微突破球的切、接問(wèn)題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)球的切、接問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一

般是通過(guò)對(duì)幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問(wèn)題，利

用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般以客觀題的形式出現(xiàn).

3.

正棱錐與球（1）外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半

徑為r，R2＝（h－R）2＋r2（正棱錐外接球半徑為R，高為h）；

5.

直棱柱（圓柱）的外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱

的上、下底面可以是任意三角形）.（1）確定球心O的位置，球心O在三棱柱上下底面外接圓圓心連線段

O1O2的中點(diǎn)處；

一、空間幾何體的外接球角度1

定義法

A.100πB.128πC.144πD.192πA

（2）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠B＝60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐P-ACD如圖所示，當(dāng)三棱錐P-ACD的表面積最大時(shí)，三棱錐P-ACD的外接球體積為

?.

規(guī)律方法

到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外

接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)球心到其他頂點(diǎn)的距

離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.角度2

補(bǔ)形法

A.

B.4πC.

D.

4

πA

規(guī)律方法1.

若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖

1所示.2.

若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示.3.

若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖3所示.角度3

截面法

（1）如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩

個(gè)底面和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的

側(cè)面積為（

C

）A.

πB.

2

πC.

4

πD.

6

πC

（2）（2025·南昌四校聯(lián)考）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，

M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，該正方體的外接球?yàn)榍騉，則平面A1MN

截球O得到的截面圓的面積為（

D

）A.

B.

C.

D.

D

規(guī)律方法與球截面有關(guān)的解題策略（1）定球心：外接球的球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題平面化的目的.二、空間幾何體的內(nèi)切球

（1）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC所在直線為

軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為（

B

）A.

B.

C.

D.

B

（2）（2024·海東模擬）在正四棱錐P-ABCD中，PA＝5，AB＝6，則該

四棱錐內(nèi)切球的表面積是（

C

）A.

B.

C.

D.

C

規(guī)律方法1.

內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等.2.

正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.3.

正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合.4.

體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.

A.12

B.

2

C.

6

D.48

√

2.

已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直徑為6，且AB⊥BC，BC＝2，

則該棱柱的體積的最大值為（

）A.8B.12C.16D.24√

A.1＋

B.

＋

C.

＋

D.

＋

√

4.

（2025·惠州聯(lián)考）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適

當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長(zhǎng)

為6的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為2的

截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為（

）A.20πB.21πC.22πD.23π√

5.

〔多選〕將正三棱錐P-ABC置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐”P(pán)-ABC-Q，如圖.下列關(guān)于該“倒影三棱錐”的說(shuō)法中正確的有（

）A.

PQ⊥平面ABCB.

若P，A，B，C在同一球面上，則Q也在該球面上C.

若該“倒影三棱錐”存在外接球，則AB＝

PAD.

若AB＝

PA，則PQ的中點(diǎn)必為“倒影三棱錐”外接球的球心√√