四川省中考數(shù)學難點專項突破練習引言四川省中考數(shù)學命題以“基礎(chǔ)為本、能力立意、素養(yǎng)導向”為原則，難點主要集中在二次函數(shù)綜合、幾何動態(tài)問題、概率統(tǒng)計綜合、新定義題型四大板塊。這些題型不僅考查學生對知識點的掌握程度，更側(cè)重邏輯推理、數(shù)學建模與創(chuàng)新應用能力。本文針對四大難點，逐一拆解考點、提煉解題策略，并配套經(jīng)典例題與專項練習，助力學生實現(xiàn)精準突破。一、二次函數(shù)綜合題：壓軸題的“常駐嘉賓”（一）考點分析二次函數(shù)綜合題是四川中考第28題（成都）、第25題（綿陽）等壓軸題的核心題型，主要考查：1.二次函數(shù)解析式的求法（頂點式、交點式、一般式）；2.二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的交點問題（聯(lián)立方程、韋達定理）；3.動態(tài)背景下的存在性問題（等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、菱形）；4.最值問題（面積最值、線段最值、利潤最值）。（二）解題策略1.第一步：求解析式——優(yōu)先用交點式（過x軸兩點）或頂點式（已知頂點或最值），減少計算量；2.第二步：設(shè)動點坐標——用參數(shù)表示動點（如設(shè)P(t,at2+bt+c)），將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程；3.第三步：列方程求解——根據(jù)存在性條件（如等腰三角形“兩邊平方相等”、平行四邊形“對角線中點重合”）列方程；4.第四步：檢驗——排除重合點、不符合題意的解（如動點在某線段上時的范圍限制）。（三）經(jīng)典例題（2022·成都中考第28題節(jié)選）題目：二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)經(jīng)過點\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)、\(C(0,3)\)，點\(P\)在拋物線上，點\(Q\)在直線\(BC\)上，若以\(A、B、P、Q\)為頂點的四邊形是平行四邊形，求點\(P\)的坐標。解答：1.求二次函數(shù)解析式：因拋物線過\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)，設(shè)交點式\(y=a(x+1)(x-3)\)，代入\(C(0,3)\)得：\(3=a(0+1)(0-3)\Rightarrowa=-1\)，故解析式為\(y=-x^2+2x+3\)。2.求直線\(BC\)解析式：設(shè)直線\(BC\)為\(y=kx+d\)，代入\(B(3,0)\)、\(C(0,3)\)得：\(\begin{cases}0=3k+d\\3=d\end{cases}\Rightarrowk=-1,d=3\)，故\(y=-x+3\)。3.設(shè)動點坐標：設(shè)\(Q(t,-t+3)\)（\(t\)為參數(shù)），\(P(m,-m^2+2m+3)\)（\(m\)為參數(shù)）。4.利用平行四邊形性質(zhì)列方程：平行四邊形對角線互相平分，分三種情況討論：情況1：\(AB\)與\(PQ\)為對角線：\(AB\)中點為\((1,0)\)，\(PQ\)中點為\(\left(\frac{m+t}{2},\frac{-m^2+2m+3-t+3}{2}\right)\)，故：\(\begin{cases}\frac{m+t}{2}=1\\\frac{-m^2+2m+6-t}{2}=0\end{cases}\Rightarrowt=2-m\)，代入第二個方程得：\(-m^2+2m+6-(2-m)=0\Rightarrow-m^2+3m+4=0\Rightarrowm=4\)或\(m=-1\)（\(m=-1\)為\(A\)點，舍去），故\(P(4,-5)\)。情況2：\(AP\)與\(BQ\)為對角線：同理可得\(m=0\)，\(P(0,3)\)（\(C\)點，符合條件）。情況3：\(AQ\)與\(BP\)為對角線：同理可得\(m=2\)，\(P(2,3)\)（符合條件）。5.結(jié)論：點\(P\)的坐標為\((4,-5)\)、\((0,3)\)、\((2,3)\)。（四）專項練習1.（基礎(chǔ)）求拋物線\(y=x^2-2x-3\)的頂點坐標及與y軸的交點坐標。2.（中檔）拋物線\(y=-x^2+bx+c\)過點\((1,0)\)、\((0,3)\)，點\(P\)在拋物線上，且\(\trianglePAB\)為等腰三角形（\(A(1,0)\)、\(B(3,0)\)），求\(P\)點坐標。3.（壓軸）如圖，拋物線\(y=ax^2+bx+c\)與x軸交于\(A(-2,0)\)、\(B(4,0)\)，與y軸交于\(C(0,4)\)，點\(M\)在拋物線上，點\(N\)在直線\(AC\)上，若\(MN\parallelx\)軸且\(MN=2\)，求\(M\)點坐標。（答案提示：設(shè)\(M(t,at^2+bt+c)\)，\(N(t\pm2,at^2+bt+c)\)，代入直線\(AC\)解析式求解）二、幾何動態(tài)問題：“動”中求“靜”的思維挑戰(zhàn)（一）考點分析幾何動態(tài)問題是四川中考第24題（南充）、第25題（德陽）的常見題型，主要考查：1.動點路徑判斷（直線、圓弧、其他曲線）；2.動態(tài)中的不變量（角度、長度、比例、面積關(guān)系）；3.臨界狀態(tài)分析（相遇、相切、最值、圖形形狀變化）。（二）解題策略1.化動為靜——設(shè)定變量（如時間\(t\)、動點橫坐標\(x\)），表示所有相關(guān)線段的長度；2.建立模型——將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題（如函數(shù)關(guān)系式、方程）；3.分析臨界——找到變量的取值范圍（如動點在線段上時\(t\)的范圍），確定最值或特殊位置。（三）經(jīng)典例題（2023·綿陽中考第25題節(jié)選）題目：如圖，在矩形\(ABCD\)中，\(AB=6\)，\(BC=8\)，點\(P\)從\(A\)出發(fā)，沿\(AB\)向\(B\)運動，速度為1單位/秒；點\(Q\)從\(B\)出發(fā)，沿\(BC\)向\(C\)運動，速度為2單位/秒。當其中一點到達終點時，另一點停止運動。設(shè)運動時間為\(t\)秒，求\(\triangleDPQ\)面積的最小值。解答：1.表示線段長度：\(t\)秒后，\(AP=t\RightarrowPB=6-t\)，\(BQ=2t\RightarrowQC=8-2t\)（\(0\leqt\leq4\)，因\(Q\)到\(C\)需4秒）。2.計算\(\triangleDPQ\)面積：矩形面積為\(6\times8=48\)，用“補形法”求\(\triangleDPQ\)面積：\(S_{\triangleDPQ}=S_{矩形ABCD}-S_{\triangleDAP}-S_{\trianglePBQ}-S_{\triangleQCD}\)其中：\(S_{\triangleDAP}=\frac{1}{2}\timesAD\timesAP=\frac{1}{2}\times8\timest=4t\)，\(S_{\trianglePBQ}=\frac{1}{2}\timesPB\timesBQ=\frac{1}{2}\times(6-t)\times2t=t(6-t)=6t-t^2\)，\(S_{\triangleQCD}=\frac{1}{2}\timesQC\timesCD=\frac{1}{2}\times(8-2t)\times6=3(8-2t)=24-6t\)。代入得：\(S_{\triangleDPQ}=48-4t-(6t-t^2)-(24-6t)=48-4t-6t+t^2-24+6t=t^2-4t+24\)。3.求最小值：二次函數(shù)\(S=t^2-4t+24\)的頂點橫坐標為\(t=-\frac{2a}=2\)，在\(0\leqt\leq4\)范圍內(nèi)，故最小值為：\(S=2^2-4\times2+24=4-8+24=20\)。結(jié)論：\(\triangleDPQ\)面積的最小值為20。（四）專項練習1.（基礎(chǔ)）在\(\triangleABC\)中，\(AB=5\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，點\(P\)在\(BC\)上運動，求\(AP\)的最小值。（答案提示：用面積法求高）2.（中檔）如圖，\(\odotO\)半徑為2，點\(A\)在\(\odotO\)上，點\(B\)在直線\(OA\)上，且\(OB=5\)，點\(P\)在\(\odotO\)上運動，求\(PB\)的最大值與最小值。（答案提示：利用圓上點到直線的距離最值）3.（壓軸）在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，點\(D\)從\(C\)出發(fā)，沿\(CA\)向\(A\)運動，速度為1單位/秒；點\(E\)從\(B\)出發(fā)，沿\(BC\)向\(C\)運動，速度為2單位/秒。當\(D\)到達\(A\)時停止運動，求\(\triangleCDE\)與\(\triangleABC\)相似的時間\(t\)。（答案提示：分兩種相似情況：\(\triangleCDE\sim\triangleCAB\)或\(\triangleCDE\sim\triangleCBA\)）三、概率與統(tǒng)計綜合：“數(shù)據(jù)意識”的綜合考查（一）考點分析概率與統(tǒng)計綜合題是四川中考第21題（成都）、第20題（瀘州）的必考題，主要考查：1.統(tǒng)計量的計算（中位數(shù)、眾數(shù)、方差、平均數(shù)）；2.統(tǒng)計圖表的解讀（條形圖、扇形圖、折線圖）；3.概率的計算（樹狀圖、列表法、頻率估計概率）；4.統(tǒng)計與概率的綜合應用（用統(tǒng)計數(shù)據(jù)預測概率，用概率分析統(tǒng)計結(jié)果）。（二）解題策略1.統(tǒng)計部分：中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，中間的數(shù)（奇數(shù)個）或中間兩個數(shù)的平均數(shù)（偶數(shù)個）；眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；方差：\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]\)（反映數(shù)據(jù)波動大?。?；統(tǒng)計圖表：扇形圖的圓心角=百分比×360°，條形圖的高度對應數(shù)量。2.概率部分：古典概型：\(P(A)=\frac{事件A包含的基本事件數(shù)}{總的基本事件數(shù)}\)；列表法/樹狀圖：用于求兩步或多步試驗的概率，避免重復或遺漏。（三）經(jīng)典例題（2023·南充中考第21題）題目：為了解學生的睡眠情況，某校隨機抽取了部分學生，調(diào)查他們一周的平均每天睡眠時間（單位：小時），并將數(shù)據(jù)整理成如下條形圖和扇形圖（部分信息未給出）：（1）求本次調(diào)查的學生人數(shù)；（2）補全條形圖；（3）求扇形圖中“8小時”對應的圓心角；（4）若該校有1200名學生，估計睡眠時間在“7小時及以下”的學生人數(shù)；（5）從睡眠時間為“6小時”的2名男生和1名女生中，隨機抽取2人，求恰好抽到1男1女的概率。解答：（1）求調(diào)查人數(shù)：由條形圖知“7小時”有15人，扇形圖知“7小時”占30%，故調(diào)查人數(shù)為\(15\div30\%=50\)人。（2）補全條形圖：“8小時”人數(shù)：\(50\times40\%=20\)人（扇形圖“8小時”占40%）；“6小時”人數(shù)：\(50-10（5小時及以下）-15（7小時）-20（8小時）=5\)人（條形圖中“5小時及以下”有10人）。（3）“8小時”圓心角：\(40\%\times360^\circ=144^\circ\)。（4）估計“7小時及以下”人數(shù)：“7小時及以下”占比：\(\frac{10+15}{50}=50\%\)，故1200×50%=600人。（5）求概率：設(shè)2名男生為\(M_1、M_2\)，1名女生為\(F\)，列表如下：第1人\(M_1\)\(M_2\)\(F\)\(M_1\)——\((M_1,M_2)\)\((M_1,F)\)\(M_2\)\((M_2,M_1)\)——\((M_2,F)\)\(F\)\((F,M_1)\)\((F,M_2)\)——共有6種等可能結(jié)果，其中1男1女的有4種，故概率為\(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)。（四）專項練習1.（基礎(chǔ)）一組數(shù)據(jù)：3,5,7,9,7,5,7，求眾數(shù)和中位數(shù)。（答案：眾數(shù)7，中位數(shù)7）2.（中檔）某班50名學生的數(shù)學成績?nèi)缦拢?0分10人，85分20人，90分15人，95分5人，求平均成績和方差。（答案：平均成績86分，方差29）3.（壓軸）如圖，扇形圖顯示了某小區(qū)居民喜歡的運動項目（籃球、足球、羽毛球、乒乓球），其中籃球占25%，足球占30%，羽毛球占20%，乒乓球占25%。若喜歡羽毛球的有40人，求喜歡足球的人數(shù)，并求隨機抽取1人喜歡籃球或乒乓球的概率。（答案：喜歡足球60人，概率50%）四、新定義題型：“創(chuàng)新思維”的能力考驗（一）考點分析新定義題型是近年來四川中考的熱點題型（如2022·德陽第23題、2023·宜賓第22題），主要考查：1.新運算（如“⊕”“?”定義為某種代數(shù)運算）；2.新圖形（如“準菱形”“友好三角形”定義為具有某種性質(zhì)的圖形）；3.新函數(shù)（如“絕對值函數(shù)”“分段函數(shù)”定義為某種表達式的函數(shù)）。（二）解題策略1.理解定義——仔細閱讀題目，提取新定義的關(guān)鍵特征（如“準菱形”要求四邊相等但對角線不垂直）；2.轉(zhuǎn)化模型——將新定義轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學知識（如“新運算”轉(zhuǎn)化為加減乘除，“新圖形”轉(zhuǎn)化為全等、相似）；3.驗證應用——用具體例子驗證定義，再應用定義解決問題（如求新函數(shù)的交點、最值）。（三）經(jīng)典例題（2022·德陽中考第23題）題目：定義：若點\(P(x,y)\)滿足\(y=x^2+2x+3\)，且點\(P\)到直線\(y=x+1\)的距離為\(\sqrt{2}\)，則稱點\(P\)為拋物線\(y=x^2+2x+3\)的“關(guān)聯(lián)點”。求該拋物線的“關(guān)聯(lián)點”個數(shù)。解答：1.理解定義：“關(guān)聯(lián)點”需滿足兩個條件：①在拋物線上；②到直線\(y=x+1\)的距離為\(\sqrt{2}\)。2.轉(zhuǎn)化條件：點\(P(x,x^2+2x+3)\)到直線\(x-y+1=0\)的距離公式為：\(d=\frac{|x-(x^2+2x+3)+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|-x^2-x-2|}{\sqrt{2}}=\frac{x^2+x+2}{\sqrt{2}}\)（因分子恒正）。根據(jù)定義，\(d=\sqrt{2}\)，故：\(\frac{x^2+x+2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrowx^2+x+2=2\Rightarrowx^2+x=0\Rightarrowx(x+1)=0\)。