18.2特殊的平行四邊形18．2.1矩形教學(xué)設(shè)計(jì)課題矩形的性質(zhì)授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解矩形的概念，明確矩形與平行四邊形的區(qū)別和聯(lián)系，體會特殊與一般之間的關(guān)系．2.探究矩形的性質(zhì)和識別條件，提高學(xué)生的推理能力．3.利用矩形的性質(zhì)定理進(jìn)行證明和計(jì)算．4.掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，會用它解決求線段長或線段倍分關(guān)系的問題..教學(xué)重點(diǎn)矩形性質(zhì)定理和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的理解與運(yùn)用．教學(xué)難點(diǎn)矩形性質(zhì)定理和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的探究與證明.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：動態(tài)演示，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖動態(tài)演示平行四邊形變成矩形的過程，使學(xué)生了解矩形的概念.【情境導(dǎo)入】拿一個(gè)活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個(gè)點(diǎn)，它還是平行四邊形嗎？使一個(gè)角是直角，這時(shí)它是什么圖形？(動畫演示拉動過程如圖)概念引入：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，也就是長方形．仔細(xì)觀察下列實(shí)際生活中的圖片，你覺得哪些是矩形的形象？矩形是生活中很常見的圖形，你還能列舉出矩形在生活中應(yīng)用的其他例子嗎？我們一起來探討一下矩形的性質(zhì)吧！【教學(xué)建議】學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)及圖片思考矩形的概念，教師總結(jié)矩形的概念.活動二：動手操作，探究新知設(shè)計(jì)意圖通過動手操作，讓學(xué)生在活動中得出矩形的性質(zhì)，印象更加深刻.探究點(diǎn)1矩形的性質(zhì)如圖，取一張矩形紙片，用直尺畫出它的對角線．1.矩形是特殊的平行四邊形，它和平行四邊形相比，有什么特殊之處？答：有一個(gè)角是直角．2．平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)，那么矩形的四個(gè)角會有怎樣的關(guān)系呢？答：矩形的四個(gè)角都相等，都是直角．3．測量我們剛剛折紙時(shí)的兩條對角線長度，這兩個(gè)長度有什么關(guān)系？答：兩條對角線長度相等．下面我們一起來驗(yàn)證一下：1.如圖，在矩形ABCD中，∠A＝90°.求證：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.證明：∵矩形ABCD是特殊的平行四邊形，∴AB∥CD，∠A＝∠C.∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，∠D＝180°－90°＝90°.同理∠B＝90°.∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.【教學(xué)建議】告訴學(xué)生：矩形作為特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)．注意結(jié)合教材P53練習(xí)第3題讓學(xué)生熟悉矩形的對稱性.第1課時(shí)矩形的性質(zhì)教學(xué)步驟師生活動設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).2.如圖，四邊形ABCD是矩形．求證：AC＝BD.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC.又BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)．∴AC＝BD.歸納總結(jié)：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對角線相等．【對應(yīng)訓(xùn)練】1．矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是(D)A．對邊平行B．對邊相等C．對角相等D．對角線相等2．如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，連接DE，CE.求證：△ADE≌△BCE.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°.∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE.∴△ADE≌△BCE(SAS)．3．教材P53練習(xí)第3題．探究點(diǎn)2直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O.我們觀Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜邊AC上的中線，BO與AC有什么關(guān)系？1．矩形ABCD的對角線AC把矩形分成了兩個(gè)三角形，在△ABC中∠ABC是什么角？答：直角．2．AO與CO有什么關(guān)系？BO與DO有什么關(guān)系？答：AO＝CO，BO＝DO.3．BO與BD有什么關(guān)系？與AC又有什么關(guān)系？答：BO＝eq\f(1,2)BD，BO＝eq\f(1,2)AC.歸納總結(jié)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．例1(教材P53例1)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形對角線的長．分析：因?yàn)榫匦问翘厥獾钠叫兴倪呅?，所以它具有對角線相等且互相平分的性質(zhì)．根據(jù)矩形的這個(gè)性質(zhì)和已知條件，可得△OAB是等邊三角形，因此可求對角線的長度．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分．∴OA＝OB.又∠AOB＝60°，∴△OAB是等邊三角形．∴OA＝AB＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.【對應(yīng)訓(xùn)練】1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝BD，CD＝4，則AB的長為(A)A．8B．6C．4D．2教學(xué)步驟師生活動2．如圖，O是矩形ABCD對角線的交點(diǎn)，∠AOD＝120°，AE平分∠BAD，則∠EAC＝15°.3．教材P53練習(xí)第2題．活動三：運(yùn)用新知，鞏固理解設(shè)計(jì)意圖鞏固學(xué)生對矩形性質(zhì)的認(rèn)知，同時(shí)要注意直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).例2如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，且BE∶ED＝1∶3，AD＝6cm.求AE的長．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BO＝OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)AC＝OA，∠BAD＝90°.∵BE∶ED＝1∶3，∴BE＝OE.又AE⊥BD，∴AB＝AO＝BO.∴△ABO是等邊三角形．∴∠ABO＝60°.∴∠ADE＝90°－60°＝30°.∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×6＝3(cm)．【對應(yīng)訓(xùn)練】1．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點(diǎn)，連接EF.若AB＝6cm，BC＝8cm，則EF的長是(D)A．2.2cmB．2.3cmC．2.4cmD．2.5cm2．如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．若AB＝5，AD＝12，求四邊形ABOM的周長．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝5，∠ABC＝90°.∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(52＋122)＝13.∵O是AC的中點(diǎn)，∴OB＝eq\f(1,2)AC＝6.5.∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴OM是△ACD的中位線．∴OM＝eq\f(1,2)CD＝2.5，AM＝eq\f(1,2)AD＝6.∴四邊形ABOM的周長為AB＋OB＋OM＋AM＝5＋6.5＋2.5＋6＝20.【教學(xué)建議】提醒學(xué)生：矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，在解題時(shí)常用到等腰三角形的性質(zhì).活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：矩形作為特殊的平行四邊形，它的概念是什么？矩形有哪些特殊的性質(zhì)？直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是什么？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1．教材P50習(xí)題18.1第5，11題，教材P62習(xí)題18.2第16題．2．《》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．教學(xué)步驟師生活動板書設(shè)計(jì)18.2.1矩形第1課時(shí)矩形的性質(zhì)一、矩形的概念．二、矩形的性質(zhì)：1.邊；2.角；3.對角線．三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．教學(xué)反思本節(jié)課的主要教學(xué)任務(wù)是矩形的性質(zhì)及其推論，教學(xué)中讓學(xué)生充分經(jīng)歷從實(shí)際生活中抽象數(shù)學(xué)圖形到深入認(rèn)識圖形特征的過程，更好地理解平行四邊形與矩形之間的從屬關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系，在適度的方法訓(xùn)練中加強(qiáng)知識的靈活運(yùn)用，使學(xué)生對于常見的轉(zhuǎn)化方法也能靈活應(yīng)用.解題方法(1)矩形是特殊的平行四邊形，它的特殊性主要表現(xiàn)為四個(gè)角都是直角和兩條對角線相等．(2)矩形的性質(zhì)是解決求線段的長度、角度等問題的常用工具，它可以用來驗(yàn)證兩條線段是否相等，兩條直線是否平行，兩個(gè)角是否相等．(3)由于矩形的四個(gè)角都是直角，則常把關(guān)于矩形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題來解決．(4)矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，并且分成的四個(gè)等腰三角形的面積相等，因此在解決相關(guān)問題時(shí)，常常用到等腰三角形的性質(zhì)．(5)矩形的兩條對角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．例1如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在邊AD上取一點(diǎn)E，使BE＝BC，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，則BF的長為2eq\r(5).解析：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，∠A＝∠ABC＝90°.又BE＝BC，∴BE＝6.∴AE＝eq\r(BE2－AB2)＝eq\r(62－42)＝2eq\r(5).∵CF⊥BE，∠ABC＝90°，∴∠BFC＝90°，∠ABE＝90°－∠EBC＝∠FCB.∴∠A＝∠BFC.又BE＝CB，∴△ABE≌△FCB(AAS)．∴BF＝AE＝2eq\r(5).故答案為2eq\r(5).例2如圖，∠MOn＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在邊OM，On上，當(dāng)點(diǎn)B在邊On上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)A隨之在邊OM上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2，則運(yùn)動過程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是3＋eq\r(13).解析：如圖，取線段AB的中點(diǎn)E，連接OE，DE，OD.∵E是AB的中點(diǎn)，∠AOB＝90°，∴OE＝AE＝BE＝3.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°.∴DE＝eq\r(AE2＋AD2)＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13).∵OD≤OE＋DE，∴當(dāng)點(diǎn)D，E，O共線時(shí)，OD的長最大．∴點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離＝OE＋DE＝3＋eq\r(13).故答案為3＋eq\r(13).如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為F，G，則EF＋EG＝eq\f(60,13).分析：連接OE，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，再根據(jù)勾股定理得到AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝13，求得OB＝OC＝eq\f(13,2)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．解析：如圖，連接OE.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO.∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(52＋122)＝13.∴OB＝OC＝eq\f(13,2).∴S△BOC＝S△COE＋S△BOE＝eq\f(1,2)OC·EF＋eq\f(1,2)OB·EG＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB·BC.∴eq\f(1,2)×eq\f(13,2)EF＋eq\f(1,2)×eq\f(13,2)EG＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×5×12.∴EF＋EG＝eq\f(60,13).故答案為eq\f(60,13).例2如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，連接DE，M，n分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接Mn.(1)求證：Mn⊥DE；(2)若∠A＝60°，判斷△EMD的形狀，并說明理由．(1)證明：如圖，連接EM，DM，∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴△BCE和△BCD都是直角三角形．又M是BC的中點(diǎn)，∴EM＝eq\f(1,2)BC，DM＝eq\f(1,2)BC.∴EM＝DM.又n是DE的中點(diǎn)，∴Mn⊥DE