重難專攻（十五）概率與統(tǒng)計中的創(chuàng)新性問題【重點解讀】概率與統(tǒng)計中的創(chuàng)新性問題主要涉及概率統(tǒng)計中的證明問題、概率統(tǒng)計與數(shù)列、函數(shù)的交匯問題及概率統(tǒng)計中的新定義問題等.提能點1概率、統(tǒng)計與函數(shù)的交匯問題（2025·邵陽第一次聯(lián)考）為了選拔創(chuàng)新型人才，某大學(xué)對高三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科和物理學(xué)科進行了檢測（檢測分為初試和復(fù)試），共有4萬名學(xué)生參加初試.組織者隨機抽取了200名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值及樣本平均數(shù)的估計值；（2）若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ為樣本平均數(shù)的估計值，σ＝10.5.規(guī)定初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù)；（3）復(fù)試筆試試題包括兩道數(shù)學(xué)題和一道物理題，已知小明進入了復(fù)試，且在復(fù)試筆試中答對每一道數(shù)學(xué)題的概率均為x，答對物理題的概率為y.若小明全部答對的概率為18，答對兩道題的概率為P，求概率P的最小值解：（1）∵10×（0.012＋0.026＋0.032＋a＋0.01）＝1，∴a＝0.02.樣本平均數(shù)的估計值為50×0.12＋60×0.26＋70×0.32＋80×0.2＋90×0.1＝69.（2）∵μ＝69，σ＝10.5.∴P（X≥90）＝P（X≥μ＋2σ）≈1－0.95452∴能參加復(fù)試的人數(shù)約為40000×0.02275＝910.（3）由題意有x2y＝18答對兩道題的概率P＝x2（1－y）＋C21x（1－x）y＝x2＋2xy－3x2而x2y＝18，∴P＝x2＋14x令f（x）＝x2＋14x－38（0＜x則f'（x）＝2x－14x2∴當(dāng)x∈（0，12）時，f'（x）＜0，f（x）在（0，12）當(dāng)x∈（12，1］時，f'（x）＞0，f（x）在（12，1］∴當(dāng)x＝12時，f（x）min＝38.故概率P的最小值為規(guī)律方法通過設(shè)置變量，利用數(shù)學(xué)期望、方差或概率的計算公式構(gòu)造函數(shù)，是概率與函數(shù)問題結(jié)合最常用的方式，解決此類問題應(yīng)注意：（1）準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用公式搭建函數(shù)模型時，由于隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差，隨機事件概率的計算中涉及變量較多，式子較為復(fù)雜，所以準(zhǔn)確運算化簡是關(guān)鍵；（2）注意變量的取值范圍，一是題中給出的范圍，二是實際問題中變量自身取值的限制.練1某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動.（1）若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自A中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，ξ表示選取的人中來自A中學(xué)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為p1，p2.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響.當(dāng)p1＋p2＝43時，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值解：（1）由題意知，ξ的可能取值有0，1，2，3，P（ξ＝0）＝C43C73＝435，P（ξ＝1）＝C42C31C73＝1835，P（ξ＝2所以ξ的分布列為ξ0123P418121E（ξ）＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×1（2）因為甲、乙兩人每次答題相互獨立，設(shè)甲答對題數(shù)為χ，則χ～B（2，p1），設(shè)乙答對題數(shù)為η，則η～B（2，p2），設(shè)“A＝甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝”，則P（A）＝P（χ＝1）P（η＝2）＋P（χ＝2）P（η＝1）＋P（χ＝2）P（η＝2）＝C21p1（1－p1）C22p22＋C22＝2p1（1－p1）p22＋2p2（1－p2）p＝－3p12p22＋8由0≤p1≤1，0≤p2≤1，又p1＋p2＝43，所以13≤p1≤則p1p2＝p1（43－p1）＝43p1－p12，又13≤p1≤1，所以p1p2∈［設(shè)t＝p1p2，所以P（A）＝－3t2＋83t，t∈［13，49］，由二次函數(shù)可知當(dāng)t＝49時取最大值16提能點2概率、統(tǒng)計與數(shù)列的交匯問題（2023·新高考Ⅰ卷21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，則E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y解：（1）設(shè)“第2次投籃的人是乙”為事件A，則P（A）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.（2）設(shè)“第i次投籃的人是甲”的概率為Pi，則第i－1次投籃的人是甲的概率為Pi－1，第i－1次投籃的人是乙的概率為1－Pi－1，則Pi＝0.6·Pi－1＋（1－Pi－1）·0.2（i≥2），即Pi＝15＋25Pi－1（i≥則Pi－13＝25（Pi－1－1又P1＝12，∴P1－13＝12－13＝∴數(shù)列{Pi－13}是以16為首項，2∴Pi－13＝16×（25）i－1，即Pi＝16×（25）i∴第i次投籃的人是甲的概率為16×（25）i－1＋（3）設(shè)第i次投籃時甲投籃的次數(shù)為Xi，則Xi的可能取值為0或1，當(dāng)Xi＝0時，表示第i次投籃的人是乙，當(dāng)Xi＝1時，表示第i次投籃的人是甲，∴P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi，∴E（Xi）＝pi.Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，則E（Y）＝E（X1＋X2＋X3＋…＋Xn）＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由（2）知，pi＝13＋16×（25）i∴p1＋p2＋p3＋…＋pn＝n3＋16×［1＋25＋（25）2＋…＋（25）n－1］＝n3＋16×1－（25）n1規(guī)律方法概率與數(shù)列問題的交匯，多以概率的求解為主線，建立關(guān)于概率的遞推關(guān)系.解決此類問題的基本步驟為：（1）精準(zhǔn)定性，即明確所求概率的“事件屬性”，這是確定概率概型的依據(jù)，也是建立遞推關(guān)系的準(zhǔn)則；（2）準(zhǔn)確建模，即通過概率的求解，建立遞推關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型問題；（3）解決模型，也就是遞推數(shù)列的求解，多通過構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的問題求解.求解過程應(yīng)靈活運用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)公式.練2（2025·杭州調(diào)研）假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%，且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A（A∈N*，A＜B），賭博過程如圖所示的數(shù)軸.當(dāng)賭徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）時，最終輸光的概率為P（n），請回答下列問題：（1）請直接寫出P（0）與P（B）的數(shù)值；（2）證明{P（n）}是一個等差數(shù)列，并寫出公差d；（3）當(dāng)A＝100時，分別計算B＝200，B＝1000時，P（A）的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當(dāng)B→＋∞時，P（A）的統(tǒng)計含義.解：（1）當(dāng)n＝0時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此P（0）＝1.當(dāng)n＝B時，賭徒達到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率P（B）＝0.（2）記事件M＝“賭徒手中有n元最終輸光”，N＝“賭徒有n元下一場贏”，則P（M）＝P（N）P（M｜N）＋P（N）P（M｜N），即P（n）＝12P（n－1）＋12P（n＋1），所以P（n）－P（n－1）＝P（n＋1）－P（n），所以{P（n）}設(shè)P（n）－P（n－1）＝d，則P（n－1）－P（n－2）＝d，…，P（1）－P（0）＝d，累加得P（n）－P（0）＝nd，故P（B）－P（0）＝Bd，得d＝－1B（3）當(dāng)A＝100時，由P（n）－P（0）＝nd，得P（A）－P（0）＝Ad，即P（A）＝1－AB當(dāng)B＝200時，P（A）＝50%，當(dāng)B＝1000時，P（A）＝90%，當(dāng)B→＋∞時，P（A）→1，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會100%的概率輸光.提能點3概率、統(tǒng)計中的新定義問題（2024·金麗衢十二校第一次聯(lián)考）某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下表：測試指標(biāo)[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件數(shù)（件）121836304（1）現(xiàn)從這100件樣品中隨機抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；解：（1）記事件A為抽到一件合格品，事件B為抽到兩件合格品，P（AB）＝C702C1002＝161330，P（A）＝C1002－C302C1002＝301330，P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝161301＝2343.（2）關(guān)于隨機變量，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式，若隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）＝①若X～B（100，12），證明：P（0≤X≤25）≤1②利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當(dāng)隨機事件A發(fā)生的概率小于0.05時，可稱事件A為小概率事件）解：（2）①證明：由題知，若X～B（100，12），則E（X）＝50，D（X）＝25又P（X＝k）＝C100k（12）100＝P（X＝100－k），所以P（0≤X≤25）＝12P（0≤X≤25或75≤X≤100）＝12P（｜X由切比雪夫不等式可知，P（｜X－50｜≥25）≤25252＝125，所以P（0≤X≤②設(shè)隨機抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為X，假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為90%的說法成立，則X～B（100，0.9），所以E（X）＝90，D（X）＝9，由切比雪夫不等式知，P（X＝70）≤P（｜X－90｜≥20）≤9400＝0.0225，即在假設(shè)下100個元件中合格品為70個的概率不超過0.0225，此概率極小，由小概率原理可知，一般來說在一次試驗中是不會發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信規(guī)律方法解決概率統(tǒng)計中新定義問題的過程可以概括為“過三關(guān)”：第一關(guān)，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化關(guān)，即要解決新定義問題，一定要理解題目中定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給的新定義、新運算法則、新符號等對所求問題進行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化；第二關(guān)，方法選取關(guān)，對此類題可以采取特例法，從邏輯推理的角度進行轉(zhuǎn)化，理解題目中新定義的本質(zhì)并進行推廣、運算；第三關(guān)，審讀題目關(guān)，嚴(yán)格按照新定義的要求，解答問題時要避免教材知識或者已有知識對信息的干擾，也就是突破思維定式或固有的已知信息束縛，按新定義尋求解決問題的方法.練3若ξ，η是樣本空間Ω上的兩個離散型隨機變量，則稱（ξ，η）是Ω上的二維離散型隨機變量.設(shè)（ξ，η）的所有可能取值為（ai，bj），i，j＝1，2，…，s，記pij表示（ai，bj）在Ω中出現(xiàn)的概率，Pij＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].（1）將三個相同的小球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，記1號盒子中的小球個數(shù)為ξ，2號盒子中的小球個數(shù)為η，則（ξ，η）是一個二維離散型隨機變量.①寫出該二維離散型隨機變量（ξ，η）的所有可能取值；②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（結(jié)果用m，n表示）.（2）P（ξ＝ai）稱為二維離散型隨機變量（ξ，η）關(guān)于ξ的邊緣分布律或邊際分布律，求證：P（ξ＝ai）＝∑j=1s解：（1）①二維離散型隨機變量（ξ，η）的所有可能取值為：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（3，0）.②依題意，0≤m＋n≤3，P（ξ＝m，η＝n）＝P（ξ＝m｜η＝n）·P（η＝n）.當(dāng)n＝3時，m＝0，P（ξ＝m，η＝n）＝C33（13）3當(dāng)n＜3時，P（η＝n）＝C3n（13）n（23）3－n，則P（ξ＝m｜η＝n）＝C3－nm（12）m（12）3－n－所以P（ξ＝m，η＝n）＝C3－nm（12）3－n·C3n（13）n·（23n＝3時也滿足上式.綜上，P（ξ＝m，η＝n）＝29（2）證明：由定義及全概率公式知，P（ξ＝ai）＝P{（ξ＝ai）∩[（η＝b1）∪（η＝b2）∪…∪（η＝bs）]}＝P[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]＋P[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]＋…＋P[（ξ＝ai）∩（η＝bs）]＝∑j=1sP[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＝∑j=1sP（ξ＝ai，η＝b1.（2025·蚌埠第一次質(zhì)量檢測）寒假期間小明每天堅持在“跑步3000米”和“跳繩2000個”中選擇一項進行鍛煉，在不下雪的時候，他跑步的概率為60%，跳繩的概率為40%，在下雪天，他跑步的概率為20%，跳繩的概率為80%.若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為50%，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為40%.已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大約消耗能量330卡路里，跳繩2000個大約消耗能量220卡路里.記寒假第n天不下雪的概率為pn.（1）求p1，p2，p3的值，并證明pn－（2）求小明寒假第n天通過運動鍛煉消耗能量的期望.解：（1）依題意，p1＝1，p2＝0.5，p3＝p2×0.5＋（1－p2）×（1－0.4）＝0.6－0.1p2＝0.55，依題意pn＝pn－1×0.5＋（1－pn－1）×（1－0.4）＝0.6－0.1pn－1（n≥2，n∈N*），整理得pn－611＝－110（pn－1－611）（n≥2，n∈N*），又p1－611＝所以pn－611是首項為511，（2）由（1）知，寒假第n天不下雪的概率pn＝511（－110）n－1＋從而小明寒假第n天跑步的概率為qn＝pn×0.6＋（1－pn）×0.2＝0.2＋0.4pn＝2355＋211（－110）n則他第n天通過運動鍛煉消耗能量的期望為330qn＋220（1－qn）＝220＋110qn＝266＋20（－110）n－1（n∈N*2.（2025·北京海淀區(qū)一模）為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，現(xiàn)從一批患者中隨機抽取100名患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療，記其中采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療受益的患者數(shù)分別為X和Y.在治療過程中，用指標(biāo)I衡量患者是否受益：若μ－σ≤I≤μ＋σ，則認(rèn)為指標(biāo)I正常；若I＞μ＋σ，則認(rèn)為指標(biāo)I偏高；若I＜μ－σ，則認(rèn)為指標(biāo)I偏低.若治療后患者的指標(biāo)I正常，則認(rèn)為患者受益于治療方案，否則認(rèn)為患者未受益于治療方案.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，受益于標(biāo)準(zhǔn)治療方案的患者比例為0.6.（1）求E（Y）和D（Y）；（2）統(tǒng)計量是關(guān)于樣本的函數(shù)，選取合適的統(tǒng)計量可以有效地反映樣本信息.設(shè)采用新治療方案的第i位患者治療后指標(biāo)I的值為xi，i＝1，2，…，50，定義函數(shù)：f（xi）＝1（ⅰ）簡述以下統(tǒng)計量所反映的樣本信息，并說明理由.①A＝｜f（x1）｜＋｜f（x2）｜＋…＋｜f（x50）｜；②B＝12{f（x1）[f（x1）＋1]＋f（x2）[f（x2）＋1]＋…＋f（x50）[f（x50＋1（ⅱ）為確定新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，請在（ⅰ）中的統(tǒng)計量中選擇一個合適的統(tǒng)計量，并根據(jù)統(tǒng)計量的取值作出統(tǒng)計決策.解：（1）由題設(shè)知Y服從二項分布B（50，0.6），所以E（Y）＝50×0.6＝30，D（Y）＝50×0.6×0.4＝12.（2）（ⅰ）統(tǒng)計量A反映了未受益于新治療方案的患者數(shù)，理由如下：若第i位患者受益于新治療方案，則其指標(biāo)I的值xi滿足f（xi）＝0，否則｜f（xi）｜＝1，會被統(tǒng)計量A計入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統(tǒng)計量A的數(shù)值加1.統(tǒng)計量B反映了未受益于新治療方案且指標(biāo)I偏高的患者數(shù)量，理由如下：若第i位患者接受新治療方案后指標(biāo)I偏低或正常，則其指標(biāo)I的值xi滿足f（xi）[f（xi）＋1]＝0，若指標(biāo)I偏高，則f（xi）[f（xi）＋1]＝2，f（xi)[f（x且每位未受益于新治療方案且指標(biāo)I偏高的患者恰使得統(tǒng)計量B的數(shù)值加1.（ⅱ）由題設(shè)知新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案等價于一次試驗中X的觀測值大于Y的數(shù)學(xué)期望，由（ⅰ）知X的觀測值x＝50－A，因此當(dāng)50－A＞30，即A＜20時，認(rèn)為新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案；當(dāng)50－A＝30，即A＝20時，認(rèn)為新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案相當(dāng)；當(dāng)50－A＜30，即A＞20時，認(rèn)為新治療方案劣于標(biāo)準(zhǔn)治療方案.3.（2024·汕頭一模）2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學(xué)實驗教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個學(xué)科900多項實驗與實踐活動.我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進行科學(xué)實踐活動，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因為他不知道前面是否有更大的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)小明在果園中一共會遇到n個番石榴（不妨設(shè)n個番石榴的大小各不相同），最大的那個番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那個最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前k（1≤k＜n）個番石榴，自第k＋1個開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這個番石榴，否則就摘最后一個.設(shè)k＝tn，記小明摘到那個最大番石榴的概率為P.（1）若n＝4，k＝2，求P；（2）當(dāng)n趨向于無窮大時，從理論的角度，求P的最大值及P取最大值時t的值.（取1k＋1k+1＋…＋1n解：（1）依題意，4個番石榴的位置從第1個到第4個排序，有A44＝24要摘到那個最大的番石榴，有以下兩種情況：①最大的番石榴是第3個，其他的隨意在哪個位置，有A33＝6②最大的番石榴是最后1個，第二大的番石榴是第1個或第2個，其他的隨意在哪個位置，有2A22＝4種情況，所以所求概率為6+424（2）記事件A表示最大的番石榴被摘到，事件Bi表示最大的番石榴排在第i個，則P（Bi）＝1n，由全概率公式知：P（A）＝∑i=1nP（A｜Bi）P（Bi）＝1n∑當(dāng)1≤i≤k時，最大的番石榴在前k個中，不會被摘到，此時P（A｜Bi）＝0；當(dāng)k＋1≤i≤n時，最大的番石榴被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前i－1個番石榴中的最大一個在前k個之中時，此時P（A｜Bi）＝ki因此P（A）＝1n（kk＋kk+1＋…＋kn－令g（x）＝xnlnnx（x＞0），求導(dǎo)得g'（x）＝1nlnnx－1n，由g'（x）＝0，當(dāng)x∈（0，ne）時，g'（x）＞0，當(dāng)x∈（ne，n）時，g'（x）＜即函數(shù)g（x）在（0，ne）上單調(diào)遞增，在（ne，n）則g（x）max＝g（ne）＝1e，于是當(dāng)k＝ne時，P（A）＝knln所以P的最大值為1e，此時t的值為14.在數(shù)字1，2，…，n（n≥2）的任意一個排列A：a1，a2，…，an中，如果對于i，j∈N*，i＜j，有ai＞aj，那么就稱（ai，aj）為一個逆序?qū)?記排列A中逆序?qū)Φ膫€數(shù)為S（A）.如n＝4時，在排列B：3，2，4，1中，逆序?qū)τ校?，2），（3，1），（2，1），（4，1），則S（B）＝4.（1）設(shè)排列C：a1，a2，a3，a4，寫出兩組具體的排列C，分別滿足：①S（C）＝5，②S（C）＝4；（2）對于數(shù)字1，2，…，n的一切排列A，求所有S（A）的算術(shù)平均值；（3）如果把排列A：a1，a2，…，an中兩個數(shù)字ai，aj（i＜j）交換位置，而其余數(shù)字的位置保持不變，那么就得到一個新的排列A'：b1，b2，…，bn，求證：S（A）＋S（A'）為奇數(shù).解：（1）①C：4，2，3，1，則逆序?qū)τ校?，2），（4，3），（2，1），（4，1），（3，1），則S（C）＝5；②C：2，4，3，1，則逆序?qū)τ校?，3），（3，1），（4，1），（2