一、極限運(yùn)算法則二、求極限方法舉例三、復(fù)合函數(shù)極限的運(yùn)算法則第2.4節(jié)、極限的運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則定理1設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B,則

(1)lim[f(x)g(x)]=A

B;

(2)lim[f(x)g(x)]=A

B;

其中

B0.

注:定理1的結(jié)論可以推廣到有限個(gè)函數(shù)情形.證因

limf(x)=A,limg(x)=B.

所以

f(x)=A+

(x),

g(x)=B+

(x).其中

lim

(x)=0,lim

(x)=0.

(1)lim[f(x)g(x)]=A

B.

由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得(1)F(x)

g(x)=[A+

(x)]

[B+

(x)]于是

lim[f(x)g(x)]=A

B

=[

A

B]+[

(x)

(x)]

(x)

(x)0,=limf(x)

limg(x)

證由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得(2)f

(x)

g(x)=[A+

(x)]

[B+

(x)]

(2)lim[f(x)g(x)]=AB.

于是

lim[f(x)g(x)]=A

B

=

AB+A(x)A

(x)0,=limf(x)

limg(x)

+B(x)+

(x)

(x)B(x)0,

(x)

(x)0,

證由無(wú)窮小運(yùn)算法則知,lim[B

(x)

A

(x)]=0,由(1)(2)知limB[B+

(x)]=B2

0,于是,從某時(shí)刻后是有界變量,因此有所以,因此,lim[f(x)g(x)]=A

B=limf(x)

limg(x).常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2

如果limf(x)存在,而c為常數(shù),則

lim[cf(x)]=c

limf(x).

推論3

如果limf(x)存在,而n是正整數(shù),則

limfn(x)=

[limf(x)]n

.

推論1有限個(gè)函數(shù)的和、差、積、商(分母極限不為零)

的極限等于極限的和、差、積、商.推論4

如果limf(x)存在,且limf(x)

0,而

n

是正整數(shù),則limf

n(x)=[limf(x)]

n.推論5

如果limf(x)存在,而

n是正整數(shù),則,limf

(x)=[limf(x)]

,

R.例1求解結(jié)論1設(shè)多項(xiàng)式f(x)=a0xn+a1xn

1+

+an

1x+an,則有=f(x0)=a0x0n+a1x0n

1+

+an

1x0+an二、求極限方法舉例=2

23

3

22+1=5.解例2求Section5_3若Q(x0)=0,則商的法則不能應(yīng)用.結(jié)論2設(shè)有理分式函數(shù)f(x)=,且Q(x0)0,

則有=3

15

2

1+2=3

0,解因由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例3求所以,=(

3)2

9=0,商的極限運(yùn)算法則不能直接應(yīng)用,但=(

3)3

7

(

3)=

6

0,=0,解因例4求=2

12+1

3=0,=12+1

2=0,“”但

x

1時(shí),x

1,因此可約去分子分母中的公因子x

1,因此,解因例5求“

”=

1.解因例6求又函數(shù)中包含有根式,一般先將根式有理化再求極限.=

2.例7求極限解

分子分母同時(shí)有理化例8若

求a,b的值.解

由已知,又,得=1+a+b=0,b=

a

1

(1)于是,=3.

因此a=4,代入

(1)得b=

5.例9求極限“”解

將分子分母同時(shí)除以未知數(shù)的最高次冪

n2,然后用四則運(yùn)算求極限例10求極限解

當(dāng)x

時(shí),分子分母同時(shí)為無(wú)窮大量,將分子分母同時(shí)除以未知數(shù)的最高次冪x3,得例11求極限解

將分子分母同時(shí)除以未知數(shù)的最高次冪x3,得,=0.例12求極限解

將分子分母同時(shí)除以未知數(shù)的最高次冪x4,得,=

.結(jié)論3:設(shè)a0

0,b00,m,n則有為非負(fù)整數(shù),則n=m,n<m,0,n>m.

,例13求極限解

將分子分母同時(shí)除以未知數(shù)的最高次冪x30,得例14求極限解

例15求極限解

本題為“”型未定式,可考慮分子分母同除以最大的項(xiàng)

x,考慮到

x為負(fù),有例16求極限解

因?yàn)?不能用減的極限運(yùn)算法則.因函數(shù)中包含有根式,先將根式有理化再求極限例17證明不存在.證

因?yàn)?1.所以,不存在.例18求極限解

=1.三、復(fù)合函數(shù)極限的運(yùn)算法則定理3設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)y=f(u)與u=g(x)復(fù)合而成,f[g(x)]在點(diǎn)

x0處的某去心鄰域內(nèi)有定義,若且存在正數(shù)

,使得當(dāng)0<|x

x0|<

時(shí),有g(shù)(x0)

u0,則例19求極限解

因且當(dāng)0<|x

(

1)|<1時(shí),所以,=

1.例20求極限解

因=1.且對(duì)任意正整數(shù)N,當(dāng)

n>N時(shí),

1,所以,

=2.四、小結(jié)1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論;定理設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B,則

(1)lim[f(x)g(x)]=A

B;

(2)lim[f(x)g(x)]=A

B;

其中

B0.

推論如果limf(x)存在,而c為常數(shù),n是正整數(shù),則

lim[cf(x)]=c

limf(x).

limfn(x)=

[limf(x)]n

.

2、極限求法：a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.3、結(jié)論:Section5_32.設(shè)有理分式函數(shù)f(x)=,且Q(x0)0,

則有1.設(shè)多項(xiàng)式