六上測(cè)控優(yōu)化數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在控制理論中，傳遞函數(shù)的定義是系統(tǒng)輸出與輸入之比，通常表示為______。

A.微分方程

B.頻率響應(yīng)

C.狀態(tài)空間

D.拉普拉斯變換

2.控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到擾動(dòng)后能夠恢復(fù)到______。

A.原始狀態(tài)

B.新的平衡點(diǎn)

C.周期運(yùn)動(dòng)

D.隨機(jī)運(yùn)動(dòng)

3.在優(yōu)化問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)的極小值點(diǎn)是指______。

A.使目標(biāo)函數(shù)值最大的點(diǎn)

B.使目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)

C.使約束條件最滿足的點(diǎn)

D.使系統(tǒng)響應(yīng)最快的點(diǎn)

4.最小二乘法在參數(shù)估計(jì)中的作用是______。

A.求解線性方程組

B.最小化誤差平方和

C.求解非線性方程

D.求解微分方程

5.在控制系統(tǒng)中，比例控制器（P）的作用是______。

A.提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度

B.減小系統(tǒng)的超調(diào)量

C.消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

D.增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性

6.在狀態(tài)空間表示法中，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程通常表示為______。

A.\(\dot{x}=Ax+Bu\)

B.\(y=Cx+Du\)

C.\(z=x+y\)

D.\(\dot{x}=f(x,u)\)

7.在優(yōu)化問(wèn)題中，約束條件通常表示為______。

A.等式約束

B.不等式約束

C.松弛約束

D.無(wú)約束

8.在控制系統(tǒng)中，積分控制器（I）的作用是______。

A.提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度

B.減小系統(tǒng)的超調(diào)量

C.消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

D.增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性

9.在頻率響應(yīng)分析中，奈奎斯特圖的作用是______。

A.分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性

B.分析系統(tǒng)的響應(yīng)速度

C.分析系統(tǒng)的超調(diào)量

D.分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

10.在參數(shù)優(yōu)化中，梯度下降法是一種______。

A.直接搜索方法

B.啟發(fā)式搜索方法

C.隨機(jī)搜索方法

D.系統(tǒng)辨識(shí)方法

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)通常包括______。

A.響應(yīng)速度

B.超調(diào)量

C.穩(wěn)態(tài)誤差

D.穩(wěn)定性

E.頻率響應(yīng)

2.在優(yōu)化問(wèn)題中，常用的優(yōu)化算法包括______。

A.梯度下降法

B.牛頓法

C.隨機(jī)搜索法

D.遺傳算法

E.拉格朗日乘子法

3.控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)通常由______組成。

A.比例環(huán)節(jié)

B.積分環(huán)節(jié)

C.微分環(huán)節(jié)

D.慣性環(huán)節(jié)

E.振蕩環(huán)節(jié)

4.在狀態(tài)空間表示法中，系統(tǒng)的輸出方程通常表示為______。

A.\(y=Cx+Du\)

B.\(\dot{x}=Ax+Bu\)

C.\(z=x+y\)

D.\(\dot{x}=f(x,u)\)

E.\(y=Gx\)

5.在控制系統(tǒng)中，常用的控制器類型包括______。

A.比例控制器（P）

B.積分控制器（I）

C.比例-積分控制器（PI）

D.比例-積分-微分控制器（PID）

E.濾波器控制器

三、填空題（每題4分，共20分）

1.控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是指系統(tǒng)輸出與輸入之比，通常表示為______。

2.在優(yōu)化問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)的極小值點(diǎn)是指______。

3.最小二乘法在參數(shù)估計(jì)中的作用是______。

4.在控制系統(tǒng)中，比例控制器（P）的作用是______。

5.在狀態(tài)空間表示法中，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程通常表示為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{1}{s+2}\)，求該系統(tǒng)在階躍輸入下的響應(yīng)表達(dá)式\(c(t)\)。

2.設(shè)有一優(yōu)化問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)為\(f(x)=x_1^2+2x_2^2-4x_1-6x_2\)，約束條件為\(x_1+x_2=1\)。試用拉格朗日乘子法求該問(wèn)題的最優(yōu)解。

3.對(duì)于二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，其中\(zhòng)(\omega_n=2\)rad/s，\(\zeta=0.5\)。求該系統(tǒng)的自然頻率和阻尼比，并計(jì)算其單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和上升時(shí)間。

4.已知一控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為\(\dot{x}=\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}u\)，輸出方程為\(y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x\)。求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)\(G(s)\)。

5.設(shè)有一無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)為\(f(x)=x_1^2+x_2^2\)，試用梯度下降法求該問(wèn)題的最優(yōu)解，初始點(diǎn)為\(x_0=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)，學(xué)習(xí)率為0.1，迭代兩次。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.D

2.A

3.B

4.B

5.A

6.A

7.A,B

8.C

9.A

10.B

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.A,B,C,D

2.A,B,D,E

3.A,B,C,D,E

4.A,B

5.A,B,C,D

三、填空題答案

1.\(\frac{C(s)}{R(s)}\)

2.使目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)

3.最小化誤差平方和

4.提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度

5.\(\dot{x}=Ax+Bu\)

四、計(jì)算題答案及過(guò)程

1.解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{1}{s+2}\)。在階躍輸入\(r(t)=1\)下，其拉普拉斯變換為\(R(s)=\frac{1}{s}\)。系統(tǒng)響應(yīng)的拉普拉斯變換為\(C(s)=G(s)R(s)=\frac{1}{s(s+2)}\)。進(jìn)行部分分式分解：

\(C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+2}\)。取拉普拉斯反變換得：

\(c(t)=1-e^{-2t}\)。

2.解：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)\(\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=x_1^2+2x_2^2-4x_1-6x_2+\lambda(x_1+x_2-1)\)。求偏導(dǎo)并令其為零：

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partialx_1}=2x_1-4+\lambda=0\)

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partialx_2}=4x_2-6+\lambda=0\)

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=x_1+x_2-1=0\)。

解得\(x_1=1\),\(x_2=0\),\(\lambda=2\)。最優(yōu)解為\(x^*=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)。

3.解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，其中\(zhòng)(\omega_n=2\)rad/s，\(\zeta=0.5\)。自然頻率\(\omega_n=2\)rad/s。阻尼比\(\zeta=0.5\)。

單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量\(M_p=e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\approxe^{-\frac{0.5\pi}{\sqrt{1-0.5^2}}}\approxe^{-\frac{\pi}{\sqrt{3}}}\approx0.456\)。

上升時(shí)間\(t_r=\frac{\pi-\arccos(\zeta)}{\omega_d}=\frac{\pi-\arccos(0.5)}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi-\frac{\pi}{3}}{2\sqrt{1-0.25}}=\frac{\frac{2\pi}{3}}{2\sqrt{0.75}}=\frac{\pi}{3\sqrt{3/2}}=\frac{\pi\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\approx0.68\)s。

4.解：系統(tǒng)狀態(tài)方程為\(\dot{x}=Ax+Bu\)，其中\(zhòng)(A=\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)。輸出方程為\(y=Cx\)，其中\(zhòng)(C=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\)。

系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=C(sI-A)^{-1}B\)。

計(jì)算矩陣\(sI-A=\begin{bmatrix}s-1&-2\\0&s+1\end{bmatrix}\)。

求逆\((sI-A)^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{s-1}&\frac{2}{s-1}\\0&\frac{1}{s+1}\end{bmatrix}\)。

\(G(s)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{s-1}&\frac{2}{s-1}\\0&\frac{1}{s+1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\frac{1}{s-1}\)。

5.解：目標(biāo)函數(shù)\(f(x)=x_1^2+x_2^2\)，梯度\(\nablaf(x)=\begin{bmatrix}2x_1\\2x_2\end{bmatrix}\)。學(xué)習(xí)率\(\alpha=0.1\)。

初始點(diǎn)\(x_0=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)。

第一次迭代：

\(g_0=\nablaf(x_0)=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}\)

\(x_1=x_0-\alphag_0=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}-0.1\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.8\\0.8\end{bmatrix}\)。

第二次迭代：

\(g_1=\nablaf(x_1)=\begin{bmatrix}2\times0.8\\2\times0.8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.6\\1.6\end{bmatrix}\)

\(x_2=x_1-\alphag_1=\begin{bmatrix}0.8\\0.8\end{bmatrix}-0.1\begin{bmatrix}1.6\\1.6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.64\\0.64\end{bmatrix}\)。

迭代兩次后的點(diǎn)為\(x_2=\begin{bmatrix}0.64\\0.64\end{bmatrix}\)。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

1.控制理論基礎(chǔ)：

*傳遞函數(shù)：描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是經(jīng)典控制理論的核心。計(jì)算題1考察了傳遞函數(shù)在階躍響應(yīng)中的應(yīng)用。

*系統(tǒng)性能指標(biāo)：評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)性能的關(guān)鍵參數(shù)，包括響應(yīng)速度、超調(diào)量、穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性。多項(xiàng)選擇題1和計(jì)算題3涉及了這些指標(biāo)。

*控制器類型：常見(jiàn)的控制器包括比例（P）、積分（I）、比例-積分（PI）和比例-積分-微分（PID）控制器，它們分別用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性、消除穩(wěn)態(tài)誤差和提高響應(yīng)速度。多項(xiàng)選擇題5考察了控制器類型。

*狀態(tài)空間表示法：現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)，使用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，包括狀態(tài)方程和輸出方程。計(jì)算題4考察了狀態(tài)空間到傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換。

2.優(yōu)化理論基礎(chǔ)：

*優(yōu)化問(wèn)題：尋找使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)（最大或最?。┙獾膯?wèn)題，通常包含目標(biāo)函數(shù)和約束條件。多項(xiàng)選擇題2和計(jì)算題2涉及了優(yōu)化問(wèn)題。

*目標(biāo)函數(shù)：優(yōu)化問(wèn)題的核心，表示要優(yōu)化或評(píng)價(jià)的量。計(jì)算題2和計(jì)算題5考察了目標(biāo)函數(shù)的極小值點(diǎn)。

*約束條件：限制優(yōu)化變量取值范圍的條件，可以是等式約束或不等式約束。計(jì)算題2考察了約束優(yōu)化問(wèn)題。

*優(yōu)化算法：求解優(yōu)化問(wèn)題的方法，包括直接搜索法（如梯度下降法）、啟發(fā)式搜索法（如遺傳算法）等。計(jì)算題5考察了梯度下降法。

*參數(shù)估計(jì)：利用最小二乘法等方法估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)，使誤差平方和最小。填空題3涉及了最小二乘法。

3.系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)：

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