第2節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標要求

（1）借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義；（2）了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.目錄CONTENTS知識點一四個基本事實01.知識點二空間點、線、平面之間的位置關(guān)系02.知識點三異面直線所成的角03.課時跟蹤檢測04.PART01知識點一四個基本事實1.

四個基本事實（1）基本事實1：過不在一條直線上的

，有且只有一個平面；（2）基本事實2：如果一條直線上的

在一個平面內(nèi)，那么這條

直線在這個平面內(nèi)；（3）基本事實3：如果兩個不重合的平面有

公共點，那么它們有

且只有一條過該點的公共直線；（4）基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線

?.提醒

三點不一定能確定一個平面.當三點共線時，過這三點的平面有無數(shù)

個，所以必須是不在同一條直線上的三點才能確定一個平面.三個點

兩個點

一個

平行

2.

“三個”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條

直線，有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條

直線，有且只有一個平面.相交

平行

（1）如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝

D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是（

C

）A.

直線ACB.

直線ABC.

直線CDD.

直線BCC解析：由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上.又因為C∈平

面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面

ABC∩平面β＝CD.

（2）在三棱錐A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H

四點，如果EF∩HG＝P，則（

B

）A.

點P一定在直線BD上B.

點P一定在直線AC上C.

EH∥FGD.

EH與FG必相交B解析：如圖所示，因為EF?平面ABC，HG?平面

ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面

ACD.

又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以

P∈AC，故A錯誤，B正確；易知直線EH，F(xiàn)G共面，則

直線EH，F(xiàn)G平行或相交，故C、D錯誤.

規(guī)律方法共面、共線、共點問題的證明方法練1如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，平面BB1D1D與A1C交于點M.

求證：（1）E，C，D1，F(xiàn)四點共面；證明：如圖，連接EF，CD1，A1B.

∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面.（2）CE，D1F，DA三線共點；證明：∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，如圖所示.則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點.（3）B，M，D1三點共線.證明：連接BD1，∵BD1與A1C均為正方體ABCD-

A1B1C1D1的體對角線，故BD1與A1C相交，則令BD1與A1C的交點為O，則B，O，D1三點共線，∵BD1?平面BB1D1D，故A1C與平面BB1D1D的交點為O，即O與M重合，故B，M，D1三點共線.PART02知識點二空間點、線、平面之間的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直

線與

直線平行

a∥b

?個相交

?1個異面

a，b是異面直線

?個0

a∩b＝A0

圖形語言符號語言公共點直

線與

平面相交

?1個平行

a∥α0個在平面內(nèi)

?

?個a∩α＝Aa?α無數(shù)

圖形語言符號語言公共點平

面與

平面平行

α∥β0個相交

α∩β＝l

?個無數(shù)

（1）若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平

面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（

D

）A.

l與l1，l2都不相交B.

l與l1，l2都相交C.

l至多與l1，l2中的一條相交D.

l至少與l1，l2中的一條相交D解析：法一（反證法）由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交.若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾.故l至少與l1，l2中的一條相交.法二（模型法）如圖1，l1與l2是異面直

線，l1與l平行，l2與l相交，故A、B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確.（2）〔多選〕下列推斷中，正確的是（BD

）A.

M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB.

A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.

l?α，A∈l?A?αD.

A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合ABD解析：對于A，因為M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實3可知M∈l，故A正確；對于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線

AB?α，AB?β，即α∩β＝AB，故B正確；對于C，若l∩α＝A，則

有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α，故C錯誤；對于D，有三個不共線的點在平面

α，β中，α，β重合，故D正確.規(guī)律方法

判斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法：一是構(gòu)造幾何體（如長方

體、空間四邊形等）模型來判斷；二是排除法.特別地，對于異面直線的

判定常用到結(jié)論：“平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過

點B的直線是異面直線.”練2（1）已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則

（

D

）A.

m與n異面B.

m與n相交C.

m與n平行D.

m與n異面、相交、平行均有可能D解析：在如圖所示的長方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A、B錯誤，m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯誤.

（2）在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是弧BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則（

D

）A.

AE＝CF，AC與EF是共面直線B.

AE≠CF，AC與EF是共面直線C.

AE＝CF，AC與EF是異面直線D.

AE≠CF，AC與EF是異面直線D

PART03知識點三異面直線所成的角1.

等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角

?

?.2.

異面直線所成的角（1）定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線

a'∥a，b'∥b，把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾

角）；（2）范圍：

?.相等或互

補

（0°，90°]

A.

B.

C.

D.

D

（2）平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩

平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的大小為（

A

）A.60°B.45°C.30°D.90°A解析：如圖所示，過點A補作一個與正方體ABCD-A1B1C1D1相同的正方體，易知平面α為平面AF1E，則m，n所成的角為∠EAF1.因為△AF1E為正三角形，所以∠EAF1＝60°.規(guī)律方法求異面直線所成角的方法（1）平移法：將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采

用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解；（2）補形法：在該幾何體的某側(cè)補接上一個幾何體，在這兩個幾何體中

找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解.提醒

在求異面直線所成的角時，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要

求的角.

30°

PART04課時跟蹤檢測一、單項選擇題1.

四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為（

）A.4B.3C.2D.1解析：首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以

確定四個平面.故選A.

12345678910111213141516√2.

空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB

與CD的位置關(guān)系是（

）A.

平行B.

異面C.

相交或平行D.

平行或異面或相交均有可能√解析：

根據(jù)條件作出示意圖，得到如

圖所示的三種可能的情況，由圖可知AB，CD有相交、平行、異面

三種情況，故選D.

123456789101112131415163.

（2025·齊齊哈爾一模）已知a，b，c是三條不同的直線，α，β是

兩個不同的平面，α∩β＝c，a?α，b?β，則“a，b相交”是“a，c相交”的（

）A.

充要條件B.

必要不充分條件C.

充分不必要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

①若a，b相交，a?α，b?β，則其交點在交線c上，故a，c

相交，②若a，c相交，可能a，b為相交直線或異面直線.綜上所述：

“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要條件.故選C.

√123456789101112131415164.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在

空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（

）A.

不存在B.

有且只有2條C.

有且只有3條D.

有無數(shù)條解析：

在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一

個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，M取不同

的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，

而直線MN與這三條異面直線都有交點，如圖.

√123456789101112131415165.

如圖，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示

直線GH，MN是異面直線的圖形為（

）A.

①B.

②③C.

①③D.

②④√12345678910111213141516解析：

圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接GM，則GM∥HN.

因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N三點共面，但H?

平面GMN，G?MN，因此直線GH與MN異面.故選D.

123456789101112131415166.

《九章算術(shù)·商功》中劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一

為陽馬，其一為鱉臑.”如圖1所示的長方體用平面AA1B1B斜切一分為

二，得到兩個一模一樣的三棱柱，該三棱柱就叫塹堵.如圖2所示的塹堵

中，AC＝3，BC＝4，AA1＝2，M為BC的中點，則異面直線A1C與AM

所成角的余弦值為（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1C1上的動點，則下列直

線中，始終與直線BP異面的是（

）A.

DD1B.

ACC.

AD1D.

B1C√12345678910111213141516解析：

對于A，如圖1，當點P為

A1C1的中點時，連接B1D1，BD，則

P在B1D1上，BP?平面BDD1B1，又

DD1?平面BDD1B1，所以BP與DD1共

面，故A不正確；對于B，如圖2，連

接AC，易知AC?平面ACC1A1，BP?平面ACC1A1，且BP∩平面ACC1A1＝P，P不在AC上，所以BP與AC為異面直線，故B正確；當點P與點C1重合時，連接AD1，B1C（圖略），由正方體的性質(zhì)，易知BP∥AD1，BP與B1C相交，故C、D不正確.故選B.

12345678910111213141516二、多項選擇題8.

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C

交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

A，M，O三點共線B.

A，M，O，A1共面C.

A，M，C，O共面D.

B，B1，O，M共面√√√12345678910111213141516解析：

∵M∈A1C，A1C?平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，即A，M，O三點共線，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故選A、B、C.

123456789101112131415169.

如圖所示是一個正方體的平面展開圖，則在原正方體中，下列說法正確

的是（

）A.

AB與CD所在的直線垂直B.

CD與EF所在的直線平行C.

EF與GH所在的直線異面D.

GH與AB所在的直線夾角為60°√√√12345678910111213141516解析：

把正方體的平面展開圖還原，如圖，連接AF.

對于A，因為BD∥CF且BD＝CF，所以四邊形BDCF為平行四邊形，所以CD∥BF，故AB與CD所成的角為∠ABF，易知△ABF為等邊三角形，則∠ABF＝60°，故A錯誤；對于B，由A可知CD∥EF，故B正確；對于C，由圖可知，EF與GH所在的直線異面，故C正確；對于D，因為AH∥GF且AH＝GF，故四邊形AFGH為平行四邊形，所以GH∥AF，則GH與AB所成的角為∠FAB.

因為△ABF為等邊三角形，所以∠FAB＝60°，即GH與AB所在的直線夾角為60°，故D正確.

12345678910111213141516三、填空題10.

已知a，b，c是不同直線，α是平面，若a∥b，b∩c＝A，則直線

a與直線c的位置關(guān)系是

；若a⊥b，b⊥α，則直線a與平

面α的位置關(guān)系是

?.解析：a，b，c是不同直線，α是平面，因為a∥b，b∩c＝A，所以直

線a與直線c的位置關(guān)系是相交或異面.因為a⊥b，b⊥α，則直線a與平

面α的位置關(guān)系是a∥α或a?α.相交或異面a∥α或a?α

1234567891011121314151611.

如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且

AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)

為

?.解析：因為AB∥CD，由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個側(cè)面，與

另外四個側(cè)面相交.412345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答題13.

已知ABCD是空間四邊形，如圖所示，M，N，E，F(xiàn)分別是AB，

AD，BC，CD上的點.

（1）若直線MN與直線EF相交于點O，證明：B，D，O三點共線；12345678910111213141516解：證明：因為M∈AB，N∈AD，AB?平面ABD，AD?

平面ABD，所以MN?平面ABD，因為E∈CB，F(xiàn)∈CD，CB?平面CBD，CD?平面CBD，所以

EF?平面CBD，由于直線MN與直線EF相交于點O，即O∈MN，O∈平面ABD，O∈EF，O∈平面CBD，又平面ABD∩平面CBD＝BD，則O∈BD，所以B，D，O三點共線.12345678910111213141516（2）若E，N為BC，AD的中點，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求異面直

線AB與DC所成角的余弦值.

12345678910111213141516

1234567891011121314151614.

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角

梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，點E是PB的中點.（1）線段PA上是否存在一點G，使得D，C，E，G四點共面？若存

在，請證明，若不存在，請說明理由；解：存在.當G為PA的中點時滿足條件.證明如下：如圖，連接GE，GD，則GE是△PAB的中位線，所以GE∥AB.

又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四點共面.12345678910111213141516（2）若PC＝2，求三棱錐P-ACE的體