空間幾何體積計(jì)算專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題引言空間幾何體積計(jì)算是高中數(shù)學(xué)立體幾何的核心考點(diǎn)，也是連接理論與實(shí)際的重要橋梁（如建筑土方量、機(jī)械零件體積、天體體積估算等）。掌握各類(lèi)幾何體的體積公式及割補(bǔ)轉(zhuǎn)化思想，是解決復(fù)雜體積問(wèn)題的關(guān)鍵。本文按幾何體類(lèi)型分類(lèi)，梳理核心知識(shí)點(diǎn)、典型例題與梯度練習(xí)題，幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固體積計(jì)算能力。一、柱體（棱柱、圓柱）體積計(jì)算核心知識(shí)點(diǎn)柱體體積公式：\(V=S_{\text{底}}\timesh\)（\(S_{\text{底}}\)為底面面積，\(h\)為兩底面間的垂直距離）。直棱柱：側(cè)棱⊥底面，\(h=\)側(cè)棱長(zhǎng)；斜棱柱：\(h=\)側(cè)棱×側(cè)棱與底面夾角的正弦值；圓柱：\(S_{\text{底}}=\pir^2\)（\(r\)為底面半徑），\(h=\)母線長(zhǎng)。典型例題例1：直三棱柱底面為直角三角形（直角邊3、4），側(cè)棱5，求體積。解析：底面面積=\(\frac{1}{2}\times3\times4=6\)，體積=\(6\times5=30\)。例2：斜棱柱底面為正三角形（邊長(zhǎng)2），側(cè)棱3，側(cè)棱與底面夾角60°，求體積。解析：底面面積=\(\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}\)，高=\(3\times\sin60°=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，體積=\(\sqrt{3}\times\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}\)。專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題1.直四棱柱底面為菱形（邊長(zhǎng)2，內(nèi)角60°），側(cè)棱3，求體積。（基礎(chǔ)）2.斜圓柱（底面半徑1，側(cè)棱2，夾角45°），求體積。（中檔）3.兩個(gè)相同直三棱柱（底面直角邊1、2，側(cè)棱3）拼成四棱柱，求體積。（稍難）二、錐體（棱錐、圓錐）體積計(jì)算核心知識(shí)點(diǎn)錐體體積公式：\(V=\frac{1}{3}S_{\text{底}}\timesh\)（\(h\)為頂點(diǎn)到底面的垂直距離）。正棱錐：\(h=\)頂點(diǎn)到底面中心的距離；圓錐：\(S_{\text{底}}=\pir^2\)，\(h=\sqrt{\text{母線}^2-r^2}\)；三棱錐（四面體）：可通過(guò)等體積法換底面簡(jiǎn)化計(jì)算（如\(V_{A-BCD}=V_{B-ACD}\)）。典型例題例3：正四棱錐（底面邊長(zhǎng)4，高3），求體積。解析：底面面積=\(4\times4=16\)，體積=\(\frac{1}{3}\times16\times3=16\)。例4：圓錐（底面周長(zhǎng)6π，高4），求體積。解析：底面半徑=\(\frac{6π}{2π}=3\)，底面面積=\(9π\(zhòng))，體積=\(\frac{1}{3}\times9π\(zhòng)times4=12π\(zhòng))。專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題4.正三棱錐（底面邊長(zhǎng)3，高\(yùn)(\sqrt{3}\)），求體積。（基礎(chǔ)）5.圓錐（底面半徑2，母線5），求體積。（中檔）6.三棱錐（\(PA⊥\)底面，底面等腰三角形邊長(zhǎng)2、夾角60°，\(PA=3\)），求體積。（稍難）三、臺(tái)體（棱臺(tái)、圓臺(tái)）體積計(jì)算核心知識(shí)點(diǎn)臺(tái)體體積公式：\(V=\frac{1}{3}h(S_{\text{上}}+S_{\text{下}}+\sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}})\)（\(S_{\text{上}}、S_{\text{下}}\)為上下底面面積，\(h\)為高）。圓臺(tái)：\(S_{\text{上}}=πr_1^2\)，\(S_{\text{下}}=πr_2^2\)，\(h=\sqrt{\text{母線}^2-(r_2-r_1)^2}\)；臺(tái)體體積另一種表達(dá)：\(V=V_{\text{大錐}}-V_{\text{小錐}}\)（相似比=高之比，體積比=相似比3）。典型例題例5：正四棱臺(tái)（上底邊長(zhǎng)2，下底邊長(zhǎng)4，高3），求體積。解析：\(S_{\text{上}}=4\)，\(S_{\text{下}}=16\)，\(\sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}}=8\)，體積=\(\frac{1}{3}\times3\times(4+16+8)=28\)。例6：圓臺(tái)（上底半徑1，下底半徑2，母線\(\sqrt{5}\)），求體積。解析：高=\(\sqrt{(\sqrt{5})^2-(2-1)^2}=2\)，體積=\(\frac{1}{3}π\(zhòng)times2\times(1+4+2)=\frac{14π}{3}\)。專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題7.正三棱臺(tái)（上底邊長(zhǎng)2，下底邊長(zhǎng)4，高3），求體積。（基礎(chǔ)）8.圓臺(tái)（上底周長(zhǎng)2π，下底周長(zhǎng)4π，母線2），求體積。（中檔）9.正四棱臺(tái)（原棱錐高6，截去小棱錐高2，原底面邊長(zhǎng)4），求體積。（稍難）四、球體（球、組合體）體積計(jì)算核心知識(shí)點(diǎn)球體積公式：\(V=\frac{4}{3}πr^3\)（\(r\)為半徑）。球內(nèi)接正方體：對(duì)角線=球直徑（\(a\sqrt{3}=2r\)，\(a\)為正方體棱長(zhǎng)）；球外切圓柱：圓柱高=球直徑（\(h=2r\)）。典型例題例7：球直徑6，求體積。解析：半徑=3，體積=\(\frac{4}{3}π\(zhòng)times3^3=36π\(zhòng))。例8：球內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)2，求球體積。解析：正方體對(duì)角線=\(2\sqrt{3}\)，球半徑=\(\sqrt{3}\)，體積=\(\frac{4}{3}π\(zhòng)times(\sqrt{3})^3=4\sqrt{3}π\(zhòng))。專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題10.球半徑\(\sqrt{3}\)，求體積。（基礎(chǔ)）11.球外切圓柱高4，求球體積。（中檔）12.半球（半徑2）與圓柱（底面半徑2，高2）組合，求體積。（稍難）五、不規(guī)則幾何體體積計(jì)算（割補(bǔ)法）核心知識(shí)點(diǎn)割補(bǔ)法：將不規(guī)則幾何體分割/補(bǔ)成規(guī)則幾何體（如柱、錐、臺(tái)、球），通過(guò)“整體-部分”計(jì)算。分割法：如將多面體分割成棱柱+棱錐；補(bǔ)形法：如將三棱錐補(bǔ)成三棱柱；祖暅原理：等高處截面積相等，則體積相等（用于復(fù)雜旋轉(zhuǎn)體）。典型例題例9：正方體（棱長(zhǎng)3）挖去以頂點(diǎn)\(A\)為頂點(diǎn)、底面為對(duì)面\(B_1C_1D_1\)的三棱錐，求剩余體積。解析：正方體體積=27，三棱錐體積=\(\frac{1}{3}\times9\times3=9\)，剩余體積=27-9=18。例10：圓柱（半徑1，高2）與圓錐（半徑1，高1，底面重合）組合，求體積。解析：圓柱體積=\(2π\(zhòng))，圓錐體積=\(\frac{π}{3}\)，組合體積=\(2π+\frac{π}{3}=\frac{7π}{3}\)。專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題13.長(zhǎng)方體（長(zhǎng)4、寬3、高2）挖去圓柱（半徑1，高2，軸線與高重合），求剩余體積。（基礎(chǔ)）14.三棱柱（底面直角邊1、2，高3）挖去以頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、底面為對(duì)面的三棱錐，求剩余體積。（中檔）15.兩個(gè)圓柱（半徑1，高2）垂直相交，求公共部分體積（祖暅原理）。（稍難）六、答案與解析專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題答案1.解析：菱形面積=\(2^2\times\sin60°=2\sqrt{3}\)，體積=\(2\sqrt{3}\times3=6\sqrt{3}\)。答案：\(6\sqrt{3}\)2.解析：圓柱體積=\(π\(zhòng)times1^2\times(2\times\sin45°)=\sqrt{2}π\(zhòng))。答案：\(\sqrt{2}π\(zhòng))3.解析：每個(gè)直三棱柱體積=\(\frac{1}{2}\times1\times2\times3=3\)，拼后體積=\(3\times2=6\)。答案：64.解析：正三棱錐底面面積=\(\frac{\sqrt{3}}{4}\times3^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}\)，體積=\(\frac{1}{3}\times\frac{9\sqrt{3}}{4}\times\sqrt{3}=\frac{9}{4}\)。答案：\(\frac{9}{4}\)5.解析：圓錐高=\(\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}\)，體積=\(\frac{1}{3}\timesπ\(zhòng)times2^2\times\sqrt{21}=\frac{4\sqrt{21}π}{3}\)。答案：\(\frac{4\sqrt{21}π}{3}\)6.解析：底面等腰三角形面積=\(\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}\)，體積=\(\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times3=\sqrt{3}\)。答案：\(\sqrt{3}\)7.解析：正三棱臺(tái)體積=\(\frac{1}{3}\times3\times(\sqrt{3}+4\sqrt{3}+2\sqrt{3})=7\sqrt{3}\)。答案：\(7\sqrt{3}\)8.解析：圓臺(tái)高=\(\sqrt{2^2-(2-1)^2}=\sqrt{3}\)，體積=\(\frac{1}{3}π\(zhòng)times\sqrt{3}\times(1+4+2)=\frac{7\sqrt{3}π}{3}\)。答案：\(\frac{7\sqrt{3}π}{3}\)9.解析：原棱錐體積=\(\frac{1}{3}\times4^2\times6=32\)，小棱錐與原棱錐相似比=1:3，體積比=1:27，臺(tái)體體積=\(32\times(1-\frac{1}{27})=\frac{832}{27}\)。答案：\(\frac{832}{27}\)10.解析：體積=\(\frac{4}{3}π\(zhòng)times(\sqrt{3})^3=4\sqrt{3}π\(zhòng))。答案：\(4\sqrt{3}π\(zhòng))11.解析：球半徑=2，體積=\(\frac{4}{3}π\(zhòng)times2^3=\frac{32π}{3}\)。答案：\(\frac{32π}{3}\)12.解析：半球體積=\(\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}π\(zhòng)times2^3=\frac{16π}{3}\)，圓柱體積=\(8π\(zhòng))，組合體積=\(\frac{16π}{3}+8π=\frac{40π}{3}\)。答案：\(\frac{40π}{3}\)13.解析：長(zhǎng)方體體積=24，圓柱體積=\(2π\(zhòng))，剩余體積=24-2π。答案：24-2π14.解析：三棱柱體積=3，三棱錐體積=