放縮法證明不等式放縮法主要應(yīng)用于不等式的證明問(wèn)題中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式中的放縮問(wèn)題主要涉及利用基本不等式進(jìn)行放縮，與ex、lnx有關(guān)的放縮及與三角函數(shù)sinx、cosx、tanx有關(guān)的放縮等.一、利用基本不等式進(jìn)行放縮設(shè)f（x）＝ln（x＋1）＋x+1－1，求證：當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）＜9x證明：由基本不等式，當(dāng)x＞0時(shí)，（x+1）×1＜x+1+12∴f（x）＝ln（x＋1）＋x+1－1＜ln（x＋1）＋x記h（x）＝ln（x＋1）＋x2－9則h'（x）＝1x+1＋12－54當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，故h（x）＜h（0）＝0.∴l(xiāng)n（x＋1）＋x2＜9從而f（x）＜9x規(guī)律方法將符合如a2＋b2≥2ab（a，b∈R），a＋b≥2ab（a≥0，b≥0）的式子，利用基本不等式進(jìn)行放縮后，構(gòu)造函數(shù)，從而證明不等式.二、與ex，lnx有關(guān)的放縮已知函數(shù)f（x）＝ex－x－1.（1）求證：f（x）≥0；（2）當(dāng)m≤1時(shí)，求證：不等式ex－mx＋cosx－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.證明：（1）f'（x）＝ex－1，當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）min＝f（0）＝0，即ex－x－1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，所以f（x）≥0.（2）令g（x）＝ex－mx＋cosx－2，則g'（x）＝ex－m－sinx，由（1）可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，又m≤1，所以g'（x）≥x＋1－1－sinx＝x－sinx.令h（x）＝x－sinx，則h'（x）＝1－cosx，當(dāng)x≥0時(shí)，h'（x）≥0，所以h（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[0，＋∞）時(shí)，h（x）≥h（0）＝0，則g'（x）≥0，g（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[0，＋∞）時(shí)，g（x）≥g（0）＝0，即ex－mx＋cosx－2≥0，所以當(dāng)m≤1時(shí)，不等式ex－mx＋cosx－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.規(guī)律方法1.指數(shù)放縮（1）放縮成一次函數(shù)：ex≥x＋1，ex＞x，ex≥ex；（2）放縮成類反比例函數(shù)：ex≤11－x（x＜1），ex＜－1x（2.對(duì)數(shù)放縮（1）放縮成一次函數(shù)：lnx≤x－1，ln（1＋x）≤x；（2）放縮成類反比例函數(shù)：lnx≥1－1x，ln（1＋x）≥x三、與sinx，cosx，tanx有關(guān)的放縮已知f（x）＝cosx，x∈［0，π2）.（1）求證：tanx·f（x）≤x；（2）求證：2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2）.證明：（1）因?yàn)閠anx·f（x）＝sinx，記g（x）＝sinx－x，則當(dāng)x∈［0，π2）時(shí)，g'（x）＝cosx－1≤0，所以g（x）在［0，π2）上是減函數(shù)，所以g（x）≤g（0）＝0，即tanx·f（x）≤（2）要證明2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2），即證明ex·cosx≥（1+x)(2－x2）2因?yàn)閑x≥x＋1，又由（1）可知，當(dāng)x∈［0，π2）時(shí)，sinx≤x所以excosx＝ex（1－2sin2x2）≥（x＋1）［1－2（x2）2］＝（1＋x）（1－x故x∈［0，π2）時(shí)，2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2規(guī)律方法常見(jiàn)的三角函數(shù)放縮sinx＜x（x＞0），x＜tanx（0＜x＜π2），sinx≥x－12x2，1－12x2≤cosx≤1－121.已知函數(shù)f（x）＝（x＋1）（ex－2）＋1x－sinx（1）試結(jié)合ex≥x＋1和lnx≤x－1，證明：xex＞x－1x＋2（2）求證：?x∈（0，＋∞），f（x）＞0.證明：（1）xex＝ex＋lnx≥x＋lnx＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝0時(shí)等號(hào)成立.由lnx≤x－1，得ln1x≤1x－1，即lnx≥－1x＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立.故xex＞x－1（2）因?yàn)閑x≥x＋1，xex＞x－1x＋2，所以（x＋1）ex＞2x－1x＋因?yàn)閟inx≤1，所以2x－1x＋3≥2x＋2－1x＋sinx，即（x＋1）ex＞2x＋2－1x＋sin從而（x＋1）（ex－2）＋1x－sinx＞0，即f（x）＞02.已知函數(shù)f（x）＝xlnx＋ax＋b在（1，f（1））處的切線為2x－2y－1＝0.（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與最小值；（2）求證：ex＋lnx＞cosx＋sinx解：（1）f'（x）＝1＋lnx＋a，則有f'（1）＝1＋a＝1，得a＝0.又2－2f（1）－1＝0，所以f（1）＝a＋b＝12，得b＝1故f（x）＝xlnx＋12，f'（x）＝1＋lnx當(dāng)x∈（0，1e］時(shí)，f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減當(dāng)x∈（1e，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1e］，單調(diào)遞增區(qū)間為（1e，＋∞），f（x）min＝f（1e）＝1（2）證明：要證ex＋lnx＞cosx＋sinx－1x，由－1≤cosx≤1，x＞sinx，及ex＞得ex＋lnx＞x＋1＋ln