第04講有理數(shù)的乘方及混合運算（核心考點講與練）一、乘方乘方：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．在中，讀作“a的n次冪”或者“a的n次方”，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．【例】表示有n個a連續(xù)相乘：表示，表示，表示．【注】當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，．二、混合運算技巧1．有理數(shù)運算規(guī)則加減法為一級運算，乘除法為二級運算，乘方及開方稱為三級運算．（1）先乘方，再乘除，最后加減；（2）同級運算，從左到右進行；（3）如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．簡記為：從左到右，從高（級）到低（級），從?。ɡㄌ枺┑酱螅ɡㄌ枺?．“奇負偶正”（1）多重負號的化簡：這里奇、偶指的是“”號的個數(shù)，正、負指的是化簡結(jié)果的符號；（2）有理數(shù)乘法：當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇、偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正、負指的是結(jié)果中積的符號；（3）有理數(shù)乘方：這里奇、偶指的是指數(shù)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正．【例】；．三、科學記數(shù)法把一個數(shù)寫成（其中，是正整數(shù)），這種形式的記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法．考點一:有理數(shù)乘方【例1】把-(A．-243 B．-(23【解題思路】根據(jù)冪的意義即可得出答案，求n個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方．【解答過程】解：-23當?shù)讛?shù)的時候，要加括號，故底數(shù)是-23，故在最前面有一個負號，故C選項錯誤；原式寫成乘方的形式是﹣（-23）4，故故選：D．【例2】下列各對數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．﹣（﹣3）2與﹣（﹣2）3 B．﹣32與（﹣3）2 C．﹣3×23與﹣32×2 D．﹣23與（﹣2）3【解題思路】根據(jù)乘方的定義分別求解可得．【解答過程】解：A．﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（﹣2）3＝8，不相等；B．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不相等；C．﹣3×23＝﹣24，﹣32×2＝﹣18，不相等；D．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，相等；故選：D．【例3】若a、b為整數(shù)，且|a﹣2|+（b+3）2020＝1，則ba＝．【解題思路】先利用絕對值和乘方的意義得到a＝1或3，b＝﹣3或a＝2，b＝﹣4或﹣2，然后利用的意義進行計算．【解答過程】解：∵|a﹣2|≥0，（b+3）2020≥0，而a、b為整數(shù)，∴|a﹣2|＝1，（b+3）2020＝0或|a﹣2|＝0，（b+3）2020＝1，∴a＝1或3，b＝﹣3或a＝2，b＝﹣4或﹣2，當a＝1，b＝﹣3時，ba＝﹣3；當a＝3，b＝﹣3時，ba＝（﹣3）3＝﹣27；當a＝2，b＝﹣4，ba＝（﹣4）2＝16；當a＝2，b＝﹣2時，ba＝（﹣2）2＝4；綜上所述，ba＝（﹣3）3＝﹣27；的值為﹣3或﹣27或4或16．故答案為﹣3或﹣27或4或16．【例4】（2021春?金山區(qū)期末）計算：-3【解題思路】利用有理數(shù)混合運算的法則運算：先做乘方，再做乘除，最后做加減，有括號的先做括號里面的．【解答過程】解：原式＝﹣9÷（4﹣1）+（23＝﹣9÷3+（23×24＝﹣3+（16﹣6）＝﹣3+10＝7．【變式41】（2021春?奉賢區(qū)期中）計算：-1【解題思路】先算乘方，再算乘法，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．注意乘法分配律的靈活運用．【解答過程】解：-＝﹣1﹣（2﹣9）-118×24-＝﹣1+7﹣33﹣56+90＝7．【變式42】（2021春?浦東新區(qū)月考）計算：(-【解題思路】根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法和加減法可以解答本題．【解答過程】解：(＝（﹣1）+12×43×＝（﹣1）﹣64﹣5＝﹣70．【例5】看過西游記的同學都知道：孫悟空會分身術(shù)，他搖身一變就變成2個悟空；這兩個悟空搖身一變，共變成4個悟空；這4個悟空再變，又變成8個悟空…假設悟空一連變了30次，那么會有多少個孫悟空？【解題思路】根據(jù)有理數(shù)乘方的定義，可推斷出變化30次，孫悟空的個數(shù)2×2×...×2（30個2相乘）＝230（個）．【解答過程】解：變化一次，孫悟空的個數(shù)為2＝21（個）；變化兩次，孫悟空的個數(shù)為2×2＝22＝4（個）；變化三次，孫悟空的個數(shù)為2×2×2＝23＝8（個）；變化四次，孫悟空的個數(shù)為2×2×2×2＝24＝16（個）；..．以此類推，變化30次，孫悟空的個數(shù)2×2×...×2（30個2相乘）＝230（個）．∴悟空一連變了30次，會有230個孫悟空．【例6】2020秋?驛城區(qū)校級期中）請認真閱讀下面材料，并解答下列問題．如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，即指數(shù)式ab＝N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，對數(shù)式記作：logaN＝b．例如：①因為指數(shù)式22＝4，所以以2為底4的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：log24＝2；②因為指數(shù)式42＝16，所以以4為底16的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：log416＝2．（1）請根據(jù)上面閱讀材料將下列指數(shù)式改為對數(shù)式：①62＝36；②43＝64；（2）將下列對數(shù)式改為指數(shù)式：①log525＝2；②log327＝3；（3）計算：log232．【解題思路】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；（2）利用對數(shù)的定義寫成冪的形式；（3）先利用乘方的意義得到25＝32，然后根據(jù)對數(shù)的定義求解．【解答過程】解：（1）①62＝36；對數(shù)式記作：log636＝2；②43＝64；對數(shù)式記作：log464＝3；（2）①log525＝2；指數(shù)式為52＝25，②log327＝3；指數(shù)式為33＝27；（3）∵25＝32，log232＝5．考點二：科學記數(shù)法【例7】（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，是津巴布韋于2009年發(fā)行的一張面值為100萬億的津元，但這一張100萬億津元還抵不上1美元的價值，在當?shù)?，一張這樣的鈔票也就頂多能買一個面包．“100萬億”可以用科學記數(shù)法表示（）A．1×1010 B．1×1012 C．1×1013 D．1×1014【解題思路】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答過程】解：100萬億＝100×104×108＝100000000000000＝1×1014．故選：D．【例8】（2021春?浦東新區(qū)期末）據(jù)報道，國新辦于2021年5月11日上午就第七次全國人口普查主要數(shù)據(jù)結(jié)果舉行發(fā)布會，發(fā)布會上透露全國人口已達14.1178億人，這里的近似數(shù)“14.1178億”精確到（）A．億位 B．千萬位 C．萬分位 D．萬位【解題思路】根據(jù)近似數(shù)“14.1178億”，可知最后的數(shù)字8在萬位上，從而可以解答本題．【解答過程】解：近似數(shù)“14.1178億”精確到萬位，故選：D．一、單選題1．下列式子中計算錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則以及有理數(shù)的乘方運算法則計算即可.【詳解】解：A.，故正確；B.，故正確；C.，故正確；D.，故錯誤.故選D.【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.2．下列運算中，結(jié)果為負數(shù)的是()A． B． C． D．【答案】D【分析】對于A，負數(shù)的偶數(shù)次方冪是正數(shù)；對于B、C、D進行化簡計算，即可判斷正負.【詳解】A、，是正數(shù)B、，是正數(shù)C、，是正數(shù)D、，是負數(shù)故答案選D.【點睛】本題主要考查了負整數(shù)指數(shù)冪和負數(shù)的定義，需要注意正負號的變化.3．對任意實數(shù)a，下列各式不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當a=0時，；當時，.不成立.故選B.4．按如圖所示的運算程序,能使輸出的結(jié)果為的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由題可知，代入、值前需先判斷的正負，再進行運算方式選擇，據(jù)此逐項進行計算即可得.【詳解】選項，故將、代入，輸出結(jié)果為，不符合題意；選項，故將、代入，輸出結(jié)果為，不符合題意；選項，故將、代入，輸出結(jié)果為，符合題意；選項，故將、代入，輸出結(jié)果為，不符合題意，故選C.【點睛】本題主要考查程序型代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)運算程序，先進行的正負判斷，選擇對應運算方式，然后再進行計算.5．根據(jù)國家統(tǒng)計局1月28日發(fā)布《2010年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》，去年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值﹙﹚為397983億元．用科學記數(shù)法保留三個有效數(shù)字為（）A．億元 B．億元C．億元 D．億元【答案】C【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯點，由于397983有6位，所以可以確定n=61=5．有效數(shù)字的計算方法是：從左邊第一個不是0的數(shù)字起，后面所有的數(shù)字都是有效數(shù)字．用科學記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字只與前面的a有關(guān)，與10的多少次方無關(guān)．【詳解】解：397983億=3.97983×105億元≈3.98×105億元．

故選：C．【點睛】此題主要考查了科學記數(shù)法的表示方法，以及用科學記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字的確定方法．6．已知地球距月球約384200千米，那么這個距離用科學記數(shù)法（保留三個有效數(shù)字）表示應為（）A．3.84×104千米B．3.84×105千米C．3.84×106千米D．3.84×107千米【答案】B試題分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯點，由于384200有6位，所以可以確定n=6﹣1=5．有效數(shù)字的計算方法是：從左邊第一個不是0的數(shù)字起，后面所有的數(shù)字都是有效數(shù)字．用科學記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字只與前面的a有關(guān)，與10的多少次方無關(guān)．解：384200=3.842×105≈3.84×105．故選B．二、填空題7．填空：（1）______；_______；_______；______；（2）______；______；______；_____．（3）_______；_______；_______；______．【答案】80111【分析】（1）根據(jù)乘方的定義及運算法則逐一計算即可得答案；（2）根據(jù)乘方的定義及運算法則逐一計算即可得答案；（3）根據(jù)乘方的定義及運算法則逐一計算即可得答案．【詳解】（1）（2）3=8，，=，0；（2）12n=1，（1）（1）2n=1，102n，102n+1；（3）1，，，．故答案為：8，，，0，1，1，102n，102n+1，1，，，【點睛】本題考查乘方的定義及運算，熟練掌握定義及運算法則是解題關(guān)鍵．8．計算:=_____________【答案】.【分析】按照有理數(shù)混合運算的順序，先乘方后乘除再加減，有括號的先算括號里面的，計算過程中注意正負符號的變化.【詳解】原式=?1?.故答案為：.【點睛】此題考查有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則.9．若a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，且，則___________．【答案】2【分析】利用相反數(shù)，倒數(shù)的性質(zhì)確定出a+b，cd的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：根據(jù)題意得：a+b=0，cd=1，則原式=0+1（1）=2．故答案為：2．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．10．計算：(9×103)(6×102)=______________________【答案】5.4×104【分析】根據(jù)同度數(shù)冪的運算法則進行計算即可求出答案．【詳解】(9×103)(6×102)=6×9×103×102，=54×105=5.4×104故選答案為：5.4×104．【點睛】本題考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵熟練運用實數(shù)的運算法則，本題屬于基礎題型．11．對于任意實數(shù)m、n，都有m▲n=3m+2n，則[2▲（3）▲（1）]的值為__________。【答案】2【分析】根據(jù)題意，利用給出的運算法則，代入進行計算即可.【詳解】解：∵m▲n=3m+2n，∴[2▲（3）▲（1）]=▲（1）=0▲（1）==；故答案為：.【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，以及新定義運算法則，解題的關(guān)鍵是掌握題干中的新定義運算法則.12．計算：__________________（結(jié)果用冪的形式表示）?！敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了指數(shù)運算法則的計算.【詳解】×(33)=.【點睛】本題考查了指數(shù)運算的化簡，掌握指數(shù)運算法則是解決此題的關(guān)鍵.13．隨著中國綜合國力的提升，近年來全球?qū)W習漢語的人數(shù)不斷增加，據(jù)報道，2013年海外學習漢語的學生人數(shù)已達1500000000人，1500000000用科學記數(shù)法表示為__________人．【答案】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【詳解】解：1500000000用科學記數(shù)法表示為1.5×109；

故答案為：1.5×109．【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．14．用科學記數(shù)法表示2018≈________．（保留兩個有效數(shù)字）【答案】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定a×10n（1≤|a|＜10，n為整數(shù)）中n的值是易錯點；有效數(shù)字的計算方法是：從左邊第一個不是0的數(shù)字起，后面所有的數(shù)字都是有效數(shù)字．用科學記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字只與前面的a有關(guān)，與10的多少次方無關(guān)．【詳解】將2018用科學計數(shù)法表示為2.018×103，保留兩位有效數(shù)字為2.0×103．故答案為：．【點睛】此題考查科學記數(shù)法和有效數(shù)字，解題關(guān)鍵在于掌握用a×10n（1≤a＜10，n為整數(shù)）的形式表示數(shù)的方法叫科學記數(shù)法；從一個近似數(shù)左邊第一個不為0的數(shù)數(shù)起到這個數(shù)完，所以這些數(shù)字都叫這個近似數(shù)的有效數(shù)．三、解答題15．計算：（6×102）2×（）（用科學記數(shù)法表示）．【答案】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|