第4節(jié)向量中的最值（范圍）問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點(diǎn)解讀

平面向量中的最值（范圍）問題是高考中的熱點(diǎn)，此類問題綜合性較強(qiáng)，多與其他知識交匯命題.其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的最值（范圍），比如向量的模、數(shù)量積、夾角、系數(shù)的最值（范圍）等.目錄CONTENTS提能點(diǎn)1與系數(shù)有關(guān)的最值（范圍）問題01.提能點(diǎn)2與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題02.提能點(diǎn)3與模有關(guān)的最值（范圍）問題03.提能點(diǎn)4與夾角有關(guān)的最值（范圍）問題04.課時跟蹤檢測05.PART01提能點(diǎn)1與系數(shù)有關(guān)的最值（范圍）問題

規(guī)律方法系數(shù)最值（范圍）問題的解法（1）利用向量的運(yùn)算將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；（2）運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.

A.4B.8C.12D.16√

PART02提能點(diǎn)2與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題

規(guī)律方法向量數(shù)量積的最值（范圍）問題的解法（1）坐標(biāo)法：通過建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問

題處理；（2）向量法：運(yùn)用向量數(shù)量積的定義、幾何意義等向量有關(guān)知識解決.

A.16B.17C.18D.19√

PART03提能點(diǎn)3與模有關(guān)的最值（范圍）問題

（2024·南通模擬）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝2，

a·b＝0，若向量c滿足｜a＋b－2c｜＝1，則｜c(diǎn)｜的取值范圍

是

?.

規(guī)律方法求向量模的最值（范圍）的方法（1）代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，或通過建立平面直角

坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示，構(gòu)造不等式、三角函數(shù)等求解；也可直接

應(yīng)用平面向量模的三角不等式：｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜

＋｜b｜求解；（2）幾何法（數(shù)形結(jié)合法）：弄清所求的模表示的幾何特征，注意題目

中所給的垂直、平行，以及其他數(shù)量關(guān)系合理的轉(zhuǎn)化，結(jié)合動點(diǎn)表示的圖

形求解.練3（2025·泉州模擬）設(shè)向量a與單位向量e滿足對任意t∈R，都有｜a

－te｜≥｜a－e｜，則｜a＋e｜的最小值為（

）A.

B.2C.3D.4√

PART04提能點(diǎn)4與夾角有關(guān)的最值（范圍）問題

已知平面向量a，b滿足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，則cos

＜b，3b－a＞的最小值是

?.

規(guī)律方法

求夾角的最值（范圍）要根據(jù)夾角余弦值的表達(dá)式，利用基本不等式

或函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.練4已知｜a｜＝2｜b｜，｜b｜≠0，且關(guān)于x的方程x2＋｜a｜x＋

a·b＝0有實(shí)根，則a與b的夾角θ的取值范圍是

?.

PART05課時跟蹤檢測

A.2B.

C.1D.

123456789101112√

A.

2

B.10C.2D.5

√123456789101112

A.

B.

C.

D.

√123456789101112

123456789101112

A.

－1B.－2C.

－4D.－6√123456789101112

123456789101112

A.

［

，

］B.［

，

］C.

［

，

］D.［

，

］√123456789101112

123456789101112

√123456789101112

123456789101112

A.

λμ的最小值為1B.λμ的最大值為

C.

＋

的最大值為12D.

＋

的最小值為4√√123456789101112

1234567891011128.

已知a，b是單位向量，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，（c－a－

b）·（c－2a）＝0，則下列說法正確的是（

）A.

a·b＝0B.

若a·k＝n·a，則n＝kC.

｜c(diǎn)｜的最大值為

D.

c·b的最小值是

√√√123456789101112解析：

∵｜a＋b｜＝｜a－b｜，∴（a＋b）2＝（a－b）2，a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0，故A正確；由a·k＝

n·a，可得｜a｜·｜k｜c(diǎn)os＜a，k＞＝｜n｜·｜a｜c(diǎn)os＜n，a

＞，即｜k｜c(diǎn)os＜a，k＞＝｜n｜c(diǎn)os＜n，a＞，則n＝k不一定成

立，故B錯誤；又a，b是單位向量，a·b＝0，不妨設(shè)a＝（1，0），b＝（0，1），設(shè)c＝（x，y），又（c－a－b）·（c－2a）＝0，

∴（x－1，y－1）·（x－2，y）＝0，（x－1）·（x－2）＋y（y－1）＝0，123456789101112

123456789101112三、填空題

123456789101112

123456789101112

123456789101112四、解答題

123456789101112

123456789101112

（1）分別根據(jù)下列已知條件求S（m，n）；①m＝（2，1），n＝（－1，2）；②m＝（1，2），n＝（2，4）.解：①因?yàn)閙＝（2，1），n＝（－1，2），則S（m，n）＝｜2×2－1×（－1）｜＝5.②m＝（1，2），n＝（2，4），所以S（m，n）＝｜1×4－2×2｜＝0.123456789101112（2）若向量p＝λm＋μn（λ，μ∈R，λ2＋μ2≠0），求證：S

（p，m）＋S（p，n）＝（｜λ｜＋｜μ｜）S（m，n）；解：證明：因?yàn)橄蛄縨＝（x1，y1），n＝（x2，y2），且向量p＝λm＋μn（λ，μ∈R，λ2＋μ2≠0），則p＝（λx1＋μx2，λy1＋μy2），于是S（p，m）＝｜（λx1＋

μx2）y1－（λy1＋μy2）x1｜＝｜μ｜｜x1y2－x2y1｜，同理S（p