高三數(shù)學(xué)第二學(xué)期三角函數(shù)與解三角形多選題單元易錯(cuò)題測(cè)試提優(yōu)卷試題一、三角函數(shù)與解三角形多選題1．在中，角所對(duì)的邊分別為，下列命題正確的是（）A．若，的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍B．若，則一定為直角三角形C．若，則外接圓半徑為D．若，則一定是等邊三角形【答案】ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，求得，由此確定選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，求得，由此確定選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，利用正弦定理求得外接圓半徑，由此確定選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，證得，得到，確定選項(xiàng)正確.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，角最小，角最大.由余弦定理得，，，.，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，，由正弦定理得，，，由于，所以，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，，，設(shè)三角形外接圓半徑為，則，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，，故，同理可得，要使，則需，所以，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】利用正弦定理可求得三角形外接圓的半徑，要注意公式是，而不是.2．函數(shù)的部分圖像如圖中實(shí)線所示，圖中的M、N是圓C與圖像的兩個(gè)交點(diǎn)，其中M在y軸上，C是圖像與x軸的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．函數(shù)的一個(gè)周期為 B．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．圓C的面積為【答案】BD【分析】根據(jù)圖象，結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、值域以及圓的中心對(duì)稱性，可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的最小正周期、對(duì)稱中心、單調(diào)減區(qū)間，及圓的半徑，故可判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】由圖知：，，，∴中，即；對(duì)稱中心為；單調(diào)減區(qū)間為；圓的半徑，則圓的面積為；綜上，知：AC錯(cuò)誤，而B(niǎo)D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合了圓的中心對(duì)稱性質(zhì)判斷三角函數(shù)的周期、對(duì)稱中心、單調(diào)區(qū)間及求圓的面積，屬于難題.3．如圖，的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，且，是外一點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．是等邊三角形B．若，則，，，四點(diǎn)共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為【答案】AC【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可求，再利用，可知為等邊三角形，從而判斷；利用四點(diǎn)，，，共圓，四邊形對(duì)角互補(bǔ)，從而判斷；設(shè)，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，判斷．【詳解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等邊三角形，A正確；B不正確：若四點(diǎn)共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，由A正確知，但由于時(shí)，，∴B不正確．C正確，D不正確：設(shè)，則，，，，，，，，∴C正確，D不正確；故選：AC.．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．4．已知函數(shù)（其中，，），，恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．存在，使得是偶函數(shù) B．C．是奇數(shù) D．的最大值為3【答案】BCD【分析】根據(jù)得到，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到，得到或，故CD正確，代入驗(yàn)證知不可能為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤，計(jì)算得到B正確，得到答案.【詳解】，，則，，故，，，，則，故，，，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)，故，故，即，，故，故，綜上所述：或，故CD正確；或，故或，，不可能為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，故；當(dāng)時(shí)，，，故，綜上所述：，B正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和參數(shù)的計(jì)算，難度較大，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于任意分別為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，則稱為“三角形函數(shù)”，其中為“三角形函數(shù)”的函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】結(jié)合三角形的性質(zhì)有:兩邊之差小于第三邊，得若為“三角形函數(shù)”則恒成立，即恒成立即可，根據(jù)條件求出函數(shù)的最大值和最小值，進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:①，則，則恒成立,則滿足條件②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值,當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則不恒成立，則不滿足條件③，則不滿足條件恒成立，故不是④，，則，則，則恒成立，故滿足條件故選【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的性質(zhì)及“三角形函數(shù)”的概念，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為恒成立是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.6．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上的值域是【答案】BC【分析】首先求得函數(shù)，再根據(jù)選項(xiàng)，整體代入，判斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值-1，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)的值域是.故選：BC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗(yàn)證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對(duì)于函數(shù)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此判斷直線或點(diǎn)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心時(shí)，可通過(guò)驗(yàn)證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也可以求的范圍，驗(yàn)證此區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間.7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的周期為B．函數(shù)在單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象【答案】ACD【分析】先根據(jù)圖像求出的解析式，再分別驗(yàn)證A、B、C、D是否正確.對(duì)于A：利用周期公式求周期；對(duì)于B：利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”求單調(diào)區(qū)間；對(duì)于C：計(jì)算，看是否經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)；對(duì)于D：利用“左加右減”判斷.【詳解】由圖像可知：A=2，周期；由解得：故函數(shù)對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，所以在上不單調(diào).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，即直線是的一條對(duì)稱軸.故C正確；對(duì)于D：向右平移個(gè)單位得到，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】求三角函數(shù)解析式的方法：(1)求A通常用最大值或最小值；(2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函數(shù)上的點(diǎn)帶入即可求解.8．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則的最小值是D．若方程在上有2個(gè)不同實(shí)根，，則的最大值為【答案】ACD【分析】由條件可得，可得從而得出的解析式,選項(xiàng)A先得出的表達(dá)式，可判斷；選項(xiàng)B求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可判斷；選項(xiàng)C根據(jù)圖象平移變換得出解析式，可得答案；選項(xiàng)D作出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖象可判斷.【詳解】根據(jù)條件可得，所以則，由，所以所以選項(xiàng)A.為奇函數(shù)，故A正確.選項(xiàng)B.由當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B不正確.選項(xiàng)C.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到,根據(jù)條件可得當(dāng)時(shí)，所以,則由，則當(dāng)時(shí)，有的最小值是，故C正確.選項(xiàng)D.作出的圖象，如圖當(dāng)時(shí)，由，可得由，當(dāng)時(shí)，由，可得當(dāng)時(shí)，方程在上有2個(gè)不同實(shí)根，，則設(shè)，則，如圖當(dāng)時(shí)，，分別為，時(shí)，最大，最大值為，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，考查三角函數(shù)的圖象變換，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱性求出的值，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性得到，，屬于中檔題.9．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的最小正周期為 B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】借助于的圖像及y=sinx的性質(zhì)，對(duì)ABCD四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：對(duì)于A：利用求周期；對(duì)于B：利用圖像觀察，也可以根據(jù)判斷；對(duì)于C：利用圖像觀察，也可以根據(jù)否定結(jié)論；對(duì)于D：利用圖像觀察，可以得到在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的周期故A正確；對(duì)于B：∵，∴的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C：∵，故的圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，也不是其對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于C：由圖像顯然可以觀察出，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).也可以令，即，解得：或，故在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】三角函數(shù)問(wèn)題通常需要把它化為“一角一名一次”的結(jié)構(gòu)，即的結(jié)構(gòu)：（1）畫(huà)出圖像，利用圖像分析性質(zhì)；（2）用借助于或的性質(zhì)解題.10．已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期是B．的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位而得到C．是的一條對(duì)稱軸D．的一個(gè)對(duì)稱中心是【答案】AB【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)形式的公式，以及代入的方法判斷選項(xiàng).【詳解】，A.函數(shù)的最小正周期，故A正確；B.根據(jù)圖象的平移變換規(guī)律，可知函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位而得到，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故C不正確；D.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)值是2，故函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中