第8節(jié)正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用是高考命題的熱點，主要包括與三角形有關(guān)的證明問題、平面圖形中的計算問題及三角形中的三線問題等.目錄CONTENTS提能點1與三角形有關(guān)的證明問題01.提能點2平面多邊形中的計算問題02.提能點3三角形中的三線問題03.課時跟蹤檢測04.PART01提能點1與三角形有關(guān)的證明問題

（2025·安徽質(zhì)量聯(lián)合檢測）在△ABC中，A，B，C所對的邊分別

是a，b，c.（1）請用正弦定理證明：若a＞b，則A＞B；

（2）請用余弦定理證明：若A＞B，則a＞b.

規(guī)律方法證明與三角形有關(guān)等（不等）式的一般思路（1）利用正、余弦定理完成邊角轉(zhuǎn)化：把已知條件或待證等（不等）式

轉(zhuǎn)化為以角為研究對象的三角等（不等）式或以邊為研究對象的代數(shù)等

（不等）式；（2）充分利用三角形中隱含條件：①A＋B＋C＝π；②A＞B?sin

A＞

sin

B；③a－b＜c＜a＋b及三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換公式等推導(dǎo)

證明.練1（2022·全國乙卷文17題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為

a，b，c，已知sin

C

sin（A－B）＝sin

B

sin（C－A）.（1）若A＝2B，求C；

（2）證明：2a2＝b2＋c2.

法二因為A＋B＋C＝π，所以

sin

C

sin（A－B）＝sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2A

cos2B－

cos2A

sin2B＝sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin

2B，sin

B

sin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin2A，又sin

C

sin（A－B）＝sin

B

sin（C－A），所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.PART02提能點2平面多邊形中的計算問題

（2025·梅州一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB2＋BC2＋

AB·BC＝AC2.（1）若AB＝3BC＝3，求△ABC的面積；

解得θ＝45°，即∠ACB＝45°.規(guī)律方法利用正、余弦定理解決平面多邊形問題的策略（1）將所給平面多邊形分拆成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用

正、余弦定理建立邊角關(guān)系進(jìn)行求解；（2）充分注意各個三角形之間的聯(lián)系，特別是公共邊、鄰角之間的等量

關(guān)系，交叉使用公共條件進(jìn)行求解；（3）注意三角形相似、平行四邊形性質(zhì)等幾何結(jié)論的應(yīng)用；（4）注意方程思想的靈活運用，通過設(shè)出未知變量，建立方程進(jìn)行求解.

（1）求sin∠BCE的值；

（2）求CD的長.

PART03提能點3三角形中的三線問題角度1

三角形的角平分線問題

（1）（2024·南充診斷）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別

為a，b，c，已知b＝2，c＝4，∠BAC的平分線交邊BC于點D，且AD

＝2，則cos∠BAC＝

?；

（2）在△ABC中，A＝2B，AC＝9，BC＝12，CD平分∠ACB交AB于

點D，則BD的長度為

?.

4

規(guī)律方法

角平分線是平面幾何的一個重要特征，解題方法主要有兩種，一是利

用角平分線定理，找邊之間的關(guān)系；二是角平分線把三角形分成兩個三角

形，利用等面積法求解.角度2

三角形的中線問題

（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D為BC的中點，AD＝5，則

BC＝（

B

）A.

2

B.4

C.

2

D.4

B

（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b＝3，BD為

AC邊上的中線，BD＝2，且a

cos

C－2b

cos

B＋c

cos

A＝0，則△ABC的面

積為

?.

規(guī)律方法三角形的中線問題的解題策略（1）可根據(jù)兩角互補或面積相等用正、余弦定理建立方程求解；

（3）利用中線長定理求解.角度3

三角形的高線問題

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＜b＜c，

△ABC三邊上的高之比為2∶3∶4.（1）求cos

C的值；

（2）若E為邊AC上一點，∠CEB＝30°，BC＝3，求BE的長.

規(guī)律方法利用三角形高線解三角形的一般思路（1）構(gòu)建直角三角形；

（3）三角形三條高線交于一點（此點為該三角形的垂心）；（4）求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊

長度.

（2）設(shè)D是邊AB上一點，在①CD是邊AB上的中線；②CD是∠ACB的

角平分線這兩個條件中任選一個，求線段CD的長.注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.

PART04課時跟蹤檢測

A.

B.

C.

D.

12345678√

A.1B.

C.2D.3√12345678

123456783.

（2025·聊城二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝2，B

＝2D＝120°，記△ABC與△ACD的面積分別為S1，S2，則S2－S1＝（

）A.2B.

C.1D.

√12345678

12345678

A.

AB＝8B.

＝

C.

AB＝6D.△ABD的面積為

√√√12345678

12345678

12345678

12345678

12345678（2）若CD＝CB＝2，求△ABC的面積.

12345678

12345678

12345678（2）設(shè)點E為AD的中點，求BE的長.

12345678

123456788.

（2025·東營模擬）蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國四大名繡之一，蜀繡以其明麗清秀的色彩和精湛細(xì)膩的針法形成了自身的獨特的韻味，豐富程度居四大名繡之首.1915年，蜀繡在國際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國際金獎，在繡品中有一類具有特殊比例的手巾呈如圖所示的