第8.7節(jié)、二重積分的計算方法二、極坐標系下二重積分的計算一、直角坐標系下二重積分的計算三、二元函數(shù)的反常積分如果積分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).－型區(qū)域出口曲線入口曲線一、直角坐標系下二重積分的計算1.先對y積分再對x積分應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法.得等于以D為底，以曲面z=f(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積。的值于是上式右端的積分稱為先對后對的二次積分。先把看作常數(shù)，對計算從到的定積分；的結(jié)果再對計算在區(qū)間上的定積分。記為即然后把計算只看作的函數(shù)，把并“從右往左”理解－型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.于是得若則“先積一條線,后掃積分域”如果積分區(qū)域為：－型區(qū)域2.先對x積分再對y積分－型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.3.交換二次積分次序?

畫出積分域?利用圖示法“確定積分限”步驟：我非常重要！關(guān)鍵：例1計算二重積分，其中D是直線y＝0,x＝2,及y＝2x所圍成的閉區(qū)域.解:積分區(qū)域

D如圖所示，綜合考慮選擇先對

y

積分，在任意一點x處，用平行于

y軸的直線穿過區(qū)域的內(nèi)部，穿入交點所在的函數(shù)，穿出交點所在的函數(shù)，故例2計算二重積分其中D是由x軸及圍成的閉區(qū)域.解:積分區(qū)域

D如圖所示，綜合考慮選擇先對

x

積分，在任意一點y處，用平行于x軸的直線穿過區(qū)域

D的內(nèi)部，穿入交點所在的函數(shù)穿出交點所在的函數(shù)故例3交換二重積分的次序.解:先找出積分區(qū)域:所圍成的圖形，如圖所示：當時，在任意一點x處用平行于y軸的直線穿過區(qū)域D的內(nèi)部，穿入交點所在的函數(shù)，穿出交點所在的函數(shù)；當時，在任意一點x處用平行于y軸的直線穿過區(qū)域D的內(nèi)部，穿入交點所在的函數(shù)穿出交點所在的函數(shù)，故由積分區(qū)域的可加性知：二、極坐標系下二重積分的計算二重積分也有相應(yīng)的換元法，下面介紹一種常見的換元——極坐標變換.極坐標系中的點直角坐標系中的點和對應(yīng)之間的變換為在極坐標系下，有些區(qū)域邊界的表達式會非常簡單，當積分區(qū)域是圓域、圓環(huán)域或部分圓域，且被積函數(shù)形如或形式時，采用極坐標變換計算二重積分比較簡單.其中就是極坐標系中的面積元素。極坐標系下的二重積分化為二次積分，一般先對積分再對積分.步驟如下：（1）從極點出發(fā)的一組射線穿過區(qū)域

D，先確定區(qū)域?qū)?yīng)的范圍；（2）然后任找一條從極點出發(fā)的射線穿過區(qū)域

D內(nèi)部，確定穿入交點所在的函數(shù)以及穿出交點所在的函數(shù)，將二重積分改寫成相應(yīng)的二次積分計算.一般情況，根據(jù)極點O與區(qū)域

D的位置關(guān)系不同，有下列三種情況：1.極點O在區(qū)域

D外2.極點O在區(qū)域

D邊界上3.極點O在區(qū)域

D內(nèi)例4計算二重積分，其中D為拋物線及直線所圍成的區(qū)域.解：在直角坐標系下，積分區(qū)域D如

圖所示.在極坐標系下，可化為可化為，極點O在區(qū)域

D邊界上從極點出發(fā)的射線穿過區(qū)域，穿入交點，穿出交點所在的函數(shù)故例5計算二重積分，其中D是由所確定的圓域.解：如圖所示，可化為，極點O在區(qū)域

D內(nèi)部故三、二元函數(shù)的反常積分類似一元函數(shù)的反常積分，二元函數(shù)的反常積分也有類似的方法，在此不過多贅述.下面列舉一個在工程中、概率統(tǒng)計中一個常用的反常積分：例6證明：反常積分證：記顯然，利用反常積分的牛頓——萊布尼茨公式無法計算此反常積分的值注意到因此，利用極坐標變換化為二次積分，可得又因為故即2.二重積分在極坐標下的計算公式內(nèi)容小結(jié)1.二重積分在直角坐標下的計算公式（正確選擇積分次序）基本要求:變換后定限簡便，求積容易．3.作什