蘭州市五十九中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，則a的取值范圍是？

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

2.若點(diǎn)P(x,y)在直線y=2x+1上，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離最小值為？

A.1

B.√2

C.√5

D.2

3.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是？

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.6/36

4.函數(shù)f(x)=log_a(x)在x>1時(shí)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是？

A.0<a<1

B.a>1

C.a=1

D.a<0

5.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，則公差d的值為？

A.2

B.3

C.4

D.5

6.圓x^2+y^2=4的圓心到直線3x+4y-1=0的距離是？

A.1/5

B.1/7

C.4/5

D.4/7

7.若函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值為√2，則x的取值范圍是？

A.2kπ+π/4(k∈Z)

B.2kπ-π/4(k∈Z)

C.kπ+π/4(k∈Z)

D.kπ-π/4(k∈Z)

8.在三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的度數(shù)是？

A.75°

B.65°

C.70°

D.55°

9.設(shè)集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為？

A.1

B.2

C.3

D.4

10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)滿足x^2+y^2-2x+4y=0，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離是？

A.2

B.√2

C.√5

D.1

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有？

A.y=3x-2

B.y=(1/2)^x

C.y=x^2

D.y=log_2(x)

2.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，則該數(shù)列的前4項(xiàng)和S_4的值為？

A.31

B.15

C.17

D.19

3.下列方程中，表示圓的有？

A.x^2+y^2-4x+6y+9=0

B.x^2+y^2+2x-4y+5=0

C.x^2+y^2=1

D.x^2+y^2-6x+8y-11=0

4.下列不等式中，正確的有？

A.sin(30°)>cos(45°)

B.tan(60°)>sin(90°)

C.log_3(9)>log_3(8)

D.(1/2)^(-3)<(1/2)^(-2)

5.設(shè)集合M={x|x^2-3x+2=0}，N={x|ax=1}，若M∪N=M，則a的取值集合有？

A.{1}

B.{2}

C.{0}

D.{1,0}

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為______。

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=2，C=60°，則cosB的值為______。

3.不等式|2x-1|<3的解集為______。

4.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)為______，半徑為______。

5.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n^2+n，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n為______（n≥1）。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.求極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)。

2.解方程2^x+2^(x+1)=8。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=5，b=7，c=8，求角B的正弦值sinB。

4.計(jì)算不定積分∫(x^2+1)/(x+1)dx。

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A。函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，當(dāng)且僅當(dāng)a>0。

2.A。點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為√(x^2+y^2)，直線y=2x+1上點(diǎn)P(x,2x+1)到原點(diǎn)的距離為√(x^2+(2x+1)^2)=√(5x^2+4x+1)。當(dāng)x=-4/5時(shí)，距離取最小值√(5(-4/5)^2+4(-4/5)+1)=1。

3.A。兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的情況有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，總情況數(shù)為6×6=36，概率為6/36=1/6。

4.B。函數(shù)f(x)=log_a(x)在x>1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)讛?shù)a>1。

5.B。由等差數(shù)列性質(zhì)a_5=a_1+4d，得10=2+4d，解得d=2。

6.C。圓心(0,0)到直線3x+4y-1=0的距離d=|3×0+4×0-1|/√(3^2+4^2)=1/5。

7.A。f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，當(dāng)x+π/4=2kπ+π/2(k∈Z)即x=2kπ+π/4(k∈Z)時(shí)取得最大值√2。

8.A。三角形內(nèi)角和為180°，角C=180°-60°-45°=75°。

9.B。A∩B={2,4}，元素個(gè)數(shù)為2。

10.D。將方程配方得(x-1)^2+(y+2)^2=5，圓心(1,-2)，半徑√5，圓心到原點(diǎn)距離√(1^2+(-2)^2)=√5，點(diǎn)P到原點(diǎn)距離為圓心到原點(diǎn)距離減去半徑√5-√5=0（錯(cuò)誤，應(yīng)為√5+√5=2√5或直接求圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)/最近距離，應(yīng)考慮圓心到原點(diǎn)距離與半徑和差，此處題目原意可能是求圓心到原點(diǎn)距離√5，但按標(biāo)準(zhǔn)幾何理解，點(diǎn)P到原點(diǎn)距離應(yīng)為√(1^2+(-2)^2)+√5=√10，或題目可能意圖是求圓心到原點(diǎn)距離√5，但選項(xiàng)無，最合理解釋是題目或選項(xiàng)有誤，若必須選，可理解為求圓心到原點(diǎn)距離√5，對應(yīng)D）。修正：點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為圓心到原點(diǎn)距離減半徑，最大值為加半徑，√5-√5=0（圓心在原點(diǎn)時(shí)），√5+√5=2√5（圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)），題目問“最小值”，若理解為求圓上任意點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，則為0。但更可能是求圓心到原點(diǎn)距離，為√5。選項(xiàng)D為√5。重新審視題目“點(diǎn)P(x,y)滿足x^2+y^2-2x+4y=0”，即(x-1)^2+(y+2)^2=5，圓心(1,-2)，半徑√5。圓心到原點(diǎn)距離√(1^2+(-2)^2)=√5。題目問“點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離”，若指圓心到原點(diǎn)距離，則答案為√5，對應(yīng)D。若指圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值，則為0。若指圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大值，則為√5+√5=2√5。鑒于選項(xiàng)D為√5，且為圓心到原點(diǎn)距離，可能是題目本意。答案選D。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,D。y=3x-2是正比例函數(shù)，單調(diào)遞增；y=log_2(x)是對數(shù)函數(shù)，底數(shù)大于1，單調(diào)遞增。y=(1/2)^x是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)小于1，單調(diào)遞減；y=x^2是二次函數(shù)，在其定義域內(nèi)（R）不單調(diào)。

2.A,B。b_4=b_1*q^3=16，1*q^3=16，得q=2。S_4=b_1*(q^4-1)/(q-1)=1*(2^4-1)/(2-1)=15。也可以S_4=a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3=1+2+4+8=15。選項(xiàng)A、B為15。

3.C,D。A:x^2+y^2-4x+6y+9=(x-2)^2+(y+3)^2=4+9-9=4≠0，不是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。B:x^2+y^2+2x-4y+5=(x+1)^2+(y-2)^2=1+4-5=0，不是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。C:x^2+y^2=1是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心(0,0)，半徑1。D:x^2+y^2-6x+8y-11=(x-3)^2+(y+4)^2=9+16-11=14，是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心(3,-4)，半徑√14。

4.B,C,D。A:sin(30°)=1/2，cos(45°)=√2/2=√2/2≈0.707，1/2<√2/2，所以sin(30°)<cos(45°)，此不等式錯(cuò)誤。B:tan(60°)=√3，sin(90°)=1，√3>1，所以tan(60°)>sin(90°)，此不等式正確。C:log_3(9)=log_3(3^2)=2，log_3(8)=log_3(2^3)=3*log_3(2)，由于log_3(2)<1，所以3log_3(2)<3，即log_3(8)<2，所以log_3(9)>log_3(8)，此不等式正確。D:(1/2)^(-3)=2^3=8，(1/2)^(-2)=2^2=4，8>4，所以(1/2)^(-3)>(1/2)^(-2)，此不等式正確。

5.A,C,D。M={x|x^2-3x+2=0}={1,2}。若M∪N=M，則N?M。當(dāng)a=0時(shí)，N=?，??{1,2}，成立。當(dāng)a≠0時(shí)，N={1/a}。要使{1/a}?{1,2}，則1/a=1或1/a=2，即a=1或a=1/2。但題目問“a的取值集合”，通常指實(shí)數(shù)a的集合，若理解為集合元素形式，則{1/a|a∈{0,1,1/2}}={?,1,2}。若理解為a取值本身構(gòu)成的集合，則a∈{0,1,1/2}。選項(xiàng)中A={1}，C={0}，D={1,0}，均不完全符合。最可能的理解是考察N?M的a值，即a=0或a=1或a=1/2。選項(xiàng)中A、C、D都包含了至少一個(gè)正確值。若必須選擇，可理解為考察a=0的情況（對應(yīng)C），a=1的情況（對應(yīng)A），以及a=0或a=1的情況（對應(yīng)D）。按此邏輯，選A、C、D。但嚴(yán)格來說，a=1/2也是解，選項(xiàng)未包含。若題目本身或選項(xiàng)有誤，基于現(xiàn)有選項(xiàng)，A、C、D有一定合理性，但非完美答案。

三、填空題答案及解析

1.極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，f'(x)=3x^2-a。令f'(1)=0，得3(1)^2-a=0，即3-a=0，解得a=3。

2.由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，得8=9+4-2*3*2*cos60°，8=13-12*cos60°，8=13-6，8=7（錯(cuò)誤，原方程推導(dǎo)有誤）。修正：cos60°=1/2，8=9+4-12*(1/2)，8=13-6，8=7（錯(cuò)誤）。重新審視：cos60°=1/2，8=9+4-12*(1/2)，8=13-6，8=7（錯(cuò)誤）。問題在于余弦定理應(yīng)用或數(shù)值錯(cuò)誤。若按a=3,b=2,c=8,C=60°，則cosC=1/2。求sinB。由正弦定理sinB/b=sinC/c，sinB/2=sin60°/8，sinB/2=(√3/2)/8，sinB/2=√3/16，sinB=√3/8。答案應(yīng)為√3/8。題目條件a=5,b=7,c=8,C=60°可能為另一題目的條件，此處按a=3,b=2,c=8,C=60°推算。sinB=√3/8。

3.|2x-1|<3等價(jià)于-3<2x-1<3。解得-2<2x<4，即-1<x<2。解集為(-1,2)。

4.將方程配方得(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9，即(x-2)^2+(y+3)^2=16。圓心為(2,-3)，半徑為√16=4。

5.a_1=S_1=1^2+1=2。當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=n^2+n-(n^2-n)=2n。對于n=1，a_1=2，與2n（n=1時(shí)為2）一致。故通項(xiàng)公式a_n=2n(n≥1)。

四、計(jì)算題答案及解析

1.lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x+2)]/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

2.2^x+2^(x+1)=8等價(jià)于2^x+2*2^x=8，即2*2^x=8，2^x=4，2^x=2^2，所以x=2。

3.由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，得8^2=5^2+7^2-2*5*7*cosB，64=25+49-70*cosB，64=74-70*cosB，70*cosB=74-64=10，cosB=10/70=1/7。sinB=√(1-cos^2B)=√(1-(1/7)^2)=√(1-1/49)=√(48/49)=4√3/7。

4.∫(x^2+1)/(x+1)dx=∫[(x+1)(x-1)+2]/(x+1)dx=∫(x-1)dx+∫2/(x+1)dx=∫xdx-∫1dx+2∫1/(x+1)dx=x^2/2-x+2ln|x+1|+C。

5.f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，x=0或x=2。f(0)=0^3-3(0)^2+2=2。f(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2。區(qū)間端點(diǎn)值和駐點(diǎn)值分別為f(-1)=-2,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。最大值為max{2,2}=2。最小值為min{-2,-2}=-2。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學(xué)函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、不等式、解析幾何、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)理論知識(shí)。

函數(shù)部分包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、極限、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（求極值、最值），以及對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像。

數(shù)列部分包括等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的極限概念。

三角函數(shù)部分涉及任意角三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、以及解三角形（正弦定理、余弦定理）。

不等式部分包括絕對值不等式的