第4節(jié)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）掌握分類變量的含義；（2）通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義；（3）通過實(shí)例，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一分類變量與列聯(lián)表01.知識(shí)點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)點(diǎn)一分類變量與列聯(lián)表1.

分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類

變量.2.2×2列聯(lián)表列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，

X表示相互對(duì)立的兩個(gè)事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互對(duì)立的兩個(gè)事件

{Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y(tǒng)}（x，y＝

0，1）的頻數(shù)，n是樣本容量，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）如

下表所示：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d3.

等高堆積條形圖（1）等高堆積條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是

否相互影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；

（1）〔多選〕根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖，下列敘述正確的是

（

ABC

）ABCA.

吸煙患肺病的頻率約為0.2B.

吸煙不患肺病的頻率約為0.8C.

不吸煙患肺病的頻率小于0.05D.

吸煙與患肺病無關(guān)系解析：

從等高堆積條形圖上可以明顯地看出，吸煙患肺病的頻率遠(yuǎn)

遠(yuǎn)大于不吸煙患肺病的頻率.A、B、C都正確.（2）假設(shè)有兩個(gè)變量x與y的2×2列聯(lián)表如表：y1y2x1abx2cd對(duì)于以下數(shù)據(jù)，對(duì)同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為（

D

）DA.

a＝9，b＝3，c＝2，d＝1B.

a＝9，b＝2，c＝3，d＝1C.

a＝2，b＝3，c＝1，d＝9D.

a＝3，b＝1，c＝2，d＝9解析：

根據(jù)觀測(cè)值求解公式及a＋b＋c＋d＝15可得，當(dāng)n相等

時(shí)，｜ad－bc｜越小，說明x與y之間的關(guān)系越弱；｜ad－bc｜越大，說

明x與y之間的關(guān)系越強(qiáng)，經(jīng)過逐一驗(yàn)證，可知選D.

規(guī)律方法分類變量的兩種統(tǒng)計(jì)表示形式（1）等高堆積條形圖：根據(jù)等高堆積條形圖的高度差判斷兩分類變量是

否有關(guān)聯(lián)及關(guān)聯(lián)性的強(qiáng)弱；（2）2×2列聯(lián)表：直接利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析，用定量

的方式判斷兩分類變量是否有關(guān)聯(lián)及關(guān)聯(lián)性的強(qiáng)弱.練1（1）（2024·江西模擬）在某次獨(dú)立性檢驗(yàn)中，得到如下列聯(lián)表：A

合計(jì)B2008001

000

180a180＋a合計(jì)380800＋a1

180＋a最后發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)分類變量沒有關(guān)聯(lián)，則a的值可能是（

B

）A.200B.720BC.100D.180

（2）如表是一個(gè)2×2列聯(lián)表，則m＋n＝

?.XY合計(jì)y1y2x1a3545x27bn合計(jì)m73s62解析：根據(jù)2×2列聯(lián)表可知a＋35＝45，解得a＝10，則m＝a＋7＝17，又由35＋b＝73，解得b＝38，則n＝7＋b＝45，故m＋n＝17＋45＝62.PART02知識(shí)點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)1.

概念：利用隨機(jī)變量χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為

χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).2.

χ2的計(jì)算公式：χ2＝

?.3.

基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)

為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有

充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立（其中xα為α的臨界值）.4.

獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828角度1

分類變量關(guān)聯(lián)性的判斷

（1）（2024·鹽城模擬）根據(jù)分類變量Ⅰ與Ⅱ的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到

χ2＝2.954，則（

B

）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.

變量Ⅰ與Ⅱ相關(guān)B.

變量Ⅰ與Ⅱ相關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1C.

變量Ⅰ與Ⅱ不相關(guān)D.

變量Ⅰ與Ⅱ不相關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1B解析：零假設(shè)為H0：變量Ⅰ與Ⅱ不相關(guān)，因?yàn)棣?＝2.954＞2.706，依據(jù)

α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，推斷H0不成立，即認(rèn)為變量Ⅰ與Ⅱ相關(guān)，這個(gè)

結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1，故選B.

（2）根據(jù)分類變量

X

和Y

的樣本觀察數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果，有不少于95%的把

握認(rèn)為

X

和Y

有關(guān)，則χ2的值不可能為（

A

）α0.1500.1000.0500.0100.005xα2.0722.7063.8416.6357.879A.2.819B.5.512C.6.635D.8.243A解析：因?yàn)橛胁簧儆?5%的把握認(rèn)為

X

和Y

有關(guān)，所以χ2≥3.841，只

有A不滿足要求.故選A.

規(guī)律方法分類變量關(guān)聯(lián)性的判斷

如果χ2≥xα，則“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；

否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)

系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有充分證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.角度2

獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn).

現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對(duì)該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下2×2列

聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)30100（1）補(bǔ)全2×2列聯(lián)表（單位：只）；解：

補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗104050未注射疫苗203050合計(jì)3070100（2）依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射

該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”

.

變式本例（2）“依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)”變?yōu)椤耙罁?jù)小概

率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)”，得到的結(jié)論如何？

規(guī)律方法獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟（1）提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，利用公式計(jì)算χ2的值；（3）根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤

概率的上界α，然后查表確定臨界值xα；（4）當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯

錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2≤xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可

以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.練2（2024·保定二模）某青少年跳水隊(duì)共有100人，在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后，

教練組對(duì)他們進(jìn)行了成績(jī)測(cè)試，分別得到如圖1所示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率

分布直方圖，如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）與成績(jī)的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；解：

強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)約為55×0.04＋65×0.16＋75×0.2＋

85×0.32＋95×0.28＝81.4（分）.由于前三組頻率之和為0.04＋0.16＋0.2＝0.4，設(shè)中位數(shù)為80＋x，則

0.032x＝0.1，解得x＝3.125，所以中位數(shù)約為83.13.（2）規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)

秀”.強(qiáng)化訓(xùn)練是否優(yōu)秀合計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀強(qiáng)化訓(xùn)練前強(qiáng)化訓(xùn)練后合計(jì)將上面的表格補(bǔ)充完整，依據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)

此推斷跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān)？解：零假設(shè)為H0：跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練無關(guān).補(bǔ)充完整的表格為強(qiáng)化訓(xùn)練是否優(yōu)秀合計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀強(qiáng)化訓(xùn)練前4060100強(qiáng)化訓(xùn)練后6040100合計(jì)100100200

PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)

一、單項(xiàng)選擇題1.

在研究打鼾與患心臟病的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“打

鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)

為這個(gè)結(jié)論是成立的，下列說法中正確的是（

）A.100個(gè)吸煙者中至少有99人打鼾B.1個(gè)人患有心臟病，那么這個(gè)人有99%的概率打鼾C.

在100個(gè)心臟病患者中一定有打鼾的人D.

在100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打鼾的人也沒有123456789101112√解析：

在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的，

其意義就是我們有99%的把握認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān)，在100個(gè)心臟病患

者中可能一個(gè)打鼾的人也沒有，故D正確；對(duì)于A，題設(shè)中沒有給出吸煙與

打鼾相關(guān)性判斷，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)分類變量相關(guān)性的判

斷，不能具體到個(gè)體，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)

打鼾的人也沒有，故C錯(cuò)誤.故選D.

1234567891011122.

為了解某大學(xué)的學(xué)生是否喜歡體育鍛煉，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)

調(diào)查了120位學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：是否喜歡體育鍛煉性別合計(jì)男女喜歡ab73不喜歡c25合計(jì)74則a－b－c＝（

）A.7B.8解析：根據(jù)題意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21.∴a－b－c＝52－21－22＝9.C.9D.10√1234567891011123.

（2025·黑龍江一模）根據(jù)分類變量x與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得χ2＝

2.826，依據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（

）A.

x與y不獨(dú)立B.

x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05C.

x與y獨(dú)立D.

x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05解析：

零假設(shè)為H0：x與y獨(dú)立，由χ2＝2.826＜3.841，依據(jù)α＝0.05

的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可得H0成立，故可以認(rèn)為x與y獨(dú)立.故選C.

√123456789101112

A.

＝

B.

＝2

C.

＝2

D.

＝4

√123456789101112

A.10B.11C.12D.13√123456789101112解析：

設(shè)被調(diào)查的男性人數(shù)為x，則女性人數(shù)為2x，依據(jù)題意可得列

聯(lián)表如下：是否喜愛足球性別合計(jì)男性女性喜愛足球?

?

?

不喜愛足球?

?

?

合計(jì)x2x3x123456789101112

123456789101112二、多項(xiàng)選擇題6.

每年的畢業(yè)季都是高校畢業(yè)生求職和公司招聘最忙碌的時(shí)候，甲、乙兩

家公司今年分別提供了2個(gè)和3個(gè)不同的職位，一共收到了100份簡(jiǎn)歷，具

體數(shù)據(jù)如下：公司文史男文史女理工男理工女甲10102010乙1520105123456789101112分析畢業(yè)生的選擇意愿與性別的關(guān)聯(lián)關(guān)系時(shí)，已知對(duì)應(yīng)的χ2的值

x1≈1.010；分析畢業(yè)生的選擇意愿與專業(yè)的關(guān)聯(lián)關(guān)系時(shí)，對(duì)應(yīng)的χ2的值

x2≈9.091，則下列說法正確的是（

）A.

有99.9%的把握認(rèn)為畢業(yè)生的選擇意愿與專業(yè)相關(guān)聯(lián)B.

畢業(yè)生在選擇甲、乙公司時(shí)，選擇意愿與專業(yè)的關(guān)聯(lián)性比與性別的關(guān)聯(lián)

性更大一些C.

理工科專業(yè)的畢業(yè)生更傾向于選擇甲公司D.

女性畢業(yè)生更傾向于選擇乙公司√√√123456789101112解析：

由題知x2≈9.091，所以有1－0.005＝99.5%的把握認(rèn)為畢業(yè)

生的選擇意愿與專業(yè)相關(guān)聯(lián)，所以A不正確；由x2＞x1，易知B正確；根據(jù)

題中的數(shù)據(jù)表可知，理工科專業(yè)的畢業(yè)生更傾向于選擇甲公司，女性畢業(yè)

生更傾向于選擇乙公司，所以C，D均正確.故選B、C、D.

1234567891011127.

晚上睡眠充足是提高學(xué)習(xí)效率的必要條件，某高中M的高三年級(jí)學(xué)生晚

上10點(diǎn)10分必須休息，另一所同類高中N的高三年級(jí)學(xué)生晚上11點(diǎn)休息，

并鼓勵(lì)學(xué)生還可以繼續(xù)進(jìn)行夜自習(xí)，稍晚再休息.有關(guān)人員分別對(duì)這兩所

高中的高三年級(jí)學(xué)習(xí)總成績(jī)前50名學(xué)生的學(xué)習(xí)效率進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高

中M有30名學(xué)生的學(xué)習(xí)效率高，且從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到學(xué)

習(xí)效率高的學(xué)生的概率是0.4，則（

）A.

高中M的前50名學(xué)生中有60%的學(xué)生學(xué)習(xí)效率高B.

高中N的前50名學(xué)生中有40%的學(xué)生學(xué)習(xí)效率高C.

有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)效率高低與晚上睡眠是否充足有關(guān)D.

認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)效率高低與晚上睡眠是否充足有關(guān)的犯錯(cuò)概率超過0.05√√123456789101112

學(xué)校學(xué)習(xí)效率高低合計(jì)學(xué)習(xí)效率高學(xué)習(xí)效率不高高中M302050高中N104050合計(jì)4060100123456789101112

123456789101112三、填空題8.

如圖是調(diào)查某學(xué)校高一、高二年級(jí)學(xué)生參加社團(tuán)活動(dòng)的等高堆積條形

圖，陰影部分的高表示參加社團(tuán)的頻率.已知該校高一、高二年級(jí)學(xué)生人

數(shù)均為600（所有學(xué)生都參加了調(diào)查），現(xiàn)從參加社團(tuán)的同學(xué)中按分層隨

機(jī)抽樣的方式抽取45人，則抽取的高二學(xué)生人數(shù)為

.

27

1234567891011129.

隨著國(guó)家對(duì)中小學(xué)“雙減”政策的逐步落實(shí)，其中增加中學(xué)生體育鍛煉

時(shí)間的政策引發(fā)社會(huì)的廣泛關(guān)注.某教育時(shí)報(bào)為研究“支持增加中學(xué)生體

育鍛煉時(shí)間的政策是否與性別有關(guān)”，從某校男女生中各隨機(jī)抽取80名學(xué)

生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（10≤m≤20，m∈N*）支持不支持男生70－m10＋m女生50＋m30－m123456789101112若通過計(jì)算得，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為支持增加中學(xué)

生體育鍛煉時(shí)間的政策與性別有關(guān)，則在這被調(diào)查的80名女生中支持增加

中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的人數(shù)的最小值為

?.

66123456789101112四、解答題10.

（2024·全國(guó)甲卷理17題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改

造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)

如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150123456789101112（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？解：

填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間2624乙車間7030123456789101112則完整的2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品總計(jì)甲車間262450乙車間7030100總計(jì)9654150

123456789101112

123456789101112

123456789101112

11.

為了了解空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）與參加戶外健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)之間的關(guān)

系，某校環(huán)保小組在暑假期間（60天）進(jìn)行了一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)：每天記錄到

體育公園參加戶外健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，并與當(dāng)天AQI值（從氣象部門獲?。?gòu)成60組成對(duì)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1