22.3實(shí)踐與探索第22章

一元二次方程【2025-2026學(xué)年華東師大版】數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********幻燈片1：封面標(biāo)題：22.3實(shí)踐與探索副標(biāo)題：運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題幻燈片2：引入一元二次方程在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率問(wèn)題、面積問(wèn)題、銷售利潤(rùn)問(wèn)題等。本節(jié)課將通過(guò)具體實(shí)例，學(xué)習(xí)如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程，并用它解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。幻燈片3：用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟審題：仔細(xì)閱讀題目，理解題意，明確已知條件和所求問(wèn)題。設(shè)元：選擇合適的未知數(shù)，用字母表示（通常設(shè)所求問(wèn)題為未知數(shù)，有時(shí)也設(shè)中間量）。列方程：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出一元二次方程。解方程：運(yùn)用合適的方法（直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法）解所列方程。檢驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義（如長(zhǎng)度不能為負(fù)、人數(shù)不能為小數(shù)等）。作答：寫出答案，回答題目所提出的問(wèn)題?；脽羝?：類型一——增長(zhǎng)率問(wèn)題基本公式：若原數(shù)量為\(a\)，平均增長(zhǎng)率（或降低率）為\(x\)，經(jīng)過(guò)\(n\)次增長(zhǎng)（或降低）后，數(shù)量變?yōu)閈(b\)，則有\(zhòng)(a(1+x)^n=b\)（增長(zhǎng)時(shí)用“\(+\)”，降低時(shí)用“\(-\)”）。例題：某工廠2022年的產(chǎn)值為100萬(wàn)元，2024年的產(chǎn)值為144萬(wàn)元，求該工廠產(chǎn)值的年平均增長(zhǎng)率。解答過(guò)程：設(shè)該工廠產(chǎn)值的年平均增長(zhǎng)率為\(x\)。2023年的產(chǎn)值為\(100(1+x)\)萬(wàn)元，2024年的產(chǎn)值為\(100(1+x)^2\)萬(wàn)元。根據(jù)題意，可列方程：\(100(1+x)^2=144\)。解方程：\((1+x)^2=1.44\)，開平方得\(1+x=\pm1.2\)。解得\(x_1=0.2=20\%\)，\(x_2=-2.2\)（增長(zhǎng)率不能為負(fù)，舍去）。答：該工廠產(chǎn)值的年平均增長(zhǎng)率為\(20\%\)。幻燈片5：類型二——面積問(wèn)題解題關(guān)鍵：根據(jù)圖形的面積公式，結(jié)合題目中圖形的變化（如拼接、切割等），找出等量關(guān)系。例題：一塊長(zhǎng)方形的草地，長(zhǎng)為\(20m\)，寬為\(15m\)，在它的四周向外修一條寬為\(xm\)的小路，小路的總面積為\(124m^2\)，求小路的寬\(x\)。解答過(guò)程：修完小路后，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為\((20+2x)m\)，寬為\((15+2x)m\)。小路的面積=大長(zhǎng)方形的面積-草地的面積，即\((20+2x)(15+2x)-20\times15=124\)。展開并整理方程：\(300+40x+30x+4x^2-300=124\)，\(4x^2+70x-124=0\)，化簡(jiǎn)得\(2x^2+35x-62=0\)。用公式法解方程：\(\Delta=35^2-4\times2\times(-62)=1225+496=1721\)，\(x=\frac{-35\pm\sqrt{1721}}{4}\)。因?yàn)閈(\sqrt{1721}\approx41.48\)，所以\(x_1\approx\frac{-35+41.48}{4}\approx1.62\)，\(x_2\approx\frac{-35-41.48}{4}\approx-19.12\)（寬度不能為負(fù)，舍去）。答：小路的寬約為\(1.62m\)?；脽羝?：類型三——銷售利潤(rùn)問(wèn)題基本關(guān)系：總利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)

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銷售量；單個(gè)利潤(rùn)=售價(jià)-成本；銷售量會(huì)隨著售價(jià)的變化而變化（通常售價(jià)提高，銷售量降低；售價(jià)降低，銷售量提高）。例題：某商店銷售一種商品，每件成本為\(40\)元，當(dāng)售價(jià)為\(50\)元時(shí)，每天可售出\(50\)件。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)每上漲\(1\)元，銷售量就減少\(1\)件，設(shè)售價(jià)為\(x\)元（\(x\geq50\)），每天的利潤(rùn)為\(y\)元。（1）求\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)為\(800\)元？解答過(guò)程：（1）每件的利潤(rùn)為\((x-40)\)元，售價(jià)為\(x\)元時(shí)，比\(50\)元上漲了\((x-50)\)元，所以銷售量為\(50-(x-50)=(100-x)\)件。則\(y=(x-40)(100-x)=-x^2+140x-4000\)。（2）當(dāng)\(y=800\)時(shí)，\(-x^2+140x-4000=800\)，整理得\(x^2-140x+4800=0\)。因式分解得\((x-60)(x-80)=0\)，解得\(x_1=60\)，\(x_2=80\)。答：（1）\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式為\(y=-x^2+140x-4000\)；（2）當(dāng)售價(jià)為\(60\)元或\(80\)元時(shí)，每天的利潤(rùn)為\(800\)元?；脽羝?：類型四——數(shù)字問(wèn)題解題關(guān)鍵：明確數(shù)字的表示方法（如一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為\(a\)，個(gè)位數(shù)字為\(b\)，則這個(gè)兩位數(shù)表示為\(10a+b\)），根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列方程。例題：一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為\(7\)，把這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后，所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積為\(1300\)，求原兩位數(shù)。解答過(guò)程：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為\(x\)，則個(gè)位數(shù)字為\((7-x)\)，原兩位數(shù)為\(10x+(7-x)=9x+7\)。對(duì)調(diào)后新兩位數(shù)的十位數(shù)字為\((7-x)\)，個(gè)位數(shù)字為\(x\)，新兩位數(shù)為\(10(7-x)+x=70-9x\)。根據(jù)題意，可列方程：\((9x+7)(70-9x)=1300\)。展開并整理方程：\(630x-81x^2+490-63x=1300\)，\(-81x^2+567x-810=0\)，化簡(jiǎn)得\(9x^2-63x+90=0\)，即\(x^2-7x+10=0\)。因式分解得\((x-2)(x-5)=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=5\)。當(dāng)\(x=2\)時(shí)，原兩位數(shù)為\(9\times2+7=25\)；當(dāng)\(x=5\)時(shí)，原兩位數(shù)為\(9\times5+7=52\)。答：原兩位數(shù)為\(25\)或\(52\)?；脽羝?：易錯(cuò)點(diǎn)分析審題不清，等量關(guān)系錯(cuò)誤：在增長(zhǎng)率問(wèn)題中，混淆“增長(zhǎng)到”和“增長(zhǎng)了”，“增長(zhǎng)到\(b\)”是指最終數(shù)量為\(b\)，“增長(zhǎng)了\(b\)”是指增長(zhǎng)的數(shù)量為\(b\)。忽略實(shí)際意義，未檢驗(yàn)解的合理性：解出方程的解后，未考慮實(shí)際情況，如長(zhǎng)度、人數(shù)等不能為負(fù)數(shù)或小數(shù)，導(dǎo)致保留不合理的解。設(shè)元不當(dāng)，列方程困難：設(shè)未知數(shù)時(shí)沒(méi)有選擇合適的量，導(dǎo)致列出的方程復(fù)雜或無(wú)法列出方程，應(yīng)盡量設(shè)與所求問(wèn)題直接相關(guān)的量為未知數(shù)。計(jì)算錯(cuò)誤：在列方程或解方程過(guò)程中，因粗心導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，如展開多項(xiàng)式時(shí)漏項(xiàng)、符號(hào)錯(cuò)誤等?；脽羝?：課堂練習(xí)1——增長(zhǎng)率問(wèn)題題目：某城市2020年底的人口為\(100\)萬(wàn)，2022年底的人口為\(104.04\)萬(wàn)，求該城市人口的年平均增長(zhǎng)率。答案：年平均增長(zhǎng)率為\(2\%\)?；脽羝?0：課堂練習(xí)2——面積問(wèn)題題目：一塊正方形的鐵皮，邊長(zhǎng)為\(10cm\)，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為\(xcm\)的小正方形，然后將四周向上折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，盒子的底面積為\(36cm^2\)，求剪去的小正方形的邊長(zhǎng)。答案：剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為\(2cm\)?；脽羝?1：課堂小結(jié)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：審題、設(shè)元、列方程、解方程、檢驗(yàn)、作答。常見類型及關(guān)鍵：增長(zhǎng)率問(wèn)題：掌握公式\(a(1+x)^n=b\)。面積問(wèn)題：根據(jù)圖形面積公式找等量關(guān)系。銷售利潤(rùn)問(wèn)題：利用“總利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)

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銷售量”列方程。數(shù)字問(wèn)題：正確表示多位數(shù)，根據(jù)數(shù)字間關(guān)系列方程。注意事項(xiàng)：解要符合實(shí)際意義，計(jì)算時(shí)細(xì)心，避免出錯(cuò)?；脽羝?2：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：某商品原價(jià)為\(200\)元，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為\(162\)元，求平均每次降價(jià)的百分率。一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為\(30cm\)，面積為\(54cm^2\)，求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。提升作業(yè)：某商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天可售出\(20\)件，每件盈利\(40\)元。為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)\(1\)元，商場(chǎng)平均每天可多售出\(2\)件。若商場(chǎng)平均每天要盈利\(1200\)元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大\(3\)，將這個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字順序顛倒后，得到的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為\(143\)，求原兩位數(shù)。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解復(fù)習(xí)導(dǎo)入列方程解應(yīng)用題的一般步驟：1.分析題意，設(shè)未知數(shù)；2.找出等量關(guān)系，列方程；3.解方程；4.看方程的解是否符合題意；5.作答.學(xué)校生物小組有一塊長(zhǎng)32m、寬20m的矩形試驗(yàn)田，為了方便管理，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道.要使種植面積為540m2，小道的寬應(yīng)是多少？推進(jìn)新課問(wèn)題1問(wèn)題中沒(méi)有明確小道在試驗(yàn)田中的位置，試作出圖22.3.1，分析不難發(fā)現(xiàn)小道的占地面積與位置無(wú)關(guān).圖22.3.13220設(shè)小道寬為xm，則兩條小道的面積分別是32xm2

和20xm2，其中重疊部分小正方形的面積為x2m2，根據(jù)題意，得

32×20–32x–20x+x2=540.圖22.3.13220xx圖22.3.23220如果設(shè)想把小道平移到兩邊，如圖22.3.2所示，小道所占面積是否保持不變？試一試xx處理問(wèn)題更方便！由題意可得：(20–x)(32–x)=540解得x1=50，x2=2由題意可得x＜20，∴x=2.圖22.3.23220xx在應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意：1.分析題意，抓住等量關(guān)系；2.列出方程，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決；3.求得方程的根之后，要注意檢驗(yàn)是否符合題意，最后得到實(shí)際問(wèn)題的解答.某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由56元降為31.5元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率.問(wèn)題2若每次降價(jià)的百分率為x

，則第一次降價(jià)后：56(1–x)元第二次降價(jià)后：56(1–x)(1–x)元分析這與討論增長(zhǎng)率問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系是否相似？有什么不同？設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意，得56(1–x)2=31.5.解這個(gè)方程，得x1=0.25，x2=1.75.因?yàn)榻祪r(jià)的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合題意.經(jīng)檢驗(yàn)，x=0.25=25%符合本題要求.答：每次降價(jià)的百分率為25%.解小明把一張邊長(zhǎng)為10cm的正方形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，再折疊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，如圖.問(wèn)題3（1）如果要求長(zhǎng)方體的底面積為81cm2，那么剪去的正方形的邊長(zhǎng)為多少？（2）如果按下表列出的長(zhǎng)方體底面積的數(shù)據(jù)要求，那么剪去的正方形邊長(zhǎng)會(huì)發(fā)生什么樣的變化？折疊成的長(zhǎng)方體的側(cè)面積又會(huì)發(fā)生什么樣的變化？折疊成的長(zhǎng)方體底面積（cm2）81644936251694剪去的正方形邊長(zhǎng)（cm）折疊成的長(zhǎng)方體側(cè)面積（cm2）0.52.5131.53.5241832424850484232探索以剪去的正方形邊長(zhǎng)為自變量，折疊成的長(zhǎng)方體側(cè)面積為它的函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的點(diǎn).觀察折疊成的長(zhǎng)方體側(cè)面積會(huì)不會(huì)有最大的情況？某工廠計(jì)劃在兩年后實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值翻一番，那么這兩年中產(chǎn)值的平均年增長(zhǎng)率為多少？問(wèn)題4翻一番，即為原產(chǎn)值的2倍.若設(shè)原產(chǎn)值為1個(gè)單位，那么兩年后的產(chǎn)值就是2個(gè)單位.分析(1+x)2=2解：設(shè)平均年增長(zhǎng)率為x.探索如果調(diào)整計(jì)劃，兩年后的產(chǎn)值為原產(chǎn)值的1.5倍、1.2倍……那么兩年中的平均年增長(zhǎng)率分別應(yīng)調(diào)整為多少？(1+x)2=1.5(1+x)2=1.2解：設(shè)平均年增長(zhǎng)率為x.又如果第二年的增長(zhǎng)率為第一年的2倍，那么第一年的增長(zhǎng)率為多少時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)兩年后的產(chǎn)值翻一番？(1+x)(1+2x)=2解：設(shè)第一年的增長(zhǎng)率為x.隨堂演練1.如圖，一個(gè)院子長(zhǎng)10m，寬8m，要在它的里面沿三邊辟出寬度相等的花圃，使花圃的面積等于院子面積的30%，試求這花圃的寬度.解：設(shè)這花圃的寬度為x

，依題意，得(10–2x)(8–x)=10×8×(1–30%)

解得x=1答：這花圃的寬度為1m.2.青山村種的水稻2011年平均每公頃產(chǎn)量為7200kg，2013年平均每公頃產(chǎn)量為8450kg，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率.解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則有7200(1+x)2=8450，解得即年平均增長(zhǎng)率為8%.(x－3)返回1.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)相差3cm，面積是9cm2，設(shè)較長(zhǎng)的直角邊的長(zhǎng)為xcm，則較短的直角邊的長(zhǎng)為______cm，根據(jù)題意，可列方程為____________．400返回2．[2025鄭州月考]如圖，學(xué)校將一面積為240m2的矩形空地一邊增加4m，另一邊增加5m后，建成了一個(gè)正方形訓(xùn)練場(chǎng)，則此訓(xùn)練場(chǎng)的面積為________m2.返回3．[2025廣州聯(lián)考]如圖，把小圓形場(chǎng)地的半徑增加5m得到大圓形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積擴(kuò)大了一倍，則小圓形場(chǎng)地的半徑是__________m.4.[2025長(zhǎng)春期中]如圖①，在寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形耕地上修建同樣寬的三條道路，剩余部分作為試驗(yàn)田，且試驗(yàn)田的面積為570m2，設(shè)道路寬為xm，從圖②的思考方式出發(fā)列出的方程是___________________．(32－2x)(20－x)＝570返回5．在一幅長(zhǎng)9分米，寬5分米的矩形畫(如圖①)的四周鑲寬度相同的銀色紙邊，制成一幅矩形掛圖(如圖②)．如果要使整幅掛圖的面積是77平方分米，求銀色紙邊的寬．解：設(shè)銀色紙邊的寬為x分米，由題意，得(9＋2x)(5＋2x)＝77，整理，得x2＋7x－8＝0，解得x1＝－8(舍去)，x2＝1.答：銀色紙邊的寬為1分米．返回20m或60m返回6.某學(xué)校開辟了一塊矩形蔬菜種植基地，該基地兩邊靠著一個(gè)直角圍墻(圍墻的長(zhǎng)足夠長(zhǎng))，如圖，另兩邊AB和AD由總長(zhǎng)為80m的籬笆圍成，若蔬菜種植基地的面積為1200m2，則AD的長(zhǎng)為____________．7．[2025西安期中]如圖所示，某學(xué)校準(zhǔn)備在教學(xué)樓后面建一個(gè)簡(jiǎn)易矩形花圃，一邊利用教學(xué)樓的后墻(可利用的墻為19m)，另外三邊利用學(xué)?，F(xiàn)有的總長(zhǎng)38m的鐵欄圍成．若圍成的面積為180m2，試求出矩形花圃的長(zhǎng)和寬．解：設(shè)AB＝xm，則BC＝(38－2x)m，根據(jù)題意得x(38－2x)＝180，解得x1＝10，x2＝9，當(dāng)x＝10時(shí)，38－2x＝18，當(dāng)x＝9時(shí)，38－2x＝20，而墻長(zhǎng)19m，不合題意，舍去．答：矩形花圃的長(zhǎng)和寬分別為18m，10m.返回返回(12－x)(20－x)＝1508．[2025臨汾聯(lián)考]如圖，在寬12m，長(zhǎng)20m的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中陰影部分)，余下部分種植草坪，要使草坪的面積為150m2.設(shè)道路的寬為xm，則可列方程為__________________．返回9．將一條長(zhǎng)為28cm的鐵絲剪成兩段并把每一段鐵絲做成一個(gè)正方形，使這兩個(gè)正方形的面積之和等于25cm2，則較小的正方形的邊長(zhǎng)為________cm.310.

如圖，小欣利用寬度相等的紙卡(陰影部分)制作了一個(gè)長(zhǎng)為40cm，寬為30cm的宮格畫畫框，空白處的寬度a相同，若圖中空白處的面積為850cm2，則紙卡的寬為________cm.2返回11．[2025重慶聯(lián)考]如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長(zhǎng))圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(建在EF處，另用其他材料)．(1)當(dāng)羊圈的邊AB的長(zhǎng)為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640m2的羊圈？解：設(shè)羊圈的邊AB的長(zhǎng)為xm，則邊BC的長(zhǎng)為(70－2x＋2)m，根據(jù)題意，得x(70－2x＋2)＝640，整理得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝