試題試題廣東省深圳市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷2025.7本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生請(qǐng)務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，留存試卷，交回答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.3.已知，則（）A. B. C. D.4.若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則（）A. B.2 C. D.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.6.已知是三個(gè)不同的平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知A，B為樣本空間中的兩個(gè)隨機(jī)事件，其中，，則（）A.事件與互斥 B.C.事件與相互獨(dú)立 D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知，則（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)，則（）A.B.最小正周期為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.為了得到函數(shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為上一動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則（）A.四面體的體積為定值B.存在點(diǎn)，使平面C.二面角的正切值為D.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四面體的外接球表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知向量，且，則___________.13.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為2，3，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積為___________.14.在中，角所對(duì)的邊分別為，則的最小值為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.16.為檢驗(yàn)甲、乙兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)從兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100件，并分析其質(zhì)量指標(biāo)值.經(jīng)檢測(cè)，甲企業(yè)生成的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的頻數(shù)分布表如下表所示，乙企業(yè)生成的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖如下圖所示.質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2030301010（1）求頻率分布直方圖中的值，并比較甲、乙兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)大?。ㄍ唤M中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）；（2）現(xiàn)采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從乙企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值在和兩組中抽取5件產(chǎn)品，再從中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行分析，求這2件產(chǎn)品均來自同一組的概率.17.如圖，在三棱柱中，平面平面，點(diǎn)為BC中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求直線AC與平面所成角的正弦值.18.在中，，邊上兩條中線，相交于點(diǎn)，若.（1）用表示；（2）求；（3）若，求四邊形的面積.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（2）求的值域；（3）當(dāng)時(shí)，，求的最大值.廣東省深圳市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷2025.7本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生請(qǐng)務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，留存試卷，交回答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得到，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，可得，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合B，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由知角第二象限，所以，結(jié)合以及解出即可.【詳解】因?yàn)椋越窃诘诙笙?，則，由①②聯(lián)立解得：，故選：D.4.若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性、基本初等函數(shù)的性質(zhì)再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由在上遞增，在定義域上遞增，故在上遞增，故A不滿足題意；對(duì)于B，由在上遞增，在定義域上遞增，故在上單調(diào)遞增函數(shù)，故B不滿足題意；對(duì)于C，為偶函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知在上遞減，故C滿足題意；對(duì)于D，為偶函數(shù)，在上為周期函數(shù)，故D不滿足題意.故選：C.6.已知是三個(gè)不同的平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由面面的位置關(guān)系以及充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，，則，故是充分條件，反之，若，，則或與相交，故不是必要條件.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可求出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上恒成立.所以，解得.故選：A.8.已知A，B為樣本空間中的兩個(gè)隨機(jī)事件，其中，，則（）A.事件與互斥 B.C.事件與相互獨(dú)立 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的概念以及相關(guān)性質(zhì)，結(jié)合古典概型概率公式逐項(xiàng)分析即可.【詳解】A選項(xiàng)：由，則有，所以，即，故A不正確；B選項(xiàng)：因?yàn)椋?，又，所以，所以，故B選項(xiàng)不正確；C選項(xiàng)：由，，，所以，所以事件與相互獨(dú)立故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)椋?所以，，由事件與相互獨(dú)立，所以，故D選項(xiàng)不正確，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，取特殊值可判斷BD.【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；當(dāng)，，時(shí)，，，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，故C正確；當(dāng)，，時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位【答案】ABD【解析】【分析】直接計(jì)算即可判斷A；化簡(jiǎn)的表達(dá)式，即可求函數(shù)的最小正周期，判斷B；代入驗(yàn)證可判斷C；根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移變換結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，A正確；又，則最小正周期為，B正確；，則的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象，而，D正確，故選：ABD11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為上一動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則（）A.四面體的體積為定值B.存在點(diǎn)，使平面C.二面角的正切值為D.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四面體的外接球表面積為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可判斷；B選項(xiàng)找到點(diǎn)的位置再進(jìn)行證明；C選項(xiàng)作出二面角的平面角進(jìn)行求解；D選項(xiàng)利用直接法找到外接球的球心位置進(jìn)行求解即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在正方體中，，，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，為上一動(dòng)點(diǎn)，，正方體的棱長(zhǎng)為2，，四面體的體積為定值，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，平面，平面，平面，，分別為中點(diǎn)，，在正方形中，，，，平面，平面，平面，，分別中點(diǎn)，，平面，平面，平面，，分別為中點(diǎn)，，在正方形中，，，，平面，平面，平面，，，平面，平面，即存在點(diǎn)，使平面，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，在直角三角形中，，，，，，在中，，，，，，，，，點(diǎn)與重合，是二面角的平面角，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，在直角三角形中，，又由B選項(xiàng)中可知，平面，平面，，，，，為四面體的外接球的球心，外接球半徑為，外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，且，則___________.【答案】【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合坐標(biāo)表示垂直可得.【詳解】，因?yàn)?，所以，解?故答案為：.13.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為2，3，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積為___________.【答案】【解析】【分析】由圓臺(tái)的側(cè)面積公式得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，由勾股定理得圓臺(tái)的高，再由圓臺(tái)的體積公式得圓臺(tái)的體積.【詳解】圓臺(tái)的上底面半徑，下底面半徑，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，高為，由圓臺(tái)的側(cè)面積公式得，解得，由勾股定理得，由圓臺(tái)的體積公式得，故答案為：.14.在中，角所對(duì)的邊分別為，則的最小值為___________.【答案】3【解析】【分析】首先根據(jù)余弦定理和角的范圍求出，然后用將所求式子表示出來并化簡(jiǎn)，最后利用二次函數(shù)的最值可求得原式的最小值.【詳解】根據(jù)余弦定理得，因?yàn)椋詓inB>0，所以.所以.而.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值為.此時(shí)取最小值為.故答案為：3.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)，反過來驗(yàn)證一下即可；（2）將不等式進(jìn)行變形，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】由題意的定義域?yàn)榍沂瞧婧瘮?shù)，故，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，且的定義域?yàn)椋源藭r(shí)是上的奇函數(shù)，故滿足題意；小問2詳解】，所以滿足的的取值范圍為.16.為檢驗(yàn)甲、乙兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)從兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100件，并分析其質(zhì)量指標(biāo)值.經(jīng)檢測(cè)，甲企業(yè)生成的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的頻數(shù)分布表如下表所示，乙企業(yè)生成的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖如下圖所示.質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2030301010（1）求頻率分布直方圖中的值，并比較甲、乙兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)大?。ㄍ唤M中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）；（2）現(xiàn)采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從乙企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值在和兩組中抽取5件產(chǎn)品，再從中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行分析，求這2件產(chǎn)品均來自同一組的概率.【答案】（1）答案見解析（2）0.4【解析】【分析】（1）根據(jù)面積之和為1，求得，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算并比較大小即可得解；（2）應(yīng)在中抽取件，記這三件產(chǎn)品為，在中抽取件，記這兩件產(chǎn)品為，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】由題意，解得，甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為：，乙企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為：，所以甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)要比乙企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)小；【小問2詳解】從乙企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值在和兩組中抽取5件產(chǎn)品，則應(yīng)在中抽取件，記這三件產(chǎn)品，在中抽取件，記這兩件產(chǎn)品為，則再這5件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行分析，抽到的組合可能為：，共10種可能，這2件產(chǎn)品均來自同一組的可能情況為：，共4種可能，故所求為.17.如圖，在三棱柱中，平面平面，點(diǎn)為BC中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求直線AC與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，由三角形中位線可證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）先利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理得平面，根據(jù)線面角定義可知所求角為，在直角三角形中由長(zhǎng)度關(guān)系求解即可.【小問1詳解】連接，交于，連接，四邊形為平行四邊形，所以為中點(diǎn)，又點(diǎn)BC中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)椋c(diǎn)為BC中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，，又平面，所以平面，取的中點(diǎn)為，連接，由題意，則，由平面，平面，得，因?yàn)?，且平面，所以平面，所以直線AC與平面所成角即為，平面，，設(shè)，則，所以，在中，，即直線AC與平面所成角的正弦值為.18.在中，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，若.（1）用表示；（2）求；（3）若，求四邊