高二理科數(shù)學期末測試卷及詳細解析一、選擇題（本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.導數(shù)的幾何意義函數(shù)\(f(x)=x^3-2x+1\)在\(x=1\)處的切線方程是（）A.\(y=x-1\)B.\(y=2x-2\)C.\(y=x\)D.\(y=2x-1\)解析：計算切點處的函數(shù)值：\(f(1)=1^3-2\cdot1+1=0\)。求導得\(f'(x)=3x^2-2\)，切線斜率\(k=f'(1)=3\cdot1^2-2=1\)。切線方程為\(y-0=1\cdot(x-1)\)，即\(y=x-1\)。答案：A2.橢圓的基本性質(zhì)橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的離心率是（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{5}{3}\)解析：由橢圓方程得\(a^2=25\)（長半軸），\(b^2=16\)（短半軸），則\(c^2=a^2-b^2=9\)（半焦距），故\(c=3\)。離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)。答案：A3.離散型隨機變量的期望離散型隨機變量\(X\)的分布列為：\(P(X=1)=0.2\)，\(P(X=2)=0.5\)，\(P(X=3)=0.3\)，則\(E(X)=\)（）A.1.8B.2.0C.2.1D.2.2解析：期望公式\(E(X)=\sumx_iP(x_i)\)，代入得：\(E(X)=1\cdot0.2+2\cdot0.5+3\cdot0.3=0.2+1+0.9=2.1\)。答案：C4.空間向量的夾角空間向量\(\mathbf{a}=(1,2,3)\)，\(\mathbf=(2,1,0)\)，則它們的夾角余弦值為（）A.\(\frac{4}{\sqrt{70}}\)B.\(\frac{2}{\sqrt{35}}\)C.\(\frac{3}{\sqrt{14}}\)D.\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)解析：向量點積\(\mathbf{a}\cdot\mathbf=1\cdot2+2\cdot1+3\cdot0=4\)。向量模長\(|\mathbf{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\)，\(|\mathbf|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}\)。夾角余弦值\(\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf}{|\mathbf{a}||\mathbf|}=\frac{4}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{70}}=\frac{2\sqrt{70}}{35}\)（化簡后與選項A一致）。答案：A5.等差數(shù)列的通項等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，公差\(d=3\)，則\(a_5=\)（）A.11B.14C.17D.20解析：等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，代入得：\(a_5=2+(5-1)\cdot3=2+12=14\)。答案：B6.導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,0)\)B.\((0,2)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)解析：求導得\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f'(x)<0\)，解得\(0<x<2\)，故單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。答案：B7.雙曲線的漸近線與方程雙曲線的漸近線方程為\(y=\pm2x\)，且過點\((1,3)\)，則雙曲線方程為（）A.\(\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{5/4}=1\)B.\(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1\)C.\(y^2-4x^2=1\)D.\(4x^2-y^2=1\)解析：漸近線為\(y=\pm2x\)，設雙曲線方程為\(y^2-4x^2=k\)（\(k\neq0\)）。代入點\((1,3)\)，得\(3^2-4\cdot1^2=k\)，即\(k=5\)。故雙曲線方程為\(y^2-4x^2=5\)，整理為標準形式\(\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{5/4}=1\)。答案：A8.排列組合之分組問題將5本不同的書分給3個同學，每人至少1本，共有（）種分法。A.120B.150C.210D.240解析：分兩類：1,1,3分組：\(\frac{C_5^3\cdotA_3^3}{A_2^2}=\frac{10\cdot6}{2}=30\)（除以\(A_2^2\)消除重復分組）；1,2,2分組：\(\frac{C_5^2\cdotC_3^2\cdotA_3^3}{A_2^2}=\frac{10\cdot3\cdot6}{2}=90\)；總方法數(shù)\(30+90=150\)。答案：B9.立體幾何中的線面角長方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\)，\(AD=1\)，\(AA_1=3\)，則直線\(A_1B\)與平面\(ABCD\)所成角的正弦值為（）A.\(\frac{3}{\sqrt{13}}\)B.\(\frac{2}{\sqrt{13}}\)C.\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)D.\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)解析：直線\(A_1B\)與平面\(ABCD\)所成角為\(\angleA_1BA\)（\(A_1A\perp\)平面\(ABCD\)，\(AB\)為射影）。\(A_1B=\sqrt{AB^2+AA_1^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)，\(A_1A=3\)。正弦值\(\sin\theta=\frac{A_1A}{A_1B}=\frac{3}{\sqrt{13}}\)。答案：A10.導數(shù)與極值點個數(shù)函數(shù)\(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1\)有兩個極值點，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)D.\((-1,+\infty)\)解析：求導得\(f'(x)=3x^2-6ax+3=3(x^2-2ax+1)\)。極值點個數(shù)由\(f'(x)=0\)的實根個數(shù)決定，判別式\(\Delta=4a^2-4\)。有兩個極值點需\(\Delta>0\)，即\(4a^2-4>0\)，解得\(a<-1\)或\(a>1\)。答案：C二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分）11.導數(shù)與極值點函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極值點是______。解析：求導得\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\pm1\)。答案：\(x=1\)和\(x=-1\)12.雙曲線的漸近線雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是______。解析：雙曲線標準形式為\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a=3\)，\(b=4\)，漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)。答案：\(y=\pm\frac{4}{3}x\)13.離散型隨機變量的方差離散型隨機變量\(X\)的分布列為：\(P(X=0)=0.1\)，\(P(X=1)=0.6\)，\(P(X=2)=0.3\)，則\(D(X)=\)______。解析：先求期望\(E(X)=0\cdot0.1+1\cdot0.6+2\cdot0.3=1.2\)。方差公式\(D(X)=\sum(x_i-E(X))^2P(x_i)\)，代入得：\(D(X)=(0-1.2)^2\cdot0.1+(1-1.2)^2\cdot0.6+(2-1.2)^2\cdot0.3=0.144+0.024+0.192=0.36\)。答案：0.3614.立體幾何的體積三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB=AC=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(PA=3\)，則三棱錐的體積為______。解析：底面\(\triangleABC\)的面積\(S=\frac{1}{2}\cdotAB\cdotAC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2\)。體積\(V=\frac{1}{3}\cdotS\cdotPA=\frac{1}{3}\cdot2\cdot3=2\)。答案：215.數(shù)列求和（錯位相減法）數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n=n\cdot2^n\)，則前\(n\)項和\(S_n=\)______。解析：\(S_n=1\cdot2^1+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\)，\(2S_n=1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+(n-1)\cdot2^n+n\cdot2^{n+1}\)，兩式相減得\(-S_n=2+2^2+\cdots+2^n-n\cdot2^{n+1}=2(2^n-1)-n\cdot2^{n+1}\)，故\(S_n=(n-1)\cdot2^{n+1}+2\)。答案：\((n-1)2^{n+1}+2\)16.拋物線的焦點弦長拋物線\(y^2=4x\)的焦點為\(F\)，過\(F\)的直線交拋物線于\(A、B\)兩點，若\(|AB|=8\)，則直線\(AB\)的斜率為______。解析：焦點\(F(1,0)\)，設直線方程為\(y=k(x-1)\)，聯(lián)立\(y^2=4x\)得：\(k^2(x-1)^2=4x\)，整理為\(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0\)。設\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}=2+\frac{4}{k^2}\)。焦點弦長公式\(|AB|=x_1+x_2+2\)，代入得\(2+\frac{4}{k^2}+2=8\)，解得\(k^2=1\)，故\(k=\pm1\)。答案：\(\pm1\)三、解答題（本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.導數(shù)的應用（單調(diào)性與極值）（10分）已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)，求：（1）\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）\(f(x)\)的極值。解析：（1）求導得\(f'(x)=3x^2-6x+2\)，令\(f'(x)=0\)，解得：\(x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)。當\(x<1-\frac{\sqrt{3}}{3}\)或\(x>1+\frac{\sqrt{3}}{3}\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當\(1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3}\)時，\(f'(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。故單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3})\cup(1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})\)。（2）極大值在\(x=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\)處取得，代入得：\(f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3-3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2+2(1-\frac{\sqrt{3}}{3})+1=1+\frac{2\sqrt{3}}{9}\)；極小值在\(x=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\)處取得，同理得：\(f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=1-\frac{2\sqrt{3}}{9}\)。18.統(tǒng)計概率（分布列與期望）（12分）某超市舉辦抽獎活動，規(guī)則如下：顧客消費滿100元可抽獎一次，抽獎箱中有5個紅球和3個白球，不放回地抽取2個球。若抽到2個紅球，獎金10元；若抽到1個紅球1個白球，獎金5元；若抽到2個白球，無獎金。求：（1）顧客抽獎一次的中獎概率（有獎金即為中獎）；（2）顧客抽獎一次的期望獎金。解析：（1）總抽法數(shù)\(C_8^2=28\)。抽到2個紅球：\(C_5^2=10\)種，概率\(\frac{10}{28}=\frac{5}{14}\)；抽到1個紅球1個白球：\(C_5^1C_3^1=15\)種，概率\(\frac{15}{28}\)；中獎概率\(P=\frac{5}{14}+\frac{15}{28}=\frac{25}{28}\)。（2）設期望獎金為\(E(X)\)，\(X\)的可能取值為0,5,10：\(P(X=10)=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}\)；\(P(X=5)=\frac{15}{28}\)；\(P(X=0)=\frac{C_3^2}{28}=\frac{3}{28}\)。期望\(E(X)=10\cdot\frac{5}{14}+5\cdot\frac{15}{28}+0\cdot\frac{3}{28}=\frac{50}{14}+\frac{75}{28}=\frac{175}{28}=6.25\)（元）。19.立體幾何（線面平行與體積）（12分）如圖，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=AA_1=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(D\)是\(BC\)的中點，\(E\)是\(A_1B\)的中點。（1）證明：\(DE\parallel\)平面\(A_1AC\)；（2）求三棱錐\(E-ABC\)的體積。解析：（1）幾何法：連接\(A_1C\)，\(E\)是\(A_1B\)中點，\(D\)是\(BC\)中點，故\(DE\)是\(\triangleA_1BC\)的中位線，\(DE\parallelA_1C\)。又\(A_1C\subset\)平面\(A_1AC\)，\(DE\not\subset\)平面\(A_1AC\)，故\(DE\parallel\)平面\(A_1AC\)。（2）體積計算：底面\(\triangleABC\)的面積\(S=\frac{1}{2}\cdotAB\cdotAC=2\)。\(E\)是\(A_1B\)中點，\(A_1\)到底面\(ABC\)的距離為\(AA_1=2\)，故\(E\)到底面的距離為\(\frac{1}{2}\cdotAA_1=1\)。體積\(V=\frac{1}{3}\cdotS\cdot高=\frac{1}{3}\cdot2\cdot1=\frac{2}{3}\)。20.圓錐曲線（橢圓與直線位置關系）（12分）已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)。（1）求橢圓\(C\)的方程；（2）設直線\(l:y=kx+m\)與橢圓\(C\)交于\(A、B\)兩點，\(O\)為坐標原點，若\(OA\perpOB\)，求\(m\)的取值范圍。解析：（1）離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，故\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，\(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2\)。橢圓方程化簡為\(x^2+4y^2=a^2\)，代入點\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)得：\(1+4\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=a^2\)，即\(a^2=4\)，故\(b^2=1\)。橢圓方程為\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。（2）聯(lián)立直線與橢圓方程：\(y=kx+m\)代入\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，得：\((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0\)。設\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{4m^2-4}{1+4k^2}\)。\(OA\perpOB\)等價于\(x_1x_2+y_1y_2=0\)，其中\(zhòng)(y_1y_2=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2\)，代入得：\((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0\)。將\(x_1+x_2\)、\(x_1x_2\)代入并化簡，得\(5m^2=4k^2+4\)，即\(k^2=\frac{5m^2-4}{4}\)。直線與橢圓有兩個交點需判別式\(\Delta>0\)，即：\((8km)^2-4(1+4k^2)(4m^2-4)>0\)，代入\(k^2=\frac{5m^2-4}{4}\)，化簡得\(m^2>\frac{4}{5}\)。故\(m\)的取值范圍為\((-\infty,-\frac{2\sqrt{5}}{5}]\cup[\frac{2\sqrt{5}}{5},+\infty)\)。21.數(shù)列（遞推式與求和）（12分）已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1(n\inN^*)\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式；（2）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n+1\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)。解析：（1）遞推式\(a_{n+1}=2a_n+1\)兩邊加1，得\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)。故\(\{a_n+1\}\)是首項為\(a_1+1=2\)、公比為2的等比數(shù)列，通項為\(a_n+1=2^n\)，故\(a_n=2^n-1\)。（2）\(\{a_n+1\}\)的通項為\(2^n\)，前\(n\)項和為等比數(shù)列求和：\(S_n=2+2^2+\cdots+2^n=2(2^n-1)=2^{n+1}-2\)。22.導數(shù)的綜合應用（單調(diào)性、恒成立問題、不等式證明）（12分）已知函數(shù)\(f(x)=\lnx-ax(a\inR)\)。（1）討論\(f(x)\)的單調(diào)性；（2）若\(f(x)\leq0\)恒成立，求\(a\)的取值范圍；（3）證明：當\(x>1\)時，\(\lnx<x-1\)。解析：（1）定義域為\((0,+\inf