋2（k＋1）π，k∈Z，所以3π2＋α位于第一象限，所以C錯誤；對于D，可得π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ規(guī)律方法1.確定nα，αn（n∈N*）的終邊位置的方法：先用終邊相同的角的形式表示出角α的范圍，再寫出nα或αn的范圍，然后根據(jù)n的可能取值討論確定nα或α2.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.提醒相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角不一定相等.終邊相同的角有無數(shù)個，它們之間相差360°的整數(shù)倍.練1（1）集合{α｜kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角所表示的范圍（陰影部分）是（C解析：（1）當(dāng)k＝2n（n∈Z）時，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此時α表示的范圍與π4≤α≤π2表示的范圍相同；當(dāng)k＝2n＋1（n∈Z）時，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此時α表示的范圍與π＋π4≤α≤π（2）（湘教必修一P157習(xí)題4題改編）終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合是{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}.（用角度表示）解析：（2）終邊落在x軸上的角的集合為A＝{α｜α＝k·180°，k∈Z}，逆時針旋轉(zhuǎn)45°，可得終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合為{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}.知識點(diǎn)二弧度制及應(yīng)用1.定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示.2.公式角α的弧度數(shù)公式｜α｜＝lr（弧長用l表示角度與弧度的換算1°＝π180rad；1rad＝180π弧長公式l＝｜α｜r扇形面積公式S＝12lr＝12｜α｜r提醒角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.（1）若圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為（D）A.π6 B.C.3 D.3解析：（1）如圖，等邊△ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線段AB所對的圓心角∠AOB＝2π3，作OM⊥AB，垂足為M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝π3，∴AM＝32r，AB＝3r，∴l(xiāng)＝3r，由弧度數(shù)公式得α＝lr＝（2）（2024·貴港模擬）圖1是杭州第19屆亞運(yùn)會會徽，名為“潮涌”，圖2是會徽的幾何圖形，設(shè)弧AD的長度是l1，弧BC的長度是l2，扇環(huán)ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2.若l1l2＝3，則S1SA.3 B.4C.6 D.8解析：（2）因?yàn)閘1l2＝3，所以｜OA｜｜OB｜＝3，又因?yàn)镾扇形AOD＝12l1·｜OA｜，S扇形BOC＝12l2·｜OB｜，所以S扇形AODS扇形BOC規(guī)律方法應(yīng)用弧度制解決問題的注意點(diǎn)（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題；（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.練2（1）已知扇形AOB的圓心角∠AOB＝2π3，弧長為2π，則該扇形的面積為（CA.2π3C.3π D.6π（2）已知扇形AOB的周長為4，當(dāng)扇形的面積取得最大值時，扇形的弦長AB＝2sin1.解析：（1）扇形的半徑為r＝2π2π3＝3，所以扇形的面積為12×2π×3＝（2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l＋2r＝4，l＝4－2r，2π+1＜r＜2，則扇形的面積S＝12lr＝12（4－2r）r＝（2－r）r＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1，∴當(dāng)r＝1時，S取得最大值1，此時l＝2，則扇形的圓心角α＝lr＝2，則AB＝2rsinα知識點(diǎn)三任意角的三角函數(shù)1.定義：設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P（x，y），那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝y(tǒng)x（x≠0）2.定義的推廣：設(shè)P（x，y）是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝y(tǒng)r，cosα＝xr，tanα＝y(tǒng)x（x3.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.（1）若角α的終邊在直線y＝－2x上，則cosα＝（B）A.±15 B.±C.±255 D.（2）sin2·cos3·tan4的值（A）A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在解析：（1）當(dāng)角α的終邊在第二象限時，在角α的終邊上取一點(diǎn)P（－1，2），所以cosα＝－1(?1）2＋22＝－55；當(dāng)角α的終邊在第四象限時，在角α的終邊上取一點(diǎn)P'（1，－2），所以cosα＝112＋(?2（2）因?yàn)棣?＜2＜3＜π＜4＜3π2，所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，所以sin2·cos3·tan4規(guī)律方法1.利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可以求出α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo).2.利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號時，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.練3（1）（人A必修一P180例3改編）若sinα＞0，且tanα＜0，則角α2的終邊位于（DA.第一、二象限 B.第二、三象限C.第二、四象限 D.第一、三象限解析：（1）因?yàn)閟inα＞0，且tanα＜0，所以α為第二象限角，即π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為奇數(shù)時，角α2為第三象限角；當(dāng)k為偶數(shù)時，角α（2）（2024·臨川模擬）若角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（－3，m）（m≠0），且sinθ＝24m，則cosθ＝－64解析：（2）r＝m2+3，由sinθ＝mm2+3＝24m，整理得m2＝5，則r＝m2+3＝8＝22.所以一、單項(xiàng)選擇題1.給出下列四個命題，其中正確的是（）A.－3π4是第四象限角 B.C.－400°是第一象限角 D.－315°是第一象限角解析：DA中，－3π4是第三象限角，故A錯誤；B中，4π3＝π＋π3，則4π3是第三象限角，故B錯誤；C中，－400°＝－360°－40°，則－400°是第四象限角，故C錯誤；D中，－315°＝－360°＋45°，則－3152.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，－2），則（）A.sinα＝55 B.cosα＝－C.tanα＝－12 D.tanα＝－解析：D∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，－2），∴sinα＝－212＋(?2）2＝－255，cosα＝112＋(?2）2＝55，tan3.我國空間站備受世界矚目，那么你知道我國空間站運(yùn)行的軌道是什么形狀嗎？據(jù)來自中國載人航天工程辦公室消息稱“天和”核心艙組合體軌道參數(shù)為：遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約為394.7千米，近地點(diǎn)高度約為394.2千米，簡直比地球繞日運(yùn)行軌道還圓！若把空間站運(yùn)行軌道看作圓形軌道，距地球表面的距離取394千米，已知地球半徑約為6370千米，則空間站繞地球每旋轉(zhuǎn)π6弧度，飛行的路程約為（取π≈3.14）（A.3300千米 B.3334千米C.3540千米 D.3640千米解析：C空間站繞地球飛行的半徑約為394＋6370＝6764（千米），所以空間站繞地球每旋轉(zhuǎn)π6弧度，飛行的路程約為l＝αr＝6764×π6≈6764×3.146≈34.若sinα·tanα＜0，且cosαtanα＜0，則角α是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：C由sinα·tanα＜0可知sinα，tanα異號，則α為第二象限角或第三象限角.由cosαtanα＜0可知cosα，tanα異號，則α為第三象限角或第四象限角.綜上可知，α為第三象限角，5.（2025·唐山高三開學(xué)考試）已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A（1，m），B（m，4），則cosα＝（）A.±55 B.C.±255 解析：B設(shè)終邊所在的直線方程為y＝kx，由題意知，m＝k，4=km，解得m=2，k=2或m＝－2，k＝－2，當(dāng)m＝－2時，A（1，－2），B（－2，4）在不同象限，6.（2025·武威模擬）如圖，已知☉O的半徑是2，點(diǎn)A，B，C在☉O上，若四邊形OABC為菱形，則圖中陰影部分的面積為（）A.23π－23 B.23πC.43π－23 D.43π解析：C如圖所示，連接OB，因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以O(shè)A＝AB＝BC＝OC＝OB＝2，所以△OAB和△OBC均為等邊三角形，且邊長為2，其中∠AOC＝2π3，可得S△OAB＝S△OBC＝34×22＝3，所以四邊形OABC的面積為S1＝S△OAB＋S△OBC＝23，又由扇形AOC的面積為S2＝12×2π3×22＝4π3，所以陰影部分的面積為S＝S2－S1＝437.（2022·全國甲卷理8題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”.如圖，AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB.“會圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計(jì)算公式：s＝AB＋CD2OA.當(dāng)OA＝2，∠AOB＝60°時，sA.11－332C.9－332解析：B由題意知，△OAB是等邊三角形，所以AB＝OA＝2.連接OC（圖略），因?yàn)镃是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB，OC＝OA2－AC2＝3，又CD⊥AB，所以O(shè)，C，D三點(diǎn)共線，所以CD＝OD－OC＝2－3，所以s＝AB＋CD2OA＝二、多項(xiàng)選擇題8.（2025·衡陽一模）下列條件中，能使α和β的終邊關(guān)于y軸對稱的是（）A.α＋β＝540° B.α＋β＝360°C.α＋β＝180° D.α＋β＝90°解析：AC假設(shè)α，β為0°～180°內(nèi)的角，如圖所示，由α和β的終邊關(guān)于y軸對稱，所以α＋β＝180°，又根據(jù)終邊相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）180°，k∈Z，所以滿足條件的為A、C.故選A、C.9.（2025·南開中學(xué)質(zhì)檢）已知角α是第二象限角，則下列不等式一定成立的是（）A.sinα2＜0 B.tanα2C.sinα2＞cosα2 D.｜sinα2｜＞｜解析：BD由題設(shè)，2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π，k∈Z，故kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2，k∈Z，當(dāng)k＝2n，n∈Z時，2nπ＋π4＜α2＜2nπ＋π2，n∈Z，則角α2的終邊在第一象限左上部分（不含邊界）；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時，2nπ＋5π4＜α2＜2nπ＋3π2，n∈Z，則角α2的終邊在第三象限右下部分（不含邊界）；所以角α2的終邊在第一象限左上部分或第三象限右下部分（不含邊界）；故sinα2符號不確定，且與cosα2大小關(guān)系不確定三、填空題10.若角θ是第四象限角，則y＝sinθ｜sinθ｜＋cosθ｜c(diǎn)os解析：由題知，sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0，所以y＝sinθ｜sinθ｜＋cosθ｜c(diǎn)osθ｜＋11.已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，則角α的取值范圍為{α｜30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}.解析：終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α｜α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α｜α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在題圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α｜30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}.12.（2025·蘇州調(diào)研）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊△ABC，再分別以A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為2π，則其面積是2π－23.解析：由條件可知，弧長AB＝BC＝AC＝2π3，等邊三角形的邊長AB＝BC＝AC＝2π3π3＝2，則以點(diǎn)A，B，C為圓心，圓弧AB，BC，AC所對的扇形面積為12×2π3×2＝2π3，中間等邊△ABC的面積S＝12×2×3＝3.所以萊洛三角形的面積是3四、解答題13.若角θ的終邊過點(diǎn)P（－4a，3a）（a≠0）.（1）求sinθ＋cosθ的值；（2）試判斷cos（sinθ）·sin（cosθ）的符號.解：（1）因?yàn)榻铅鹊慕K邊過點(diǎn)P（－4a，3a）（a≠0），所以x＝－4a，y＝3a，r＝5｜a｜，當(dāng)a＞0時，r＝5a，sinθ＋cosθ＝35－45＝－當(dāng)a＜0時，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－35＋45＝綜上，sinθ＋cosθ＝±15（2）當(dāng)a＞0時，sinθ＝35∈0，π2，cosθ＝－45∈（－則cos（sinθ）·sin（cosθ）＝cos35·sin－45當(dāng)a＜0時，sinθ＝－35∈－π2，0，cosθ則cos（sinθ）·sin（cosθ）＝cos－35·sin45綜上，當(dāng)a＞0時，cos（sinθ）·sin（cosθ）的符號為負(fù)；當(dāng)a＜0時，cos（sinθ）·sin（cosθ）的符號為正.14.（2025·濟(jì)寧模擬）某單位擬建一個扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)由以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點(diǎn)O的兩條線段圍成.按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角（正角）為θ（弧度）.（1）求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知在花壇的邊緣（實(shí)線部分）進(jìn)行裝飾時，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米.設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時，y取得最大值？解：（1）由題意得，30＝θ（10＋x）＋2（10－x），∴θ＝10+2x10+x（0＜x（2）花壇的面積為12θ（102－x2）＝（5＋x）（10－x）＝－x2＋5x＋50裝飾總費(fèi)用為9θ（10＋x）＋8（10－x）＝170＋10x，∴花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比y＝－x2+5x+50170+10x令t＝17＋x，則t∈（17，27），則y＝3910－110（t＋324t）≤3910－210當(dāng)且僅當(dāng)t＝324t，即t＝18時，y取得最大值，最大值為310，此時x＝1，θ＝故當(dāng)x＝1時，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大.1