初中數(shù)學(xué)分式專題練習(xí)集一、引言分式是初中代數(shù)的核心內(nèi)容之一，是連接整式與方程、函數(shù)的重要橋梁。它不僅考察學(xué)生對代數(shù)運算的掌握，更注重邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性（如分母不為0的條件）。本練習(xí)集圍繞分式的概念、性質(zhì)、運算、化簡求值四大核心板塊，通過"知識梳理+題型突破+綜合練習(xí)"的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固知識點，突破高頻考點，提升解題能力。二、知識梳理（必背基礎(chǔ)）1.分式的基本概念定義：形如$\dfrac{A}{B}$（$A$、$B$為整式，$B$中含字母且$B\neq0$）的式子叫做分式。有意義的條件：分母$B\neq0$（若分母為0，分式無意義）。值為0的條件：分子$A=0$且分母$B\neq0$（兩者缺一不可）。2.分式的基本性質(zhì)性質(zhì)：$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\cdotC}{B\cdotC}$，$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\divC}{B\divC}$（$C$為不為0的整式）。應(yīng)用：約分：約去分子、分母的公因式（系數(shù)取最大公約數(shù)，字母取最低次冪），化為最簡分式（分子分母無公因式）。通分：將幾個分式化為分母相同的分式（最簡公分母：各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)×所有字母的最高次冪）。3.分式的運算規(guī)則加減法：同分母：$\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{c}=\dfrac{a\pmb}{c}$；異分母：先通分，再按同分母計算，如$\dfrac{a}\pm\dfrac{c}skqsmam=\dfrac{ad\pmbc}{bd}$。乘除法：乘法：$\dfrac{a}\cdot\dfrac{c}wam42sk=\dfrac{ac}{bd}$；除法：$\dfrac{a}\div\dfrac{c}m2o2iu2=\dfrac{a}\cdot\dfracqwoagqm{c}=\dfrac{ad}{bc}$（轉(zhuǎn)化為乘法，乘倒數(shù)）。乘方：$\left(\dfrac{a}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$（$n$為正整數(shù)）。三、題型突破（高頻考點+例題解析+針對性練習(xí)）題型1：分式的概念與有意義條件例題1（判斷分式）：下列式子中，屬于分式的是（）A.$\dfrac{2}{x}$B.$\dfrac{x}{2}$C.$\dfrac{x+1}{3}$D.$\dfrac{\sqrt{x}}{2}$解析：分式的關(guān)鍵是"分母含字母"。A選項分母為$x$（字母），符合；B、C分母為常數(shù)，D分母不含字母（$\sqrt{x}$是被開方數(shù)），均不符合。答案：A例題2（求有意義的取值范圍）：分式$\dfrac{3x-2}{x^2-5x+6}$有意義的$x$取值范圍是________。解析：分母不為0，即$x^2-5x+6\neq0$，分解因式得$(x-2)(x-3)\neq0$，故$x\neq2$且$x\neq3$。答案：$x\neq2$且$x\neq3$針對性練習(xí)1：（1）下列式子中，是分式的有________（填序號）：①$\dfrac{1}{x}$②$\dfrac{x}{π}$③$\dfrac{x+1}{x-1}$④$\dfrac{2}{3}x$（2）分式$\dfrac{2}{|x|-3}$有意義的$x$取值范圍是________。題型2：分式的值為0的條件例題3：若分式$\dfrac{x^2-4}{x+2}$的值為0，則$x$的值為（）A.2B.-2C.±2D.0解析：值為0需滿足"分子=0且分母≠0"。分子$x^2-4=0$，解得$x=2$或$x=-2$；分母$x+2≠0$，故$x≠-2$。綜上，$x=2$。答案：A針對性練習(xí)2：（1）分式$\dfrac{x-1}{x^2+1}$的值為0，則$x=$________；（2）分式$\dfrac{|x|-3}{x-3}$的值為0，則$x=$________。題型3：分式的基本性質(zhì)應(yīng)用（約分、通分）例題4（約分）：約分$\dfrac{-12x^3y^2}{18x^2y^3}$。解析：先找公因式：系數(shù)最大公約數(shù)為6，字母部分$x^2y^2$，故公因式為$6x^2y^2$。分子分母同除以公因式得：$\dfrac{-12x^3y^2\div6x^2y^2}{18x^2y^3\div6x^2y^2}=\dfrac{-2x}{3y}$（注意符號保留在分子）。答案：$-\dfrac{2x}{3y}$例題5（通分）：通分$\dfrac{1}{x-1}$與$\dfrac{2}{x^2-1}$。解析：先分解因式，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，故最簡公分母為$(x-1)(x+1)$。$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1\cdot(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}$；$\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}$（已為最簡）。針對性練習(xí)3：（1）約分$\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}$；（2）通分$\dfrac{3}{2x}$與$\dfrac{5}{x-1}$。題型4：分式的運算（加減乘除）例題6（加法）：計算$\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x+2}$。解析：同分母分式相加，分母不變，分子相加：$\dfrac{1+3}{x+2}=\dfrac{4}{x+2}$。答案：$\dfrac{4}{x+2}$例題7（減法）：計算$\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}$。解析：同分母分式相減，分子相減：$\dfrac{x-1}{x-1}=1$（約分后得整數(shù)）。答案：1例題8（乘法）：計算$\dfrac{x^2-9}{x+3}\cdot\dfrac{x}{x-3}$。解析：先分解因式，$x^2-9=(x-3)(x+3)$，約分后計算：$\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}\cdot\dfrac{x}{x-3}=x$。答案：$x$例題9（除法）：計算$\dfrac{2x}{x+1}\div\dfrac{x}{x+1}$。解析：轉(zhuǎn)化為乘法，乘倒數(shù)：$\dfrac{2x}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x}=2$（約分后得整數(shù)）。答案：2針對性練習(xí)4：（1）計算$\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{1}{3-x}$（提示：$3-x=-(x-3)$）；（2）計算$\dfrac{x^2}{x-2}\cdot\dfrac{x-2}{x}$；（3）計算$\dfrac{4}{x^2-1}\div\dfrac{2}{x-1}$。題型5：分式化簡求值例題10：先化簡，再求值：$\left(1-\dfrac{1}{x+2}\right)\div\dfrac{x+1}{x^2-4}$，其中$x=3$。解析：第一步：化簡括號內(nèi)的式子：$1=\dfrac{x+2}{x+2}$，故$1-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{x+2-1}{x+2}=\dfrac{x+1}{x+2}$；第二步：處理除法，轉(zhuǎn)化為乘法：$\dfrac{x+1}{x+2}\cdot\dfrac{x^2-4}{x+1}$（$x^2-4=(x-2)(x+2)$）；第三步：約分：$\dfrac{x+1}{x+2}\cdot\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+1}=x-2$；第四步：代入$x=3$，得$3-2=1$。答案：1注意：代入的$x$值必須使原分式有意義（即分母≠0），如本題$x≠-2,-1,2$。針對性練習(xí)5：先化簡，再求值：$\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x-1}$，其中$x=0$。四、綜合練習(xí)（混合題型+能力提升）1.下列分式中，最簡分式是（）A.$\dfrac{x^2-1}{x-1}$B.$\dfrac{x+1}{x^2+1}$C.$\dfrac{x^2-2x}{x}$D.$\dfrac{2x}{4x^2}$2.分式$\dfrac{2x-6}{x^2-9}$有意義的$x$取值范圍是________。3.若分式$\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}$的值為0，則$x=$________。4.約分：$\dfrac{-6a^2b}{8ab^2}=$________。5.通分：$\dfrac{1}{2x^2y}$與$\dfrac{3}{xy^2}=$________。6.計算：$\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{x+1}=$________。7.計算：$\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x-2}=$________。8.計算：$\dfrac{x^2-4}{x}\cdot\dfrac{x}{x+2}=$________。9.計算：$\dfrac{3x}{x-1}\div\dfrac{3x}{x^2-1}=$________。10.先化簡，再求值：$\left(\dfrac{x}{x-1}-1\right)\div\dfrac{1}{x^2-1}$，其中$x=2$。五、答案與解析針對性練習(xí)答案練習(xí)1：（1）①③（②分母為$π$（常數(shù)），④分母為常數(shù)）；（2）$x\neq±3$（分母$|x|-3≠0$）。練習(xí)2：（1）$x=1$（分子$x-1=0$，分母$x^2+1>0$恒成立）；（2）$x=-3$（分子$|x|-3=0$得$x=±3$，分母$x-3≠0$故$x=-3$）。練習(xí)3：（1）$\dfrac{x-2}{x+2}$（分子$(x-2)^2$，分母$(x-2)(x+2)$，約去$x-2$）；（2）$\dfrac{3(x-1)}{2x(x-1)}$與$\dfrac{10x}{2x(x-1)}$（最簡公分母$2x(x-1)$）。練習(xí)4：（1）$\dfrac{1}{x-3}$（$\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{1}{x-3}$）；（2）$x$（約去$x-2$和$x$）；（3）$\dfrac{2}{x+1}$（$\dfrac{4}{(x-1)(x+1)}\cdot\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{2}{x+1}$）。練習(xí)5：化簡得1（分子$(x-1)(x+1)$，分母$(x+1)^2$，乘$\dfrac{x+1}{x-1}$后約去所有因式得1），代入$x=0$得1。綜合練習(xí)答案1.B（A可約分為$x+1$，C可約分為$x-2$，D可約分為$\dfrac{1}{2x}$）；2.$x\neq±3$（分母$x^2-9≠0$）；3.$x=3$（分子$(x-2)(x-3)=0$得$x=2$或$3$，分母$x-2≠0$故$x=3$）；4.$-\dfrac{3a}{4b}$（公因式$2ab$，約后得$-\dfrac{3a}{4b}$）；5.$\dfrac{y}{2x^2y^2}$與$\dfrac{6x}{2x^2y^2}$（最簡公分母$2x^2y^2$）；6.$\dfrac{5}{x+1}$（同分母相加）；7.1（$\dfrac{x-2}{x-2}=1$）；8.$x-2$（分子$(x-2)(x+2)$，約去$x+2$）；9.$x+1$（$\dfrac{3x}{x-1}\cdot\dfrac{(x-1)(x+1)}{3x}=x+1$）；10.化簡得$x+1$（$\left(\d