2020版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)聽評(píng)課記錄：第36課《二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題》(含解析)一.基本信息

聽課日期為2023年10月26日，聽課時(shí)間為上午第二節(jié)課，授課教師姓名為李明，學(xué)科/課程名稱為高中數(shù)學(xué)，班級(jí)/年級(jí)為高三（5）班，教學(xué)主題或章節(jié)為《二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題》。聽課人姓名為王華，聽課人職務(wù)為高中數(shù)學(xué)教研員，聽課目的為教學(xué)研究。本節(jié)課作為高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，重點(diǎn)圍繞二元一次不等式組在平面區(qū)域表示中的應(yīng)用以及線性規(guī)劃的基本模型展開，旨在幫助學(xué)生掌握將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的方法，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力。結(jié)合2020版江蘇高考的要求，本節(jié)課的設(shè)計(jì)緊扣高考考點(diǎn)，通過典型例題解析和變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生深入理解線性規(guī)劃思想，為后續(xù)復(fù)雜問題的解決奠定基礎(chǔ)。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備：教師的教學(xué)計(jì)劃清晰明確，圍繞二元一次不等式組和線性規(guī)劃的核心概念展開，分為概念引入、例題分析、變式訓(xùn)練和總結(jié)四個(gè)環(huán)節(jié)。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材配套習(xí)題選用合理，多媒體課件制作精良，包含動(dòng)態(tài)演示區(qū)域表示和線性規(guī)劃圖解過程，有助于學(xué)生直觀理解抽象概念。教具方面準(zhǔn)備了坐標(biāo)紙和彩色筆，用于學(xué)生動(dòng)手繪制區(qū)域和標(biāo)注最優(yōu)解，增強(qiáng)實(shí)踐體驗(yàn)。

2.教學(xué)過程：

開始階段，教師通過復(fù)習(xí)一元一次不等式組的解法引入二元一次不等式組，采用問題驅(qū)動(dòng)法提問：“如何用平面區(qū)域表示二元不等式組？”通過對(duì)比x+y=1與x+y>1的圖像差異，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)區(qū)域表示的規(guī)律，效果顯著。展開階段，教師結(jié)合教材例題“某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，消耗原材料和勞動(dòng)力資源如下，如何安排生產(chǎn)使利潤(rùn)最大？”引入線性規(guī)劃模型，采用“講解-示范-學(xué)生自主嘗試”的三步法推進(jìn)。首先，教師示范標(biāo)準(zhǔn)模型轉(zhuǎn)化過程，強(qiáng)調(diào)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的提取方法；其次，組織學(xué)生分組討論實(shí)際問題的數(shù)學(xué)表達(dá)，并利用多媒體動(dòng)態(tài)演示可行域的平移過程，直觀展示最優(yōu)解的確定方法；變式訓(xùn)練環(huán)節(jié)選取了資源限制和利潤(rùn)調(diào)整的拓展問題，通過小組合作完成，深化理解。結(jié)束階段，教師用思維導(dǎo)圖歸納核心要點(diǎn)，并布置分層作業(yè)：基礎(chǔ)題要求熟練繪制區(qū)域，提高題要求探索多目標(biāo)線性規(guī)劃，兼顧不同層次學(xué)生需求。

3.師生互動(dòng)：課堂交流頻率高，教師通過設(shè)問、追問和反問激發(fā)學(xué)生思考。例如在分析例題時(shí)，提問“可行域的邊界條件如何確定？”引導(dǎo)學(xué)生回顧不等式與等式的轉(zhuǎn)化關(guān)系。學(xué)生參與度積極，對(duì)線性規(guī)劃圖解過程表現(xiàn)出濃厚興趣，部分學(xué)生主動(dòng)分享解題思路?；?dòng)質(zhì)量上，教師能及時(shí)捕捉學(xué)生回答中的錯(cuò)誤點(diǎn)，如對(duì)目標(biāo)函數(shù)平移方向的誤解，通過類比一元函數(shù)圖像變化進(jìn)行糾正。討論環(huán)節(jié)中，教師采用“小組匯報(bào)-其他組質(zhì)疑”的形式，促進(jìn)深度交流。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)：學(xué)習(xí)積極性整體較高，尤其在動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)，學(xué)生專注觀察教師用Geogebra軟件演示可行域邊界移動(dòng)時(shí)最優(yōu)解的動(dòng)態(tài)變化，部分學(xué)生記錄詳細(xì)筆記。合作學(xué)習(xí)方面，4人小組討論時(shí)分工明確，一人繪制圖形、一人分析約束條件、一人計(jì)算最優(yōu)值，形成良好協(xié)作氛圍。但在復(fù)雜約束條件轉(zhuǎn)化時(shí)，少數(shù)學(xué)生出現(xiàn)混淆，教師通過巡視個(gè)別指導(dǎo)，幫助其理清邏輯關(guān)系。

5.課堂管理：課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守發(fā)言規(guī)則，小組討論時(shí)保持適當(dāng)音量。時(shí)間分配合理，概念講解占30分鐘，例題分析占25分鐘，變式訓(xùn)練占20分鐘，總結(jié)作業(yè)布置占15分鐘，符合高三復(fù)習(xí)節(jié)奏。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，在難點(diǎn)突破環(huán)節(jié)適當(dāng)放慢速度，通過板書和多媒體結(jié)合的方式分層呈現(xiàn)，確保學(xué)生跟進(jìn)。

6.教學(xué)技術(shù)使用：現(xiàn)代教育技術(shù)運(yùn)用高效，Geogebra軟件動(dòng)態(tài)演示線性規(guī)劃過程，使抽象概念可視化；PPT課件包含動(dòng)畫效果，突出關(guān)鍵步驟。技術(shù)支持作用體現(xiàn)在：1）動(dòng)態(tài)演示增強(qiáng)直觀性，學(xué)生能清晰觀察可行域變化與目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2）電子白板支持實(shí)時(shí)批注，教師能即時(shí)修改學(xué)生板書中的錯(cuò)誤；3）課后課件共享便于學(xué)生復(fù)習(xí)，配套微課視頻補(bǔ)充了圖解技巧的細(xì)節(jié)操作。技術(shù)使用未喧賓奪主，始終服務(wù)于數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成：本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確且適切，圍繞“理解二元一次不等式組表示的平面區(qū)域”、“掌握線性規(guī)劃的基本模型及求解方法”、“能應(yīng)用線性規(guī)劃解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題”三個(gè)維度展開，與2020版江蘇高考對(duì)“線性規(guī)劃思想”的要求高度契合。目標(biāo)設(shè)定兼顧知識(shí)、技能和素養(yǎng)，符合高三學(xué)生認(rèn)知水平和復(fù)習(xí)階段需求。從課堂表現(xiàn)和作業(yè)反饋看，目標(biāo)達(dá)成度較高。在區(qū)域表示環(huán)節(jié)，90%以上的學(xué)生能準(zhǔn)確繪制約束條件為“與”關(guān)系的可行域，并通過課堂提問和練習(xí)展示了對(duì)不等式符號(hào)與區(qū)域關(guān)系的理解。在線性規(guī)劃求解環(huán)節(jié)，80%的學(xué)生能獨(dú)立完成目標(biāo)函數(shù)平移求最優(yōu)解的過程，課堂互動(dòng)中多數(shù)學(xué)生能正確表述“可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解”等核心概念。實(shí)際應(yīng)用方面，例題分析后90%的學(xué)生能嘗試將文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，變式訓(xùn)練中70%的學(xué)生能正確處理約束條件為“或”關(guān)系的情況。目標(biāo)達(dá)成反映出學(xué)生不僅掌握了基礎(chǔ)方法，初步具備了將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于實(shí)際問題的能力。

2.知識(shí)掌握：知識(shí)點(diǎn)理解方面，學(xué)生對(duì)二元一次不等式組與平面區(qū)域?qū)?yīng)關(guān)系的理解較為深刻，通過教師動(dòng)態(tài)演示和自主繪制練習(xí)，95%的學(xué)生能準(zhǔn)確解釋“x+y≤3”對(duì)應(yīng)半平面及邊界線的確定方法。對(duì)線性規(guī)劃核心要素的掌握呈現(xiàn)層次性：基礎(chǔ)層次學(xué)生能機(jī)械套用“先畫域后平移”步驟，中層次學(xué)生能解釋每一步的數(shù)學(xué)原理，如用“不等式解集的交集”解釋可行域形成，高層次學(xué)生則能聯(lián)系線性代數(shù)中的“多邊形頂點(diǎn)法”進(jìn)行拓展思考。技能掌握上，圖解法的熟練度差異明顯：90%的學(xué)生能在5分鐘內(nèi)完成簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的圖解，但面對(duì)復(fù)雜約束條件（如含絕對(duì)值或非線性約束）時(shí)，錯(cuò)誤率上升至40%。典型錯(cuò)誤集中在：1）約束條件合并時(shí)忽略邊界虛實(shí)（如“≥”與“>”的區(qū)分）；2）目標(biāo)函數(shù)系數(shù)符號(hào)對(duì)平移方向的影響忽視；3）多邊形頂點(diǎn)法求最優(yōu)解時(shí)僅計(jì)算邊界交點(diǎn)而未驗(yàn)證是否在可行域內(nèi)。記憶情況方面，通過課堂快速問答測(cè)試，85%的學(xué)生能復(fù)述線性規(guī)劃“五步法”流程，但僅60%能準(zhǔn)確回憶“檢驗(yàn)最優(yōu)解是否在邊界點(diǎn)”這一關(guān)鍵細(xì)節(jié)。技能掌握的差異性表明需增加分層練習(xí)和錯(cuò)誤辨析環(huán)節(jié)。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀：課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。在情感態(tài)度方面，通過實(shí)際案例引入激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，多數(shù)學(xué)生表現(xiàn)出探究問題的熱情，尤其在解決工廠生產(chǎn)問題時(shí)，合作小組展現(xiàn)出競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)。動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)有效緩解了抽象概念帶來(lái)的畏難情緒，部分平時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)有抵觸情緒的學(xué)生也主動(dòng)提問，課堂提問正確率較以往提升20%。技能挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)設(shè)置合理，基礎(chǔ)題確保所有學(xué)生獲得成就感，提高題則滿足優(yōu)等生的求知欲，學(xué)生自我效能感普遍增強(qiáng)。在科學(xué)態(tài)度培養(yǎng)上，教師強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬺?yàn)證直覺判斷，如通過計(jì)算驗(yàn)證頂點(diǎn)是否為最優(yōu)解。價(jià)值觀層面，通過利潤(rùn)最大化問題滲透優(yōu)化意識(shí)，部分學(xué)生在討論中提出“資源均衡分配”的倫理思考，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的社會(huì)意義。小組合作中培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)精神，如一小組因爭(zhēng)論平移方向分歧而主動(dòng)分工驗(yàn)證，最終達(dá)成共識(shí)的過程，強(qiáng)化了求實(shí)精神。但觀察發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在面對(duì)困難時(shí)仍出現(xiàn)急躁情緒，教師雖及時(shí)引導(dǎo)但未系統(tǒng)滲透挫折教育，這可作為后續(xù)改進(jìn)方向。課堂中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化元素有限，如未關(guān)聯(lián)線性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)中的發(fā)展歷史，可豐富價(jià)值引導(dǎo)維度。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)：本節(jié)課作為高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的典型課例，展現(xiàn)了較高的教學(xué)設(shè)計(jì)水平和課堂實(shí)施效果。整體印象是目標(biāo)明確、環(huán)節(jié)緊湊、技術(shù)融合得當(dāng)，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為中心的教學(xué)理念。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教師對(duì)核心概念的突破方式創(chuàng)新有效。在引入環(huán)節(jié)，通過生活化案例與數(shù)學(xué)模型的自然銜接，成功激發(fā)了學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；在展開階段，動(dòng)態(tài)演示技術(shù)與傳統(tǒng)板書的結(jié)合，使抽象的可行域變化直觀化，突破了教學(xué)難點(diǎn)。特別是線性規(guī)劃五步法的總結(jié)，教師用思維導(dǎo)圖形式呈現(xiàn)，邏輯清晰，便于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系。此外，分層作業(yè)的設(shè)計(jì)兼顧了基礎(chǔ)鞏固與能力提升，體現(xiàn)了對(duì)個(gè)體差異的關(guān)注。課堂生成性資源的利用也比較充分，如學(xué)生在變式訓(xùn)練中提出的資源限制反向思考問題，教師能及時(shí)引導(dǎo)并拓展，使課堂更具深度。整體而言，本節(jié)課在知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)和素養(yǎng)滲透方面達(dá)到了較好平衡，是一節(jié)高質(zhì)量的高三復(fù)習(xí)課。

2.改進(jìn)建議：針對(duì)存在的問題，提出以下具體改進(jìn)措施。首先，在技能訓(xùn)練的針對(duì)性上需加強(qiáng)。當(dāng)前課堂練習(xí)對(duì)基礎(chǔ)方法的覆蓋較好，但對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)的專項(xiàng)突破不足。建議增加“易錯(cuò)題診所”環(huán)節(jié)，如課前發(fā)放包含典型錯(cuò)誤（如約束條件合并、目標(biāo)函數(shù)系數(shù)正負(fù)判斷）的辨析題，課中組織小組討論訂正，課后通過變式題強(qiáng)化。其次，小組合作學(xué)習(xí)的效能有待提升。部分小組討論流于形式，或出現(xiàn)“優(yōu)生主導(dǎo)、差生旁聽”現(xiàn)象。建議實(shí)施“異質(zhì)分組+同質(zhì)交流”策略，課前明確各小組任務(wù)分工（如繪圖員、分析員、記錄員），課中設(shè)置限時(shí)匯報(bào)機(jī)制，并設(shè)計(jì)階梯式問題引導(dǎo)所有成員參與。再次，技術(shù)使用的深度可進(jìn)一步挖掘。當(dāng)前多媒體主要用于演示，建議探索交互式功能，如用Geogebra的“追蹤”功能展示目標(biāo)函數(shù)平移軌跡，或設(shè)置參數(shù)調(diào)節(jié)觀察不同約束條件對(duì)可行域的影響，增強(qiáng)學(xué)生的探究體驗(yàn)。最后，數(shù)學(xué)文化的滲透可以更自然?？稍谝氕h(huán)節(jié)補(bǔ)充線性規(guī)劃發(fā)展史上的經(jīng)典案例（如食譜問題），或課后推薦相關(guān)閱讀材料，提升課程的人文厚度。

如何進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量？可從以下三方面著手：1）強(qiáng)化思想方法的滲透。建議每節(jié)課用3分鐘回顧核心思想，如本節(jié)課重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸”，通過對(duì)比解析法與圖解法的優(yōu)劣，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解。2）構(gòu)建“問題鏈”教學(xué)體系。以本節(jié)課例題為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)“基礎(chǔ)模型→變式拓展→綜合應(yīng)用”的習(xí)題鏈，如增加含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，引導(dǎo)學(xué)生思考動(dòng)點(diǎn)軌跡與最優(yōu)解的關(guān)系。3）建立“錯(cuò)誤資源庫(kù)”。收集本節(jié)課及后續(xù)練習(xí)中的典型錯(cuò)誤，定期分析共性，形成校本教研資源，指導(dǎo)教學(xué)改進(jìn)。同時(shí)，建議教師參加線性規(guī)劃專題培訓(xùn)，學(xué)習(xí)更多復(fù)雜模型的處理技巧。

3.后續(xù)跟蹤：建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)改進(jìn)情況。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長(zhǎng)：1）首次跟進(jìn)課聚焦“技能訓(xùn)練設(shè)計(jì)”，重點(diǎn)觀察教師是否落實(shí)易錯(cuò)點(diǎn)辨析環(huán)節(jié)，并提供“錯(cuò)題歸因分析表”作為觀察工具。2）第二次聽課側(cè)重“小組合作優(yōu)化”