圓錐曲線的切線和切點弦1.圓錐曲線的切線和切點弦（1）切線方程：過圓錐曲線Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0（A，C不全為0）上的點M（x0，y0）的切線方程為Axx0＋Cyy0＋Dx＋x02＋Ey＋（2）切點弦方程：當M（x0，y0）在曲線外時，過M可引該二次曲線的兩條切線，過這兩個切點的弦所在直線的方程為Axx0＋Cyy0＋Dx＋x02＋Ey＋2.圓錐曲線的切線和切點弦的相關(guān)結(jié)論（1）過圓x2＋y2＝r2上一點M（x0，y0）的切線方程為xx0＋yy0＝r2；（2）設(shè)P（x0，y0）為橢圓x2a2＋y2b2＝1上的點，則過該點的切線方程為（3）設(shè)P（x0，y0）為雙曲線x2a2－y2b2＝1上的點，則過該點的切線方程為（4）設(shè)P（x0，y0）為拋物線y2＝2px上的點，則過該點的切線方程為yy0＝p（x＋x0）；（5）設(shè)P（x0，y0）為圓x2＋y2＝r2外一點，則切點弦的方程為xx0＋yy0＝r2；（6）設(shè)P（x0，y0）為橢圓x2a2＋y2b2＝1外一點，過該點作橢圓的兩條切線，切點為A，B，則弦AB的方程為（7）設(shè)P（x0，y0）為雙曲線x2a2－y2b2＝1外一點，過該點作雙曲線的兩條切線，切點為A，B，則切點弦AB的方程為（8）設(shè)P（x0，y0）為拋物線y2＝2px開口外一點，則切點弦的方程為yy0＝p（x＋x0）.一、圓錐曲線中的切線問題（1）已知橢圓C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），拋物線C2：y2＝4x，C1與C2在第一象限的交點為P，且C1和C2在點P處的切線斜率之積為－14，則C1A.12 B.3C.14 D.解析：（1）設(shè)P（x0，y0），拋物線在點P處的切線方程為y0y＝2（x＋x0），橢圓x2a2＋y2b2＝1在點P處的切線方程為x0xa2＋y0yb2＝1，則有2y0·（－b2x0a2y0）＝－（2）在直角坐標系xOy中，橢圓C的方程為x23＋y2＝1，P為橢圓C上的動點，直線l的方程為x＋y＝4，則點P到直線l的距離d的最小值為2解析：（2）令x＋y＝k與橢圓x23＋y2＝1相切，消去x整理得4y2－2ky＋k2－3＝0，所以Δ＝4k2－16（k2－3）＝12（4－k2）＝0，可得k＝±2，顯然x＋y＝4與橢圓無交點，當k＝－2，切線為x＋y＝－2，與x＋y＝4距離為62＝32；當k＝2，切線為x＋y＝2，與x＋y＝4的距離為22＝2，所以點P到直線l的距離二、圓錐曲線中的切點弦問題（1）已知拋物線C：x2＝－2py（p＞0）的焦點F與y28＋x24＝1的一個焦點重合，過焦點F的直線與C交于A，B兩不同點，拋物線C在A，B兩點處的切線相交于點M，且M的橫坐標為4，則弦｜AB｜＝（A.16B.26 C.14D.24（2）已知P（1，1）是雙曲線x2－y22＝1外一點，過P引雙曲線的兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB的方程為2x－y－2＝0解析：（1）由題意可得，F(xiàn)（0，－2），則p＝4，拋物線方程為x2＝－8y，準線方程為y＝p2＝2.由題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝kx－2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝－x128，y2＝－x228，由y＝－x28，得y'＝－x4.∴在點A處的切線方程為y－y1＝－x14（x－x1），化簡得y＝－x14x＋x128①，同理可得在點B處的切線方程為y＝－x24x＋x228②，聯(lián)立①②得xM＝x1＋x22，由M的橫坐標為4，得x1＋x2＝8，將AB的方程代入拋物線方程，可得x2＋8kx－16＝0，∴Δ＝64k2＋64＞0，x1＋x2＝－8k＝8，得k＝－1，∴y1＋y2＝k（x1＋x2）－4＝－1×8－4＝－12，則｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（2）如圖所示，法一根據(jù)題意，設(shè)切點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)結(jié)論：若點P0（x0，y0）在雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上，則過點P0的雙曲線的切線方程是x0xa2－y0yb2＝1.則可得切線PA，PB的方程分別為x1x－y1y2＝1，x2x－y2y2＝1.又因為P（1，1）在切線上，可得x1－y12＝1，x2－y22＝1.因此A（x1，y1），B（x2，y2）在直線x－法二可直接利用結(jié)論：若點P0（x0，y0）在雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）外，過點P0作雙曲線的兩條切線，切點為點P1，P2，則切點弦P1P2的直線方程是x0xa2－y0yb2＝1，可得直線AB的方程為x－1.已知P是橢圓x2＋y24＝1上的動點，則點P到直線l：x＋y－35＝0的距離的最小值為（A.52 B.C.5 D.10解析：D設(shè)與直線l平行的直線為x＋y＋c＝0，則直線x＋y＋c＝0與橢圓相切時，聯(lián)立x＋y＋c=0，x2＋y24=1，得5x2＋2cx＋c2－4＝0，Δ＝4c2－20（c2－4）＝0，得c＝±5，如圖可得，距離最近時c＝－5，則過點P且與直線x＋y－35＝0平行的直線為x＋y－2.如圖，已知點P（x0，y0）是雙曲線C1：x24－y23＝1上的點，過點P作橢圓C2：x24＋y23＝1的兩條切線，切點為A，B，直線AB交C1的兩漸近線于點E，F(xiàn)，O是坐標原點，則OE解析：橢圓C2關(guān)于點P（x0，y0）的切點弦AB的方程為x0x4＋y0y3＝1，即3x0x＋4y0y＝12，由3x0同理F（433x0－2y0，－63x0－2y3.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過圓E：x2＋y2＝a2－b2（a＞b＞0）上任意一點作雙曲線C：x2a2－y2b2＝1的兩條切線，這兩條切線互相垂直.我們通常把這個圓E稱作雙曲線C的蒙日圓.如圖，過雙曲線C：x2a2－y2＝1（a＞1）的蒙日圓上一點P作C的兩條切線，與該蒙日圓分別交于M，N兩點，tan∠PMN＝12，且△PMN的周長為6155＋23.解析：由題可知，雙曲線C的蒙日圓方程為x2＋y2＝a2－1（a＞1），且PM⊥PN，所以MN為蒙日圓的直徑，｜MN｜＝2a2－1.因為tan∠PMN＝12，所以sin∠PMN＝55，cos∠PMN＝255，｜PN｜＝｜MN｜·sin∠PMN＝255a2－1，｜PM｜＝｜MN｜cos∠PMN＝455a2－1.所以△PMN的周長為（655＋2）a4.（2025·八省聯(lián)考）已知橢圓C的離心率為12，左、右焦點分別為F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0（1）求C的方程；（2）已知點M0（1，4），證明：線段F1M0的垂直平分線與C恰有一個公共點；（3）設(shè)M是坐標平面上的動點，且線段F1M的垂直平分線與C恰有一個公共點，證明M的軌跡為圓，并求該圓的方程.解：（1）因為橢圓左、右焦點分別為F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），所以c＝1，又因為橢圓C的離心率為12得a＝2，所以b2＝3，所以橢圓方程為x24＋y2（2）證明：由M0（1，4），F(xiàn)1（－1，0）得直線M0F1斜率為k＝2，中點坐標為（0，2），所以線段F1M0的垂直平分線方程為y＝－12x＋2聯(lián)立垂直平分線方程和橢圓方程x24＋y23=1，y＝－又Δ＝4－4＝0，所以直線與橢圓相切，所以線段F1M0的垂直平分線與C恰有一個公共點.（3）法一設(shè)M（x0，y0），當y0＝0時，F(xiàn)1M的垂直平分線方程為x＝x0此時x0－12＝±2，x0＝5當y0≠0時，F(xiàn)1M的垂直平分線方程為y＝－x0+1y0x－x0聯(lián)立y得3x2＋4［（x02＋y02－1）2即3+4（x0+1）2y02x2因為線段F1M的垂直平分線與C恰有一個公共點，故Δ＝16（x0+1）2（x02＋y02－1即3（x02＋y0即y04＋（2x02－14）y02＋（x0＋1）2（x0＋3）（xy04＋（2x02－14）y02＋（x02＋2x0＋1）·（x0即（y02＋x02＋2x0＋1）（y02＋x02－因為x02＋y02＋2x0＋1＝（x0＋1）2＋y02＞0，所以x02＋y0而（5，0），（－3，0）也滿足該方程，故點M的軌跡是圓，該圓的方程為x2＋y2－2x－15＝0，即（x－1）2＋y2＝16.法二設(shè)線段F1M的垂直平分線與C切于點（x0，y0），則切點處的切線方程為x0x4＋y即3x0x＋4y0y＝12，9x02x2＋16y02y2＋24x0y0xy＝易知F1M：y＝4y03x0（x＋1），即3x0y－4y0x9x02y2＋16y02x2－24x0y0xy＝16①＋②，得（9x02＋16y02）（x2＋y2）＝144＋16又3x02＋4y0所以144＝36x02＋48y02，將其代入③得x2＋y2＝4，此方程即為線段F1M中點的軌跡方程，設(shè)動點M（xM又x＝xM－12，所以（xM－12）2＋（yM即點M的軌跡方程為（xM－1）2＋yM2＝16，其為一個圓.故該圓的方程為（x－1）2＋y2＝法三設(shè)線段F1M的垂直平分線l與C恰有一個公共點為P，則當點P不在長軸時，線段F1M的垂直平分線l即為點P處的切線，也為∠F1PM的平分線，作∠F1PF2的平分線PH，根據(jù)