典型例題：等腰三角形的判定知識點(diǎn)1-2等腰（等邊）三角形判定定理1）等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.（在同一個三角形中，等角對等邊）。2）等邊三角形的判定定理：eq\o\ac(○,1).三個角相等的三角形是等邊三角形.eq\o\ac(○,2).有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.1．（2021?松江區(qū)期末）如圖，關(guān)于△ABC，給出下列四組條件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分邊BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的條件共有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的判定定理逐個判斷即可．【解析】解：①、∵△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正確；②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正確；③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正確；④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分邊BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正確；即正確的個數(shù)是4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．2．（2020?青海）已知a，b，c為△ABC的三邊長．b，c滿足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a為方程|x﹣4|＝2的解，則△ABC的形狀為三角形．【點(diǎn)撥】利用絕對值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出b，c的值，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系得出a的值，進(jìn)而判斷出其形狀．【解析】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，解得：b＝2，c＝3，∵a為方程|x﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，解得：a＝6或2，∵a、b、c為△ABC的三邊長，b+c＜6，∴a＝6不合題意，舍去，∴a＝2，∴a＝b＝2，∴△ABC是等腰三角形，故答案為：等腰．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定，三角形三邊關(guān)系以及絕對值的性質(zhì)和偶次方的性質(zhì)，得出a的值是解題關(guān)鍵．3．（2021?福山區(qū)期末）在下列結(jié)論中：（1）有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；（2）有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；（4）三個外角都相等的三角形是等邊三角形．其中正確的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【點(diǎn)撥】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形；三個內(nèi)角都相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題．【解析】解：（1）：因?yàn)橥饨呛团c其對應(yīng)的內(nèi)角的和是180°，已知有一個外角是120°，即是有一個內(nèi)角是60°，有一個內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．該結(jié)論正確．（2）：兩個外角相等說明該三角形中兩個內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯誤．（3）：等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯誤．（4）：三個外角都相等的三角形是等邊三角形．正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用的等邊三角形的判定方法解決問題．4．（2021?寧都縣期末）在一次數(shù)學(xué)課上，周老師在屏幕上出示了一個例題：在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的一點(diǎn)，BE與CD交于點(diǎn)O，畫出圖形（如圖），給出下列四個條件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．（1）要求同學(xué)從這四個等式中選出兩個作為已知條件，可判定△ABC是等腰三角形．請你用序號在橫線上寫出所有情形．答：；（2）選擇第（1）題中的一種情形，說明是△ABC等腰三角形的理由，并寫出解題過程．解：我選擇．【點(diǎn)撥】（1）要證△ABC是等腰三角形，就要證∠ABC＝∠ACB，根據(jù)已知條件即可找到證明∠ABC＝∠ACB的組合；（2）可利用△DOB與△EOC全等，得出OC＝OB，再得出∠OCB與∠OBC相等，就能證明∠ABC與∠ACB相等．【解析】解：（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④為條件，理由：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．又∵∠DBO＝∠ECO，∴∠DBO+∠OBC＝∠ECO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．故答案為：①③，①④，②③和②④；①④．【點(diǎn)睛】此題主要考查利用等角對等邊來判定等腰三角形；題目對學(xué)生的要求比較高，利用等量加等量和相等是正確解答本題的關(guān)鍵．5.（2021?越秀區(qū)校級期中）如圖，已知△ABC是等邊三角形，D是邊AC的中點(diǎn)，連接BD，EC⊥BC于點(diǎn)C，CE＝BD．求證：△ADE是等邊三角形．【點(diǎn)撥】利用△ABC是等邊三角形，D為邊AC的中點(diǎn)，求得∠ADB＝90°，再用SAS證明△CBD≌△ACE，推出AE＝CD＝AD，∠AEC＝∠BDC＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DE＝AD，可得出答案．【解析】證明：∵△ABC是等邊三角形，D為邊AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，∵EC⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∠ECD+∠BCD＝90°，∴∠ACE＝∠DBC，∵在△CBD和△ACE中∴△CBD≌△ACE（SAS），∴CD＝AE，∠AEC＝∠BDC＝90°，∵D為邊AC的中點(diǎn)，∠AEC＝90°，∴AD＝DE，∴AD＝AE＝DE，即△ADE是等邊三角形，【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對等邊三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是先證明△CBD≌△ACE，然后再利用三邊相等證明此三角形是等邊三角形．6.（2021?岳麓區(qū)校級期中）證明題：如圖：△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、CA邊延長線上，且BE＝AF＝CD．求證：△DEF是等邊三角形．【點(diǎn)撥】證明△AEF≌△CFD≌△BDE即可．【解析】證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠EAF＝∠EBD＝120°，∵BE＝AF，∴BE+AB＝FA+AC，即AE＝CF，在△AEF和△BDE中，，∴△AEF≌△BDE（SAS），∴EF＝ED，同理可得△AEF≌△CFD，∴EF＝FD，∴EF＝ED＝FD，∴△DEF為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，掌握其判定方法是解題的關(guān)鍵．7．（2021·四川省宜賓市第二中學(xué)校九年級一模）如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可．【詳解】∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的說法是正確的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等邊三角形；∴②的說法是正確的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，過點(diǎn)C作CG⊥PD，垂足為G，CH⊥QE，垂足為H，∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的說法是正確的；無法證明△BPO≌△EDO．∴④的說法是錯誤的；故答案為①②③，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，靈活進(jìn)行三角形全等的判定，活用角的平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．8．（2021·淮安市浦東實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖，，是延長線上一點(diǎn)，若，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度移動，動點(diǎn)從點(diǎn)沿以的速度移動，如果點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，用表示移動的時(shí)間，當(dāng)______時(shí)，是等腰三角形？【答案】6或18【分析】分點(diǎn)P在線段OC上和點(diǎn)P在線段OB上兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形的定義列出等式，求解即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況