22.3.1相似三角形的性質(zhì)定理1第22章

相似形【2025-2026學(xué)年】滬科版

數(shù)學(xué)

九年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********22.3.1相似三角形的性質(zhì)定理1學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握相似三角形的性質(zhì)定理1，即相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。能夠運用該定理解決與相似三角形的高、中線、角平分線相關(guān)的計算和證明問題。進(jìn)一步體會相似三角形的性質(zhì)與判定之間的聯(lián)系，提升幾何推理和計算能力。課堂講解一、相似三角形的性質(zhì)定理1（一）定理內(nèi)容相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。如圖1，若\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)，相似比為\(k\)，即\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)。\(AD\)和\(A'D'\)分別是\(\triangleABC\)和\(\triangleA'B'C'\)的對應(yīng)高（\(AD\perpBC\)，\(A'D'\perpB'C'\)），則\(\frac{AD}{A'D'}=k\)。\(AE\)和\(A'E'\)分別是\(\triangleABC\)和\(\triangleA'B'C'\)的對應(yīng)中線（\(E\)是\(BC\)中點，\(E'\)是\(B'C'\)中點），則\(\frac{AE}{A'E'}=k\)。\(AF\)和\(A'F'\)分別是\(\triangleABC\)和\(\triangleA'B'C'\)的對應(yīng)角平分線（\(\angleBAC\)的平分線交\(BC\)于\(F\)，\(\angleB'A'C'\)的平分線交\(B'C'\)于\(F'\)），則\(\frac{AF}{A'F'}=k\)。（二）定理推導(dǎo)（以對應(yīng)高為例）已知\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)，相似比為\(k\)，\(AD\)和\(A'D'\)分別是對應(yīng)高。因為\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)，所以\(\angleB=\angleB'\)（相似三角形對應(yīng)角相等）。又因為\(AD\perpBC\)，\(A'D'\perpB'C'\)，所以\(\angleADB=\angleA'D'B'=90^{\circ}\)。因此，\(\triangleABD\sim\triangleA'B'D'\)（兩角分別相等的兩個三角形相似）。根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，可得\(\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k\)。同理可推導(dǎo)對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比等于相似比：對于對應(yīng)中線，因為\(E\)、\(E'\)是中點，所以\(\frac{BE}{B'E'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k\)，結(jié)合\(\angleB=\angleB'\)，\(\frac{AB}{A'B'}=k\)，可得\(\triangleABE\sim\triangleA'B'E'\)，進(jìn)而\(\frac{AE}{A'E'}=k\)。對于對應(yīng)角平分線，因為\(AF\)、\(A'F'\)是角平分線，所以\(\angleBAF=\angleB'A'F'\)，結(jié)合\(\angleB=\angleB'\)，可得\(\triangleABF\sim\triangleA'B'F'\)，進(jìn)而\(\frac{AF}{A'F'}=k\)。二、定理的應(yīng)用（一）利用對應(yīng)高的比解決問題例1：如圖2，\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(2:3\)，\(AH\)、\(DG\)分別是對應(yīng)邊\(BC\)、\(EF\)上的高，若\(AH=4\)，求\(DG\)的長。解：因為\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(2:3\)，且\(AH\)、\(DG\)是對應(yīng)高，根據(jù)相似三角形性質(zhì)定理1，\(\frac{AH}{DG}=\frac{2}{3}\)。已知\(AH=4\)，則\(\frac{4}{DG}=\frac{2}{3}\)，解得\(DG=6\)。（二）利用對應(yīng)中線的比解決問題例2：在\(\triangleABC\)和\(\triangleA'B'C'\)中，\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)，相似比為\(1:4\)，\(AM\)、\(A'M'\)分別是\(BC\)、\(B'C'\)上的中線，若\(A'M'=12\)，求\(AM\)的長。解：由于\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)，相似比為\(1:4\)，\(AM\)、\(A'M'\)是對應(yīng)中線，根據(jù)性質(zhì)定理1，\(\frac{AM}{A'M'}=\frac{1}{4}\)。已知\(A'M'=12\)，則\(\frac{AM}{12}=\frac{1}{4}\)，解得\(AM=3\)。（三）利用對應(yīng)角平分線的比解決問題例3：如圖3，\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)，\(AD\)、\(A'D'\)分別是\(\angleBAC\)、\(\angleB'A'C'\)的平分線，若\(\frac{AD}{A'D'}=\frac{3}{5}\)，\(AB=6\)，求\(A'B'\)的長。解：因為\(AD\)、\(A'D'\)是對應(yīng)角平分線，且\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)，根據(jù)性質(zhì)定理1，\(\frac{AD}{A'D'}=\)相似比\(=\frac{AB}{A'B'}\)。已知\(\frac{AD}{A'D'}=\frac{3}{5}\)，\(AB=6\)，則\(\frac{6}{A'B'}=\frac{3}{5}\)，解得\(A'B'=10\)。三、注意事項應(yīng)用定理時，要明確“對應(yīng)”二字，即高、中線、角平分線必須是對應(yīng)邊上的，避免混淆對應(yīng)關(guān)系。相似比是有順序的，若\(\triangleABC\)與\(\triangleA'B'C'\)的相似比為\(k\)，則\(\triangleA'B'C'\)與\(\triangleABC\)的相似比為\(\frac{1}{k}\)，對應(yīng)的高、中線、角平分線的比也隨之反向。該定理可與相似三角形的判定定理結(jié)合使用，在已知相似的情況下求線段長度，或通過線段的比判定三角形相似后再應(yīng)用性質(zhì)。課堂小結(jié)相似三角形的性質(zhì)定理1：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。定理可通過證明對應(yīng)的小三角形相似推導(dǎo)得出。應(yīng)用定理時，要準(zhǔn)確識別對應(yīng)線段，結(jié)合相似比解決與高、中線、角平分線相關(guān)的計算和證明問題。作業(yè)提升已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(5:4\)，\(BG\)、\(EH\)分別是對應(yīng)角的平分線，若\(BG=10\)，求\(EH\)的長。如圖4，\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，\(AM\)、\(AN\)分別是\(\triangleADE\)、\(\triangleABC\)的中線，若\(DE:BC=2:5\)，\(AN=15\)，求\(AM\)的長。兩個相似三角形的對應(yīng)高分別為\(3cm\)和\(5cm\)，求它們的相似比，以及對應(yīng)中線的比。如圖5，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，\(AG\perpBC\)于\(G\)，交\(DE\)于\(H\)，若\(DE=4\)，\(BC=6\)，\(AG=5\)，求\(AH\)的長。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入三角形中有各種各樣的幾何量，例如三條邊的長度，三個內(nèi)角的度數(shù)，高、中線、角平分線的長度等，如果兩個三角形相似，那么它們的這些幾何量之間有什么關(guān)系呢？思考

新課探究根據(jù)相似三角形的定義可知,相似三角形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例.現(xiàn)在,我們研究相似三角形的其他幾何量之間的關(guān)系.

已知:如圖,△ABC∽△A′B′C′,它們的相似比為k,AD,A′D′是對應(yīng)高.1.相似三角形對應(yīng)邊上的高有什么關(guān)系呢？求證:ABCDC′B′A′D′

證明∵△ABC∽△A′B′C′,

∴∠B=∠B′.∵∠BDA=∠B′D′A′=90°,∴Rt△ABD∽Rt△A′B′D′.

∴ABCDC′B′A′D′相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比.

2.相似三角形對應(yīng)邊上的中線有什么關(guān)系呢？（1）如圖,△ABC,AE為BC邊上的中線,則把三角形擴(kuò)大2倍后得△A′B′C′,A′E′為BC邊上的中線.△ABC與△A′B′C′的相似比是多少？AE與A′E′的比是多少？ABCEE′A′B′C′

（2）如右圖兩個相似三角形的比為k,則對應(yīng)邊上的中線的比是多少呢？說說你判斷的理由是什么？ABCEE′A′B′C′相似三角形對應(yīng)邊上的中線之比等于相似比.

3.相似三角形對應(yīng)角的角平分線有什么關(guān)系呢？B′A′C′D′BACD已知:如圖,△ABC∽△A′B′C′,它們的相似比為k,AD,A′D′分別是∠BAC,∠B′A′C′的角平分線.求證:

證明∵△ABC∽△A′B′C′,

∴∠BAC=∠B′A′C′,∴∠DAC=∠D′A′C′,∴△DAB∽△D′A′B′.

∴B′A′C′D′BACD∠C=∠C′.又∵AD,A′D′分別是∠BAC,∠B′A′C′的角平分線.相似三角形對應(yīng)角的角平分線之比等于相似比.

相似三角形的性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.ABCDEFA′B′C′D′E′F′

隨堂演練1.判斷題（1）相似三角形的中線比等于相似比()（2）兩個相似三角形的邊長之比等于高之比.

()××

2.填空.（1）相似三角形對應(yīng)邊的比為2∶3,那么相似比為_______,對應(yīng)角的角平分線的比為______.（2）兩個相似三角形的相似比為1∶4,則對應(yīng)高的比為______,對應(yīng)角的角平分線的比為______.2∶32∶31∶41∶4

3.如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,點F在BC上,連DF與AB的延長線交于點G.（1）求證:△CDF∽△BGF;（2）當(dāng)點F是BC的中點時,過F作EF∥CD交AD于點E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的長.

（1）證明:∵在梯形ABCD中,AB∥CD,

∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,∴△CDF∽△BGF.

（2）由（1）知△CDF∽△BGF,又F是BC的中點,

∴BF=FC,∴△CDF≌△B