微突破指、對(duì)同構(gòu)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)

在解決指對(duì)混合不等式時(shí)，如恒成立求參數(shù)或證明不等式，部分試題

是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型（即

不等式兩邊對(duì)應(yīng)的是同一函數(shù)），無疑會(huì)大大加快解決問題的速度.找到

這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們稱為同構(gòu)法，其實(shí)質(zhì)還是指數(shù)、對(duì)數(shù)恒等式的

變換.

一、指、對(duì)同構(gòu)的理解

（1）（2025·揚(yáng)州模擬）若2a＋log2a＜22b＋log2b＋1，則（

B

）A.ln（2b－a＋1）＜0B.ln（2b－a＋1）＞0C.ln｜a－2b｜＞0D.ln｜a－2b｜＜0B解析：對(duì)已知不等式變形可得：2a＋log2a＜22b＋log22b.令f（x）＝2x＋log2x，x＞0.易知函數(shù)y＝2x與y＝log2x在（0，＋∞）上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上為增函數(shù).2a＋log2a＜22b＋log22b即f（a）＜f（2b），根據(jù)函數(shù)f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上為增函數(shù)，可得2b＞a＞0，則2b－a＞0.所以2b－a＋1＞1，則ln（2b－a＋1）＞ln

1＝0，A錯(cuò)，B對(duì).無法確定｜a－2b｜與1的大小，故無法確定ln｜a－2b｜與0的大小，C、D都錯(cuò).故選B.

（2）若關(guān)于a的方程aea－2＝e4和關(guān)于b的方程b（ln

b－2）＝e3λ－1

（a，b∈R＋）可化為同構(gòu)方程，則ab的值為（

A

）A.e8B.eC.ln

6D.1A

規(guī)律方法

利用恒等式x＝ln

ex和x＝eln

x，通過冪轉(zhuǎn)指或冪轉(zhuǎn)對(duì)進(jìn)行等價(jià)變形，

構(gòu)造函數(shù)，然后由構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究.二、和、差型同構(gòu)

（1）已知x＞0，y＞0，且ex＋ln

y＞x＋y，則下列選項(xiàng)正確的是

（

B

）A.

x＞yB.

x＞ln

yC.

x＜yD.

x＜ln

yB

（2）已知函數(shù)f（x）＝aex－1－ln

x＋ln

a，若f（x）≥1，試求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.解：f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），f（x）＝aex－1－ln

x＋ln

a＝eln

a＋x

－1－ln

x＋ln

a≥1，等價(jià)于eln

a＋x－1＋ln

a＋x－1≥ln

x＋x＝eln

x＋ln

x.令g（x）＝ex＋x，上述不等式等價(jià)于g（ln

a＋x－1）≥g（ln

x）.顯然g（x）為增函數(shù)，則不等式等價(jià)于ln

a＋x－1≥ln

x，即ln

a≥ln

x－x＋1.

規(guī)律方法和、差型ea±a＞b±ln

b的兩種同構(gòu)方式（1）同左構(gòu)造：ea±a＞eln

b±ln

b，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝ex±x；（2）同右構(gòu)造：ea±ln

ea＞b±ln

b，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝x±ln

x.三、積型同構(gòu)

（1）設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若aea＜bln

b，則

（

B

）A.

ab＞eB.

b＞eaC.

ab＜eD.

b＜ea解析：由已知aea＜bln

b，則ealn

ea＜bln

b.設(shè)f（x）＝xln

x，則f

（ea）＜f

（b）.因?yàn)閍＞0，則bln

b＞0，則b＞1.當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＝

ln

x＋1＞0，則f

（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以ea＜b.故選B.

B

規(guī)律方法積型aea≤bln

b的三種同構(gòu)方式（1）同左構(gòu)造：aea≤eln

bln

b，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝xex；（2）同右構(gòu)造：ealn

ea≤bln

b，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝xln

x；（3）取對(duì)構(gòu)造：a＋ln

a≤ln

b＋ln（ln

b）（b＞1），構(gòu)造函數(shù)f（x）＝

x＋ln

x.四、商型同構(gòu)

A.

（

－∞，

］B.［－

，0）C.

（

0，

］D.［

，＋∞）D

（2）已知x∈N，y∈N，x＜y，則方程xy＝y(tǒng)x的解的組數(shù)為（

B

）A.0B.1C.2D.無窮多個(gè)B

規(guī)律方法

（3）取對(duì)構(gòu)造：a－ln

a≤ln

b－ln（ln

b）（b＞1），構(gòu)造函數(shù)f（x）＝

x－ln

x.1.

不等式ax＋eax＞ln（bx）＋bx進(jìn)行指對(duì)同構(gòu)時(shí)，可以構(gòu)造的函數(shù)是

（

）A.

f（x）＝ln

x＋xB.

f（x）＝xln

xC.

f（x）＝xexD.

f（x）＝

解析：

由恒等式x＝ln

ex可得ax＝ln

eax，所以ax＋eax＞ln（bx）＋

bx可變形為ln

eax＋eax＞ln（bx）＋bx，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝ln

x＋x，可

得f（eax）＞f（bx）.√2.

已知函數(shù)f（x）＝mln（x＋1）－3x－3，若不等式f（x）＞mx－3ex

在（0，＋∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A.

[0，3]B.[3，＋∞）C.

（－∞，3]D.（－∞，0]

√3.

設(shè)a，b都是正數(shù)，若aea＋1＋b＜bln

b（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），

則（

）A.

ab＞eB.

b＞ea＋1C.

ab＜eD.

b＜ea＋1√

A.