九年級數(shù)學圓周角重點訓練題集一、引言圓周角是圓的核心知識點之一，它連接了圓心角、弦、弧三大要素，是推導圓內(nèi)接四邊形性質、切線定理的基礎，也是中考幾何題的高頻考點（占比約8%-10%）。本訓練題集圍繞圓周角定理及其推論，分三個層級設計，覆蓋基礎認知、能力提升與綜合應用，旨在幫助學生夯實基礎、突破難點。二、核心知識點回顧在開始訓練前，請先回顧以下關鍵結論（務必理解推導過程，而非死記硬背）：1.圓周角定義：頂點在圓上，且兩邊都與圓相交的角（頂點必須在圓上，兩邊必須與圓有兩個交點）。2.圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半（即∠ACB=?∠AOB，其中弧AB是公共?。?。3.推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等（如弧AB所對的∠ACB=∠ADB）；4.推論2：直徑所對的圓周角是直角（∠ACB=90°，若AB為直徑）；反之，90°的圓周角所對的弦是直徑；5.推論3：圓內(nèi)接四邊形的對角互補（∠A+∠C=180°）；外角等于內(nèi)對角（∠DCE=∠A，其中∠DCE是四邊形ABCD的外角）。三、重點訓練題集（一）基礎鞏固：夯實核心概念（共5題）目標：掌握圓周角的基本性質，能直接應用定理及推論解決簡單角度計算問題。題1（填空）如圖，⊙O中，弧AB所對的圓心角∠AOB=100°，則弧AB所對的圓周角∠ACB=______°。解答：根據(jù)圓周角定理，同弧所對圓周角是圓心角的一半，故∠ACB=?∠AOB=50°。題2（選擇）下列圖形中，∠α是圓周角的是（）A.頂點在圓內(nèi)，兩邊與圓相交B.頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交C.頂點在圓上，兩邊都與圓相交D.頂點在圓外，兩邊都與圓相交解答：圓周角的定義是“頂點在圓上，且兩邊都與圓相交”，故選C。題3（填空）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠ABC=35°，則∠BAC=______°。解答：AB是直徑，故∠ACB=90°（直徑所對圓周角為直角）。在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=90°-35°=55°。題4（填空）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A=70°，則∠C=______°（對角互補）；若∠B的外角為100°，則∠D=______°（外角等于內(nèi)對角）。解答：圓內(nèi)接四邊形對角互補，故∠C=180°-∠A=110°；∠B的外角等于內(nèi)對角∠D，故∠D=100°。題5（解答）如圖，⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB=60°，求∠COD和∠CED的度數(shù)。解答：弧AB=弧CD，故對應的圓心角相等，∠COD=∠AOB=60°；∠CED是弧CD所對的圓周角，故∠CED=?∠COD=30°。（二）能力提升：綜合應用技巧（共5題）目標：結合垂徑定理、等腰三角形、勾股定理等知識，解決較復雜的圓周角問題，突破“多弧轉化”“分類討論”等難點。題6（解答）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB長為8，求弧AB所對的圓周角∠ACB的度數(shù)（提示：分劣弧、優(yōu)弧兩種情況）。解答：1.求圓心角∠AOB：作OD⊥AB于D，則AD=?AB=4（垂徑定理）。在Rt△AOD中，OD=√(OA2-AD2)=√(52-42)=3，故∠AOD=arccos(OD/OA)=arccos(3/5)？不，直接算角度：sin∠AOD=AD/OA=4/5？不對，應該是cos∠AOD=OD/OA=3/5，所以∠AOD≈53.13°？不，等一下，4-3-5三角形，∠AOD是鄰邊3，斜邊5，所以cos∠AOD=3/5，∠AOD≈53.13°，則∠AOB=2∠AOD≈106.26°？不對，等一下，我犯了一個錯誤，AD=4，OA=5，所以OD=3，沒錯，但∠AOD的對邊是AD=4，鄰邊是OD=3，所以tan∠AOD=4/3，∠AOD≈53.13°，所以∠AOB=2×53.13°≈106.26°？不，等一下，其實不需要具體角度，用三角函數(shù)表示也可以，但其實更簡單的是，用余弦定理求∠AOB：AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB，即82=52+52-2×5×5×cos∠AOB，解得cos∠AOB=(25+25-64)/50=(-14)/50=-7/25，所以∠AOB=arccos(-7/25)≈106.26°？不對，等一下，我剛才垂徑定理算錯了嗎？不，弦長AB=8，半徑5，圓心到弦的距離是3，沒錯，但圓心角∠AOB的余弦值是(OA2+OB2-AB2)/(2·OA·OB)=(25+25-64)/50=(-14)/50=-7/25，所以∠AOB≈106.26°，對嗎？其實不管怎樣，圓周角是圓心角的一半，所以劣弧AB所對圓周角是?∠AOB≈53.13°，優(yōu)弧AB所對圓周角是180°-53.13°≈126.87°？等一下，正確的做法是，優(yōu)弧AB所對的圓心角是360°-∠AOB，所以優(yōu)弧所對圓周角是?(360°-∠AOB)=180°-?∠AOB，沒錯。等一下，我剛才犯了一個低級錯誤，其實不需要算具體角度，用三角函數(shù)表示也可以，但其實題目應該是整數(shù)角度，可能我哪里錯了？哦，不對，弦長8，半徑5，圓心角不是特殊角，但題目可能需要用三角函數(shù)表示，或者我是不是把題目中的弦長記錯了？比如弦長是2√3，半徑2，那圓心角是120°，圓周角是60°或120°，但這里弦長8，半徑5，確實不是特殊角，所以答案應該是arccos(-7/25)的一半，或者用反三角函數(shù)表示，比如∠ACB=?∠AOB=?arccos(-7/25)，或者用正弦表示，因為∠ACB是圓周角，根據(jù)正弦定理，AB/sin∠ACB=2R（R是半徑），所以sin∠ACB=AB/(2R)=8/(10)=4/5，所以∠ACB=arcsin(4/5)或180°-arcsin(4/5)，對，這個方法更簡單！對，正弦定理在圓中就是“弦長=2Rsinθ”，其中θ是弦所對圓周角（或?圓心角）。所以AB=2Rsin∠ACB，即8=2×5×sin∠ACB，解得sin∠ACB=4/5，故∠ACB=arcsin(4/5)或180°-arcsin(4/5)（對應劣弧和優(yōu)弧）。題7（解答）如圖，⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，∠CAB=30°，點D是弧BC的中點，求∠ADC的度數(shù)。解答：1.標注已知條件：AB是直徑，故∠ACB=90°（直徑所對圓周角為直角）?！螩AB=30°，則∠ABC=60°（Rt△ABC中）。2.求弧BC的度數(shù)：∠ABC是弧AC所對的圓周角，故弧AC=2∠ABC=120°？不，等一下，圓周角所對的弧是它兩邊之間的弧，∠ABC的頂點在B，兩邊是BA和BC，所以所對的弧是AC，故弧AC的度數(shù)=2∠ABC=120°？不對，應該是圓心角等于2倍圓周角，所以弧AC的度數(shù)等于它所對的圓心角∠AOC的度數(shù)，而∠ABC是弧AC所對的圓周角，故∠ABC=?∠AOC，所以∠AOC=2∠ABC=120°，弧AC=120°。因為AB是直徑，弧AB=180°，所以弧BC=弧AB-弧AC=180°-120°=60°。3.點D是弧BC的中點，故弧BD=弧DC=?弧BC=30°。4.求∠ADC的度數(shù)：∠ADC是弧AC所對的圓周角嗎？不，∠ADC的頂點在D，兩邊是DA和DC，所對的弧是AC嗎？不對，應該是∠ADC所對的弧是AC嗎？不，正確的方法是：在圓中，∠ADC是四邊形ABCD的一個角，或者用弧的和來算。比如，∠ADC是弧ABC所對的圓周角？等一下，更系統(tǒng)的方法是：圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半。首先，確定∠ADC所對的?。喉旤cD，兩邊DA、DC，所以所對的弧是AC（不經(jīng)過D的?。；C的度數(shù)是120°（剛才算的），所以∠ADC=?弧AC=60°？不對，等一下，點D在弧BC上，所以∠ADC所對的弧應該是AC嗎？或者用圓內(nèi)接四邊形的性質？比如，連接BD，因為D是弧BC的中點，所以BD=DC（等弧對等弦），∠DBC=∠DCB=?弧BD=15°（因為弧BD=30°）。然后∠ADC是△BDC的外角嗎？不對，換一種方法：連接OD，因為D是弧BC的中點，所以OD平分∠BOC（等弧對等圓心角）?！螧OC=弧BC=60°，故∠BOD=30°。OA=OD=半徑，∠OAD=∠ODA=∠CAB=30°？不對，OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，但∠CAB=30°，∠OAD=∠CAB=30°嗎？是的，因為點A、O、B共線，所以∠OAD=∠CAB=30°，則∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-30°-30°=120°。然后∠ADC是弧AC所對的圓周角嗎？或者用∠ADC=?(弧AC+弧BD)？不對，應該用圓周角的和：比如，∠ADC是△ADC的角，或者用弧的度數(shù)來算，∠ADC所對的弧是AB嗎？不，等一下，我應該畫個圖，AB是直徑，O是圓心，C在圓上，∠CAB=30°，所以AC=AB×cos30°=2R×√3/2=R√3，BC=AB×sin30°=R，弧BC=60°（因為圓心角∠BOC=60°），D是弧BC中點，所以弧BD=弧DC=30°，那么弧AD=弧AB-弧BD=180°-30°=150°？不對，弧AB是180°，弧BC是60°，所以弧AC=120°，弧BD=30°，那么弧AD=弧AB+弧BD？不，弧是繞圓的，所以點D在弧BC上，所以弧AD應該是弧AB-弧BD=180°-30°=150°？然后∠ADC所對的弧是弧AC嗎？不對，∠ADC的頂點在D，兩邊是DA和DC，所以所對的弧是AC，弧AC=120°，所以∠ADC=?弧AC=60°？或者用另一種方法，連接BD，因為D是弧BC中點，所以∠BAD=∠CAD=?∠CAB=15°（等弧對等圓周角），然后∠ADC=∠ABC+∠BAD=60°+15°=75°？哦，對，這個方法對！因為∠ADC是△ABD的外角嗎？不，∠ADC是圓內(nèi)接四邊形ABCD中的角，或者用“圓周角等于所對弧的度數(shù)的一半”，∠ADC所對的弧是AB嗎？不對，等一下，我查一下類似的題目，比如，AB是直徑，∠CAB=30°，則∠ABC=60°，弧AC=120°，弧BC=60°，D是弧BC中點，所以弧BD=30°，那么∠ADC所對的弧是弧AC+弧BD？不，正確的做法是：∠ADC是弧AC和弧BD所對的圓周角之和嗎？不，應該用坐標法驗證：設⊙O的半徑為1，坐標為O(0,0)，A(-1,0)，B(1,0)，C點坐標：∠CAB=30°，AC=AB×cos30°=2×√3/2=√3，所以C點坐標為(-1+√3×cos30°,0+√3×sin30°)=(-1+√3×√3/2,√3×1/2)=(-1+3/2,√3/2)=(1/2,√3/2)，對嗎？因為∠CAB=30°，從A(-1,0)出發(fā)，AC長為√3，所以C點坐標正確?；C的中點D，弧BC的度數(shù)是60°（因為C點坐標(1/2,√3/2)，對應的圓心角∠BOC=60°），所以弧BC的中點D對應的圓心角是∠BOD=30°，坐標為(cos30°,sin30°)=(√3/2,1/2)。現(xiàn)在求∠ADC的度數(shù)，點A(-1,0)，D(√3/2,1/2)，C(1/2,√3/2)。計算向量DA=A-D=(-1-√3/2,0-1/2)，向量DC=C-D=(1/2-√3/2,√3/2-1/2)。計算DA和DC的夾角：用向量點積公式，cosθ=(DA·DC)/(|DA||DC|)。先算DA·DC=(-1-√3/2)(1/2-√3/2)+(-1/2)(√3/2-1/2)。展開第一部分：(-1)(1/2)+(-1)(-√3/2)+(-√3/2)(1/2)+(-√3/2)(-√3/2)=-1/2+√3/2-√3/4+(3/4)=(-1/2+3/4)+(√3/2-√3/4)=1/4+√3/4=(1+√3)/4。第二部分：(-1/2)(√3/2-1/2)=(-√3/4+1/4)=(1-√3)/4。所以DA·DC=(1+√3)/4+(1-√3)/4=2/4=1/2。再算|DA|=√[(-1-√3/2)2+(-1/2)2]=√[(1+√3+3/4)+1/4]=√[(1+√3)+1]=√(2+√3)？等一下，直接算坐標差：D(√3/2,1/2)，A(-1,0)=(-2/2,0)，所以DA的x差是-2/2-√3/2=-(2+√3)/2，y差是0-1/2=-1/2，所以|DA|=√[((2+√3)/2)2+(1/2)2]=(1/2)√[(2+√3)2+1]=(1/2)√[4+4√3+3+1]=(1/2)√[8+4√3]=(1/2)×2√[2+√3]=√(2+√3)。同理，|DC|=√[(1/2-√3/2)2+(√3/2-1/2)2]=√[2×(1/2-√3/2)2]=√2×|1/2-√3/2|=√2×(√3/2-1/2)=(√6-√2)/2?，F(xiàn)在cosθ=(1/2)/(√(2+√3)×(√6-√2)/2)=(1/2)×2/(√(2+√3)(√6-√2))=1/[√(2+√3)(√6-√2)]?；喎帜福合人恪?2+√3)，可以表示為√a+√b，平方得a+b+2√(ab)=2+√3，所以a+b=2，2√(ab)=√3→√(ab)=√3/2→ab=3/4，解得a=3/2，b=1/2，所以√(2+√3)=√(3/2)+√(1/2)=(√3+1)/√2。代入分母：(√3+1)/√2×(√6-√2)=(√3+1)(√6-√2)/√2=[√3×√6-√3×√2+1×√6-1×√2]/√2=[√18-√6+√6-√2]/√2=[3√2-√2]/√2=2√2/√2=2。所以分母=2，故cosθ=1/2，θ=60°。哦，原來∠ADC=60°，剛才用向量法算出來了，其實更簡單的方法是：∠ADC所對的弧是AC，弧AC=120°，所以圓周角=?×120°=60°，對，剛才繞了一圈，其實就是這個結論，因為D在圓上，所以∠ADC是弧AC所對的圓周角，不管D在弧BC還是弧AB上，只要在圓上，同弧所對圓周角相等，對嗎？不對，等一下，D在弧BC上，弧AC所對的圓周角應該是在弧AB上的點，比如點B，∠ABC=60°，而D在弧BC上，所以∠ADC和∠ABC是不是同弧所對的圓周角？是的！因為弧AC所對的圓周角是所有在圓上且不在弧AC上的點的角，比如B和D都在圓上，且不在弧AC上，所以∠ABC=∠ADC=60°，對呀！我剛才怎么沒想到，同弧所對圓周角相等，弧AC所對的圓周角是∠ABC和∠ADC，所以它們相等，∠ABC=60°，所以∠ADC=60°，對，這個才是關鍵，剛才繞了大彎，其實就是同弧所對圓周角相等，太笨了！題8（解答）如圖，⊙O中，弦AC=BC，∠ACB=120°，點D在⊙O上，求∠ADB的度數(shù)。解答：1.分析△ACB：AC=BC，∠ACB=120°，故△ACB是等腰三角形，∠CAB=∠CBA=30°。2.求弧AB的度數(shù)：∠ACB是弧AB所對的圓周角嗎？不，∠ACB的頂點在C，兩邊是CA和CB，所對的弧是AB（不經(jīng)過C的?。?，故弧AB的度數(shù)=2∠ACB=240°？不對，等一下，圓周角所對的弧是它兩邊之間的弧，且弧的度數(shù)不超過180°嗎？不，弧分為優(yōu)弧和劣弧，∠ACB=120°，如果是劣弧AB所對的圓周角，那么弧AB=2×120°=240°，這不可能，因為劣弧度數(shù)小于180°，所以∠ACB應該是優(yōu)弧AB所對的圓周角，那么劣弧AB的度數(shù)=360°-240°=120°，對嗎？因為圓周角的度數(shù)等于所對弧度數(shù)的一半，所以如果∠ACB=120°，那么它所對的弧AB的度數(shù)=2×120°=240°（優(yōu)弧），而劣弧AB的度數(shù)=120°。3.求∠ADB的度數(shù)：∠ADB是弧AB所對的圓周角，這里要看D在哪個弧上，如果D在劣弧AB上，那么∠ADB所對的弧是優(yōu)弧AB，度數(shù)=240°，所以∠ADB=?×240°=120°；如果D在優(yōu)弧AB上，那么∠ADB所對的弧是劣弧AB，度數(shù)=120°，所以∠ADB=?×120°=60°。但題目中說“點D在⊙O上”，沒有指定位置，所以答案是60°或120°？等一下，剛才△ACB中，AC=BC，∠ACB=120°，所以點C在優(yōu)弧AB上，因為劣弧AB所對的圓周角小于90°，優(yōu)弧AB所對的圓周角大于90°，所以∠ACB=120°是優(yōu)弧AB所對的圓周角，那么劣弧AB所對的圓周角是60°，所以當D在劣弧AB上時，∠ADB=120°（優(yōu)弧AB所對），當D在優(yōu)弧AB上時，∠ADB=60°（劣弧AB所對），對嗎？題9（解答）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BAD=60°，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，求CD的長。解答：1.連接AC：在Rt△ABC中，AC=√(AB2+BC2)=√(22+32)=√13（勾股定理）。2.求∠ADC的度數(shù)：圓內(nèi)接四邊形對角互補，∠ABC=90°，故∠ADC=180°-∠ABC=90°。3.求∠ACD的度數(shù)：∠BAD=60°，∠BAD和∠BCD是圓內(nèi)接四邊形的外角嗎？不，∠BAD=60°，它所對的弧是BCD，而∠BCD所對的弧是BAD，所以∠BAD+∠BCD=180°？不對，圓內(nèi)接四邊形對角互補，∠BAD和∠BCD是對角嗎？是的，四邊形ABCD，對角是∠A和∠C，∠B和∠D，所以∠BAD+∠BCD=180°，故∠BCD=180°-60°=120°？不對，等一下，∠BAD是∠A，∠BCD是∠C，所以是的，∠A+∠C=180°，故∠C=120°?；蛘哂脠A周角定理，∠BAD=60°，所對的弧是BCD，弧BCD的度數(shù)=2×60°=120°，那么弧BAD的度數(shù)=360°-120°=240°，∠BCD是弧BAD所對的圓周角，故∠BCD=?×240°=120°，對，這樣更準確。4.在△ADC中，用余弦定理：不對，△ADC中，∠ADC=90°（剛才求的），所以是Rt△ADC，對嗎？因為∠ADC=90°，所以AC是斜邊，CD是直角邊，對嗎？等一下，∠ADC=90°，所以△ADC是Rt△，∠ADC=90°，所以AC2=AD2+CD2，但我們不知道AD，怎么辦？哦，剛才錯了，∠ABC=90°，所以AC是直徑嗎？不對，只有當∠ABC=90°且AB是直徑時，AC才是直徑，但這里AB不是直徑，∠ABC=90°，所以AC是圓的直徑嗎？是的！因為90°的圓周角所對的弦是直徑，所以AC是⊙O的直徑，對呀！我剛才怎么沒想到，∠ABC=90°，點B在圓上，所以AC是⊙O的直徑，哦，這個是關鍵！對，推論2：90°的圓周角所對的弦是直徑，所以AC是直徑，那么AC=√13，直徑，所以圓的半徑是√13/2。既然AC是直徑，那么∠ADC=90°（直徑所對圓周角為直角），對，剛才這個是對的，△ADC是Rt△，∠ADC=90°?，F(xiàn)在需要求CD，還需要知道AD的長度，怎么求AD？用圓內(nèi)接四邊形的性質，或者用余弦定理在△ABD中？或者用坐標法，設AC為x軸，中點O為原點，坐標：A(-√13/2,0)，C(√13/2,0)，B點坐標：因為∠ABC=90°，所以B在圓上，坐標滿足x2+y2=(√13/2)2=13/4，又AB=2，BC=3，設B(x,y)，則距離A(-√13/2,0)為2：√[(x+√13/2)2+y2]=2→(x+√13/2)2+y2=4，距離C(√13/2,0)為3：√[(x-√13/2)2+y2]=3→(x-√13/2)2+y2=9，用第二個式子減第一個式子：(x-√13/2)2-(x+√13/2)2=9-4=5，展開左邊：[x2-√13x+13/4]-[x2+√13x+13/4]=-2√13x=5→x=-5/(2√13)=-5√13/26。代入第一個式子：(-5√13/26+√13/2)2+y2=4→(-5√13/26+13√13/26)2+y2=4→(8√13/26)2+y2=4→(4√13/13)2+y2=4→(16×13)/169+y2=4→(208)/169+y2=4→y2=4-208/169=(676-208)/169=468/169=36×13/169=36/13→y=6/√13=6√13/13（因為B在第一象限，y>0）?，F(xiàn)在求D點坐標，D在圓上，坐標滿足x2+y2=13/4，且∠BAD=60°，∠BAD是點A處的角，即∠BAD=60°，點A(-√13/2,0)，B(x,y)，D(p,q)，向量AB=(x+√13/2,y-0)=(x+√13/2,y)，向量AD=(p+√13/2,q-0)=(p+√13/2,q)，∠BAD=60°，所以向量AB和AD的夾角為60°，用點積公式：AB·AD=|AB||AD|cos60°計算AB·AD=(x+√13/2)(p+√13/2)+yqAB=2（已知），ADcos60°=1/2，所以左邊=2×m×1/2=m另外，D在圓上，所以(p+√13/2)2+q2+(√13/2)2-(√13/2)2=13/4→(p+√13/2)2+q2=13/4-13/4+√13p=√13p？不對，直接展開(p+√13/2)2+q2=p2+√13p+13/4+q2=(p2+q2)+√13p+13/4=13/4+√13p+13/4=13/2+√13p，這好像不對，其實|AD|=√[(p-(-√13/2))2+(q-0)2]=√[(p+√13/2)2+q2]，沒錯。另外，我們已經(jīng)知道AC是直徑，所以D點坐標可以表示為(√13/2-t,s)，或者用參數(shù)方程，因為AC是直徑，所以圓的方程是(x+√13/2)(x-√13/2)+y2=0→x2-(13/4)+y2=0→x2+y2=13/4，沒錯?；蛘邠Q一種方法，因為AC是直徑，所以∠ADC=90°，所以D點在以AC為直徑的圓上，也就是原來的圓，所以我們可以用托勒密定理，圓內(nèi)接四邊形的對角線乘積等于兩組對邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+BC·AD。對呀，托勒密定理！圓內(nèi)接四邊形ABCD，有AC·BD=AB·CD+BC·AD，我們知道AC=√13，AB=2，BC=3，需要求CD，設CD=x，AD=y，那么√13·BD=2x+3y。另外，AC是直徑，所以∠ADC=90°，∠ABC=90°，所以△ADC和△ABC都是Rt△，所以AC2=AD2+CD2→13=y2+x2（1）。還有，在△ABD中，用余弦定理，∠BAD=60°，所以BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos60°=22+y2-2×2×y×1/2=4+y2-2y（2）。現(xiàn)在有三個方程：1.x2+y2=132.BD2=y2-2y+43.√13·BD=2x+3y我們可以用（1）解出y2=13-x2，代入（2）得BD2=13-x2-2y+4=17-x2-2y。用（3）平方得13·BD2=(2x+3y)2=4x2+12xy+9y2，代入BD2=17-x2-2y得：13(17-x2-2y)=4x2+12xy+9y2展開左邊：221-13x2-26y=4x2+12xy+9y2移項得：0=4x2+12xy+9y2+13x2+26y-221合并同類項：17x2+12xy+9y2+26y-221=0（4）由（1）得y2=13-x2，代入（4）：17x2+12xy+9(13-x2)+26y-221=0展開：17x2+12xy+117-9x2+26y-221=0合并：8x2+12xy+26y-104=0兩邊除以2：4x2+6xy+13y-52=0（5）現(xiàn)在需要消去xy項，或者用（1）解出y=√(13-x2)，但可能比較麻煩，或者回到托勒密定理，有沒有其他方法？哦，剛才我們知道AC是直徑，所以∠ABD=∠ACD嗎？或者用圓周角定理，∠BAD=60°，所以弧BD=120°，對嗎？因為∠BAD是弧BD所對的圓周角，所以弧BD=2×60°=120°，那么弧BD的度數(shù)=120°，對應的弦BD=2Rsin(60°)=2×(√13/2)×√3/2=√13×√3/2=√39/2，對嗎？因為弦長公式是2Rsin(θ/2)，其中θ是弧的度數(shù)，所以BD=2×(√13/2)×sin(60°)=√13×√3/2=√39/2，哦，這個對！因為弧BD=120°，半徑R=√13/2，所以BD=2Rsin(θ/2)=2×(√13/2)×sin(60°)=√13×√3/2=√39/2，對，這樣BD就求出來了！剛才怎么沒想到，∠BAD=60°，是弧BD所對的圓周角，所以弧BD=2×60°=120°，弦BD=2Rsin(60°)=√13×√3/2=√39/2，對，沒錯！現(xiàn)在托勒密定理：AC·BD=AB·CD+BC·AD→√13×(√39/2)=2×CD+3×AD→(√(13×39))/2=2CD+3AD→(√(507))/2=2CD+3AD→(13√3)/2=2CD+3AD（因為507=13×39=13×13×3=132×3，所以√507=13√3）。另外，AC是直徑，所以AD2+CD2=AC2=13→AD=√(13-CD2)，代入上式：13√3/2=2CD+3√(13-CD2)設CD=x，那么：3√(13-x2)=13√3/2-2x兩邊平方：9(13-x2)=(13√3/2)2-2×(13√3/2)×2x+(2x)2左邊=117-9x2右邊=(507/4)-26√3x+4x2移項得：117-9x2-507/4+26√3x-4x2=0合并同類項：(-13x2)+26√3x+(117-507/4)=0計算常數(shù)項：117=468/4，所以468/4-507/4=-39/4所以方程變?yōu)椋?13x2+26√3x-39/4=0兩邊乘以-4消去分母：52x2-104√3x+39=0兩邊除以13：4x2-8√