數(shù)學

大一輪復習培優(yōu)點1集合中的創(chuàng)新問題匯報人：第一章數(shù)學思維的創(chuàng)新是思維品質(zhì)的最高層次，以集合為背景的創(chuàng)新問題是新高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，此類題目常常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，以集合為依托，考查學生理解問題、解決創(chuàng)新問題的能力.

重點解讀

√題型一√√集合中的新概念

對于D選項，在A選項的基礎上進行證明：任意數(shù)域P，都有有理數(shù)集Q?P.因為0，1是任意數(shù)域中的元素，而且任意整數(shù)都可以看成有限個0或1的和或差，故所有整數(shù)都屬于數(shù)域P，又任意有理數(shù)均能表示成兩個整數(shù)的商，故所有有理數(shù)都屬于數(shù)域P，即Q?P，所以Q?M，Q?N，即Q?M∩N，故D正確.新概念問題，往往是通過重新定義相應的集合或重新定義集合中的某個要素，結(jié)合集合的知識加以創(chuàng)新，可以利用原有集合的相關知識解題.思維升華跟蹤訓練1

設全集U={2，3，5，6，9}，對其子集引進“勢”的概念：①空集的“勢”最??；②非空子集的元素越多，其“勢”越大；③若兩個子集的元素個數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢”就越大，依此類推.若將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列，則排在第23位的子集是

.

{3，5，9}不含任何元素的子集有1個，含有1個元素的子集有5個，含有2個元素的子集有10個，含有3個元素的子集有10個，因為1+5+10=16<23，且1+5+10+10=26>23，故排在第23位的子集含有3個元素，第26位的子集為{5，6，9}，第25位的子集為{3，6，9}，第24位的子集為{2，6，9}，第23位的子集為{3，5，9}.例2

(多選)(2024·泰州模擬)對任意A，B?R，記A⊕B={x|x∈A∪B，x?A∩B}，并稱A⊕B為集合A，B的對稱差.例如：若A={1，2，3}，B={2，3，4}，則A⊕B={1，4}.下列命題中，為真命題的是A.若A，B?R且A⊕B=B，則A=?B.若A，B?R且A⊕B=?，則A=BC.若A，B?R且A⊕B?A，則A?BD.存在A，B?R，使得A⊕B≠?RA⊕?RB題型二√√集合中的新運算對于A，因為A⊕B=B，所以B={x|x∈A∪B，x?A∩B}，所以A?B，且B中的元素不能出現(xiàn)在A∩B中，因此A=?，即A正確；對于B，因為A⊕B=?，所以?={x|x∈A∪B，x?A∩B}，即A∪B與A∩B是相同的，所以A=B，即B正確；對于C，因為A⊕B?A，所以{x|x∈A∪B，x?A∩B}?A，所以B?A，當A≠B時，A?B不成立，即C錯誤；對于D，由于(?RA)⊕(?RB)={x|x∈(?RA)∪(?RB)，x?(?RA)∩(?RB)}={x|x∈?R(A∩B)，x??R(A∪B)}={x|x∈A∪B，x?A∩B}，而A⊕B={x|x∈A∪B，x?A∩B}，故A⊕B=(?RA)⊕(?RB)，即D錯誤.新運算問題是通過創(chuàng)新給出有關集合的一個全新的運算規(guī)則.按照新的運算規(guī)則，結(jié)合數(shù)學中原有的運算和運算規(guī)則，通過相關的集合或其他知識進行計算或邏輯推理等進行解答.思維升華

√

例3

(2024·江門模擬)將2024表示成5個正整數(shù)x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5=2024①，稱五元有序數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5)為方程①的解，對于上述的五元有序數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5)，當1≤i，j≤5時，若max(xi-xj)=t(t∈N)，則稱(x1，x2，x3，x4，x5)是t-密集的一組解.(1)方程①是否存在一組解(x1，x2，x3，x4，x5)，使得xi+1-xi(i=1，2，3，4)等于同一常數(shù)？若存在，請求出該常數(shù)；若不存在，請說明理由；題型三集合中的新性質(zhì)

(2)方程①的解中共有多少組是1-密集的？

新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點仍然是集合的有關知識點.思維升華跟蹤訓練3

(2025·山東名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知集合S={0，1，2，…，5n}(n∈N*)，集合T?S，記T的元素個數(shù)為|T|.若集合T中存在三個元素a，b，c(a<b<c)，使得c+2a>3b，則稱T為“理想集”.(1)若n=1，分別判斷集合T1={0，2，3，5}，T2={0，1，2，5}是否為“理想集”，并說明理由；T1不是“理想集”，T2是“理想集”，理由如下：由題意，令a=0，b=2，c=3，則3+2×0<3×2；令a=0，b=2，c=5，則5+2×0<3×2；令a=0，b=3，c=5，則5+2×0<3×3；令a=2，b=3，c=5，則5+2×2=3×3，所以T1不是“理想集”.令a=1，b=2，c=5，則5+2×1>3×2，所以T2是“理想集”.(2)若n=1，寫出所有的“理想集”T的個數(shù)并列舉；共16個“理想集”.若n=1，有S={0，1，2，3，4，5}.當|T|=3時，若a=0，則b≥1，由c+2a>3b可知c>3b≥3，故(b，c)=(1，4)或(1，5)；若a=1，則b≥2，由c+2a>3b可知c+2>3b≥6，則4<c≤5，故(b，c)=(2，5).故含有三個元素的“理想集”T={0，1，4}，{0，1，5}，{1，2，5}，共3個.當|T|=4時，T={0，1，2，4}，{0，1，3，4}，{0，1，2，5}，{0，1，3，5}，{0，1，4，5}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共7個.當|T|=5時，T={0，1，2，3，4}，{0，1，2，3，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，共5個.當|T|=6時，T={0，1，2，3，4，5}，共1個.綜上所述，所有“理想集”T的個數(shù)為16，分別為{0，1，4}，{0，1，5}，{1，2，5}，{0，1，2，4}，{0，1，3，4}，{0，1，2，5}，{0，1，3，5}，{0，1，4，5}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{0，1，2，3，4}，{0，1，2，3，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，3，4，5}.(3)若|T|=4n+2，證明：集合T必為“理想集”.

課時精練01單擊此處添加章節(jié)副標題答案12345題號1234答案BCABC(1)100110

(2)4對一對答案12345

5.答案12345(2)先證明必要性：當集合A是集合Sn的“期待子集”時，由題意，存在互不相同的a，b，c∈Sn，使得a+b，b+c，c+a∈A，不妨設a<b<c，令x=a+b，y=c+a，z=b+c，則x<y<z，即性質(zhì)P中的①成立；又x+y-z=(a+b)+(c+a)-(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即性質(zhì)P中的②成立；因為x+y+z=(a+b)+(c+a)+(b+c)=2(a+b+c)，所以x+y+z為偶數(shù)，即性質(zhì)P中的③成立，所以集合A具有性質(zhì)P.5.答案12345

5.一、單項選擇題1.(2025·深圳模擬)定義兩集合M，N的差集：M-N={x|x∈M且x?N}，已知集合A={2，3，5}，B={3，5，8}，則A-(A-B)的子集個數(shù)是A.2B.4

C.8

D.16√12345答案12345答案因為A={2，3，5}，B={3，5，8}，所以A-B={2}，所以A-(A-B)={3，5}，有兩個元素，則A-(A-B)的子集個數(shù)是22=4.2.(2024·懷化模擬)給定整數(shù)n≥3，有n個實數(shù)元素的集合S，定義其相伴數(shù)集T={|a-b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)=1，則稱集合S為規(guī)范數(shù)集(注：min(X)表示數(shù)集X中的最小數(shù)).對于集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}，N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，則A.M是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集B.M是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集C.M不是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集D.M不是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集12345√答案12345答案集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}中，2∈M，2.5∈M，則|2-2.5|=0.5<1，即M的相伴數(shù)集中的最小數(shù)不是1，因此M不是規(guī)范數(shù)集；集合N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，|-1.5-(-0.5)|=1，|-0.5-0.5|=1，|0.5-1.5|=1，|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2，|-1.5-1.5|=3，即N的相伴數(shù)集中的最小數(shù)是1，因此N是規(guī)范數(shù)集.一、多項選擇題3.設U是一個非空集合，F(xiàn)是U的子集構(gòu)成的集合，如果F同時滿足：①?∈F，②若A，B∈F，則A∩(?UB)∈F且A∪B∈F，那么稱F是U的一個環(huán).則下列說法正確的是A.若U={1，2，3，4，5，6}，則F={?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U

的一個環(huán)B.若U={a，b，c}，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有8個元素C.若U=Z，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有4個元素且{2}，{3，5}∈FD.若U=R，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有7個元素且[0，3]，[3，5]∈F√12345答案√√12345答案由題意知，①?∈F，②若A，B∈F，則A∩(?UB)∈F且A∪B∈F.對于A，全集U={1，2，3，4，5，6}且F={?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}，滿足?∈F且當A，B∈F時，可得A∩(?UB)∈F且A∪B∈F，所以A正確；對于B，由{U的所有子集}={?，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}共含8個元素，若F是U的所有子集構(gòu)成的集合，則集合F是U的一個環(huán)且有8個元素，所以B正確；12345答案對于C，若{2}∈F，{3，5}∈F，可得{2}∪{3，5}={2，3，5}∈F，所以F={?，{2}，{3，5}，{2，3，5}}是U的一個環(huán)，其中F中含有4個元素，所以C正確；對于D，若[0，3]∈F，[3，5]∈F，可得[0，3]∩(?R[3，5])=[0，3)∈F，[3，5]∩(?R[0，3])=(3，5]∈F，[3，5]∪[0，3]=[0，5]∈F，[0，3]∩(?R[0，3))={3}∈F，[0，5]∩(?R{3})=[0，3)∪(3，5]∈F，且?∈F，所以集合F中至少有8個元素，所以D錯誤.三、填空題4.設全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1組成的6位字符串，如{1，3}表示的是從左往右第1個字符為1，第3個字符為1，其余均為0的6位字符串101000，并規(guī)定空集表示的字符串為000000.(1)若N={2，3，6}，則?UN表示的6位字符串為

；

12345答案100110因為U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}，所以?UN={1，4，5}，所以?UN表示的6位字符串為100110.(2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串為011011，則滿足條件的集合A的個數(shù)為

.

12345答案4因為集合A∪B表示的字符串為011011，所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}，所以集合A可能為{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，即滿足條件的集合A的個數(shù)為4.四、解答題5.已知集合Sn={1，2，3，…，2n}(n∈N*，n≥4)，對于集合Sn的非空子集A，若Sn中存在三個互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均屬于A，則稱集合A是集合Sn的“期待子集”.(1)判斷集合A1={3，4，5}，A2={3，5，