車輛路徑問題概述引例2例1：如果確定了某個揀貨人員需要揀選圖示5個位置的物品，該人員如何安排自己的揀貨路徑實現(xiàn)總行駛距離最短？TSP引例3例2：有一名員工需要負(fù)責(zé)將6個訂單的物品揀出并放到進(jìn)出貨臺I/O，揀貨箱最大容量為15，如何安排員工的揀貨工作，實現(xiàn)員工使用最少時間完成六個訂單的揀貨？

倉庫布局和物品存儲狀態(tài)

訂單信息

訂單1訂單2訂單3訂單4訂單5訂單6I/O

1

2

3

物品1070000

物品2000300

5

4

物品3800005

6

7

物品4200049

物品5013010

10

9

8

物品6049100

11

12

物品7000700

物品8008100

13

物品9000002

物品10704000

物品11090070

物品12400000

物品13020009引例4CUSTNoXCOORD.YCOORD.DEMANDREADYTIMEDUETIMESERVICETIME0405000123601456810912967902457030825870903426610651469044268107277829054265101567906406920621702907406620170225908386820255324909387010534605901035661035741090113569104485059012258520652721901322753030929094658210285336909562803019623990966080109515690976085305616229098587520308490995580107438209010055852064772690例3：0為配送中心，現(xiàn)有25輛最大容量為200的車輛，如何安排車輛配送路線，實現(xiàn)總配送里程最短？[1]不考慮時間窗的約束；[2]考慮時間窗的約束。目錄51車輛路徑問題VRP簡介2VRP分類3VRP算例庫和示例4線性規(guī)劃模型與CPLEX軟件1.車輛路徑問題VRP簡介6VRP定義車輛路徑問題VehicleRoutingProblem(VRP)的一般定義為：給定一組運(yùn)輸任務(wù)和一組運(yùn)輸車輛，確定哪輛車以哪種順序處理哪種請求，使得運(yùn)輸車隊能用最低成本執(zhí)行完所有運(yùn)輸請求的一類問題。

1.車輛路徑問題VRP簡介7VRP發(fā)展歷史1959年，Dantzig和Ramser以油庫向加油站運(yùn)輸汽油為案例，首次提出了VRP的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型和求解方法。George.B.Dantzig,J.H.Ramser.Thetruckdispatchingproblem[J].ManagementScience1959,6(1):80-91GeorgeDantzig

wasanAmericanmathematicalscientistwhoworkedinoperationsresearch,computerscience,economicsandstatistics.Heisbestknownforinventingthesimplexalgorithmforlinearprogramming.1964年，Clarke和Wright提出了一種有效的貪心啟發(fā)式算法來近似求解VRP【節(jié)約里程法】。G.Clarke,J.W.Wright,(1964)SchedulingofVehiclesfromaCentralDepottoaNumberofDeliveryPoints.OperationsResearch12(4):568-581繼這兩篇開創(chuàng)性論文之后，OperationsResearch和TransportationScience期刊發(fā)表了大量研究不同VRP的論文，這些論文針對不同的VRP提出了數(shù)學(xué)模型和相應(yīng)的精確、啟發(fā)式算法，到后來，有一系列的期刊都會留有固定篇幅刊登VRP的最新研究和應(yīng)用。

GeorgeBernardDantzig1914-20051.車輛路徑問題VRP簡介8VRP研究的重要意義VRP與實際應(yīng)用具有很高的相關(guān)性：生活垃圾收集、工業(yè)固廢收集、街道清掃、校車路徑規(guī)劃、門到門快遞服務(wù)、銷售員路徑規(guī)劃、共享單車調(diào)配、配送中心揀選路徑規(guī)劃等VRP是一類很基礎(chǔ)的問題，許多組合優(yōu)化問題都能轉(zhuǎn)化為車輛路徑問題進(jìn)行研究，例如集裝箱翻箱問題VRP的研究成果（開發(fā)的新模型、新算法）可以應(yīng)用于其他組合優(yōu)化問題的求解。GeorgeBernardDantzig1914-2005第一章車輛路徑問題概述91車輛路徑問題VRP簡介2VRP分類3VRP算例庫和示例4線性規(guī)劃模型與CPLEX軟件2.VRP分類（1）容量約束車輛路徑問題（CVRP）容量約束車輛路徑問題（CapacitatedVRP）是最基本的VRP問題，該問題具有如下特征：車輛裝載的貨物體積或重量不能超過其最大承載量；CVRP中所有客戶所需的物品量已知;同一顧客的需求只能由一輛車進(jìn)行送達(dá)，不能拆分多次送達(dá)；所有車輛的容量或載重量等特征都是一樣的，而且都停放在一個中心車場。優(yōu)化目標(biāo)是：獲得能夠為全部顧客運(yùn)送貨物的一種車輛路徑方法，且該方案具有最小的運(yùn)作總成本。102.VRP分類（2）總里程約束車輛路徑問題（DCVRP）每輛車行駛總里程或行駛總時間具有約束時的車輛路徑問題稱之為距離約束車輛路徑問題（Distance-ConstrainedVRP，DCVRP）。一輛車的行駛總里程不能超過該車輛的總行駛里程約束或總行駛時間約束。112.VRP分類（3）時間窗約束車輛路徑問題（VRPTW）在基本CVRP基礎(chǔ)上每個客戶的服務(wù)時間存在一個時間窗[ai,bi]，要求車輛必須在這個時間窗口給客戶i進(jìn)行服務(wù)，該類問題為時間窗約束車輛路徑問題（VRPwithTimeWindows，VRPTW）。如果允許車輛到達(dá)時間比bi遲，則該問題稱為軟時間窗VRP（VRPSTW），但是延遲服務(wù)會產(chǎn)生一個懲罰成本；如果不允許車輛到達(dá)時間比bi遲，則該問題稱為硬時間窗VRP（VRPHTW）。在VRPTW中，如果車輛早于ai到達(dá)客戶i時，車輛需要等到ai才能開始服務(wù)。122.VRP分類（4）回程取貨車輛路徑問題（VRPB）在該問題中，客戶對車輛的需求分為兩類：一為需要車輛從車場運(yùn)送貨物至客戶，二為需要車輛將客戶處的其他貨物收集后運(yùn)送至車場。在車輛運(yùn)輸過程中，首先需要依次將各個客戶所需的貨物運(yùn)送給客戶，然后在回程時將各個客戶處待收集的貨物收集起來運(yùn)送到車場，在送貨或回程收貨時都需要考慮車輛容積的限制。該類問題稱之為回程取貨車輛路徑問題（VRPwithBackhaul）。132.VRP分類（5）同步集送車輛路徑問題（VRPPD）同步集送車輛路徑問題（VRPwithPick-upandDelivery，VRPPD）同VRPB有些類似，即客戶不僅車輛從車場運(yùn)送所需貨物，而且還需要車輛將其其他貨物收集后返回車場。但VRPPD到達(dá)一個客戶處會同時送貨和收貨，不需要先將全部客戶的貨物送達(dá)，再在返程才進(jìn)行收貨。多種形式：形式1：收集上來的貨物不在客戶之間交換，而是都運(yùn)回車場，這種情況在有回收物流的企業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)，如啤酒、純凈水企業(yè)，需要送貨，同時回收空瓶；形式2：在某些客戶收集的貨物可以送到其他客戶;形式3：整個集送過程只有一類物品或有多類物品，例如共享單車需要在多個站點(diǎn)調(diào)配、連鎖銷售網(wǎng)點(diǎn)間貨物的調(diào)配等。142.VRP分類（6）周期性車輛路徑問題（PVRP）周期性車輛路徑問題（PeriodicVRP，PVRP）是對CVRP的擴(kuò)展，CVRP研究的是對車輛每天的運(yùn)作安排，而PVRP是對車輛一個周期內(nèi)多日的安排。在一個周期內(nèi)，每個客戶在滿足需求的前提下，最少被服務(wù)一次，也可以是多次。此類問題多出現(xiàn)在食品、能源等行業(yè)中，在牛奶收購，成品油配送等方面。（7）需求可拆分車輛路徑問題（SDVRP）需求可拆分車輛路徑問題（SplitDeliveryVRP，SDVRP）中每個客戶的需求可以拆分，然后由兩輛及以上車輛來進(jìn)行配送。152.VRP分類（8）多車場車輛路徑問題（MDVRP）多車場車輛路徑問題（MultipleDepotVRP，MDVRP）在大型生產(chǎn)或流通企業(yè)中普遍存在，多個倉庫或配送中心分布在不同的區(qū)域，為了滿足多個生產(chǎn)工廠或銷售終端的物料需求，需要安排倉庫向生產(chǎn)工廠或銷售終端運(yùn)送物料的車輛計劃。MDVRP求解比單倉的車輛路徑問題更復(fù)雜，一般假設(shè)從某個倉庫出發(fā)的車輛仍需返回此倉庫，在求解時，大多算法都是按照某種規(guī)則，將客戶分配給某個倉庫，然后按照單一倉庫車輛路徑問題進(jìn)行求解。162.VRP分類（9）多車型車輛路徑問題（HFVRP）多車型車輛路徑問題（HeterogeneousFleetVRP，HFVRP）中車場擁有異質(zhì)性的車隊，車輛之間或載重量、或速度、或運(yùn)行成本存在著差異，具體優(yōu)化目標(biāo)是選擇合適類型車輛并安排其服務(wù)顧客的路徑，從而達(dá)到某些決策目標(biāo)最優(yōu)。（10）非對稱網(wǎng)絡(luò)車輛路徑問題（AVRP）非對稱網(wǎng)絡(luò)車輛路徑問題（(AsymmetricNetworkVRP，AVRP）在現(xiàn)實生活中比較常見，如單行道或禁止左轉(zhuǎn)等交通標(biāo)識的存在，使得從甲地到乙地，和從乙地到甲地的距離(或時間)并不相同。由于非對稱網(wǎng)絡(luò)的這一特性，使得許多在VRP中成功應(yīng)用的算法不能直接用于非對稱網(wǎng)絡(luò)的求解。目前許多AVRP求解算法都是基于非對稱TSP問題的算法擴(kuò)展而來的。172.VRP分類（11）動態(tài)車輛路徑問題（DVRP）動態(tài)車輛路徑問題（DynamicVRP，DVRP）更符合實際生活中的情況，它指的是：假設(shè)在優(yōu)化調(diào)度指令執(zhí)行前，調(diào)度中心不一定知道所有與優(yōu)化有關(guān)的調(diào)度信息，這些信息可能隨時變化，在調(diào)度過程中，出現(xiàn)新的信息或者已有信息的改變，需要及時更新調(diào)度結(jié)果。自Psaraftis在上世紀(jì)80年代首先提出動態(tài)車輛調(diào)度的概念后，隨著定位導(dǎo)航技術(shù)、數(shù)據(jù)通信技術(shù)、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)與信息處理技術(shù)的快速發(fā)展，動態(tài)車輛調(diào)度越來越受到人們的關(guān)注。從廣義的上說，各種隨機(jī)的、模糊的、以及動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的車輛路徑問題都屬于動態(tài)車輛路徑問題。182.VRP分類（12）開放車輛路徑問題（OVRP）在眾多車輛路徑問題中，都有一個前提假設(shè)：車輛從配送中心出發(fā)，服務(wù)完后再回到配送中心。但在現(xiàn)實生活中，很多情況并非如此。很多物流公司從節(jié)約成本考慮，所用車輛并不全是自有車輛，一部分是社會車輛，通過與司機(jī)簽訂合同，來完成物流公司的配送業(yè)務(wù)。一方面可以節(jié)約企業(yè)成本，另一方面可以整合社會資源。在這種情況下，車輛不需要返回配送中心。類似的情況還出現(xiàn)在公司、學(xué)校的班車服務(wù)中。這類問題稱為開放式車輛路徑問題(OpenVRP，OVRP)。它與基本車輛路徑問題(VRP)的主要區(qū)別是：不要求車輛完成取送任務(wù)后返回原倉庫，因此，車輛的行駛路線是開放式的，而不是閉合的。開放式車輛路徑問題的應(yīng)用領(lǐng)域除了前面提到的，在鐵路、航空線路中的應(yīng)用更為廣泛，因為列車、飛機(jī)等的運(yùn)行線路基本上都是開放式的。在國外，F(xiàn)edEx在遞送郵包，報刊公司給家庭送報都會遇到類似情況。開放式車輛路徑問題在上個世紀(jì)尚未引起人們廣泛關(guān)注，自2000年以后，一些學(xué)者開始對此問題進(jìn)行深入研究。192.VRP分類（13）綠色車輛路徑問題（GVRP）近年來隨著國際社會對可持續(xù)發(fā)展和低碳發(fā)展的要求,綠色車輛路徑優(yōu)化問題(GVRP)研究場景和研究成果日漸增多。GVRP的研究主要集中在降低燃料消耗、減少CO2的排放等方面,利用建立的車輛耗油計算模型計算車輛的耗油量,然后安排合理的運(yùn)輸路線,從而達(dá)到綠色運(yùn)輸?shù)男Ч?；或者考慮新能源車輛需要到固定站點(diǎn)充電條件下的車輛路徑優(yōu)化問題。（14）兩級車輛路徑問題（TE-VRP）有些物資配送過程中首先由一級配送網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行大批量的配送，然后再由二級配送網(wǎng)絡(luò)將物資配送給終端客戶，為了獲得一級和二級配送網(wǎng)絡(luò)的總體運(yùn)營績效最優(yōu)，則需要綜合考慮兩級配送的車輛路徑問題。近年來無人機(jī)配送實踐逐漸增加，也就出現(xiàn)了先由卡車將物資和無人機(jī)配送到特定的地點(diǎn)，然后再由無人機(jī)從卡車上將物資配送給終端客戶這樣的兩級車輛路徑問題（Two-EchelonVRP，TE-VRP）。202.VRP分類21第一章車輛路徑問題概述221車輛路徑問題VRP簡介2VRP分類3VRP算例庫和示例4線性規(guī)劃模型與CPLEX軟件3.VRP算例庫和示例（1）CVRP算例http://comopt.ifi.uni-heidelberg.de/software/TSPLIB95/vrp/（2）各類VRP標(biāo)準(zhǔn)算例https:///wanghuixuechun/article/details/122428084?app_version=5.14.3&code=app_1562916241&csdn_share_tail=%7B%22type%22%3A%22blog%22%2C%22rType%22%3A%22article%22%2C%22rId%22%3A%22122428084%22%2C%22source%22%3A%22qq_62873088%22%7D&uLinkId=usr1mkqgl919blen&utm_source=app（3）VRP倉庫http:///

可以通過搜索和下載大多數(shù)VRP問題的算例數(shù)據(jù)。（4）各類VRP問題標(biāo)準(zhǔn)算例資源匯總https:///meiyoushui_/article/details/110367916?utm_source=app&app_version=5.14.3&code=app_1562916241&uLinkId=usr1mkqgl919blen233.VRP算例庫和示例（1）CVRP算例http://comopt.ifi.uni-heidelberg.de/software/TSPLIB95/vrp/243.VRP算例庫和示例（3）VRP倉庫http:///

可以通過搜索和下載大多數(shù)VRP問題的算例數(shù)據(jù)。253.VRP算例庫和示例示例-例1容量約束CVRP算例E-n13-k426NAME:eil13COMMENT:(Eilonetal,Minnooftrucks:4,Bestvalue:290)CAPACITY:6000EDGE_WEIGHT_SECTION9142123222532363842505251222212431353741495171716232630363644461021302737433137391928253541293129910162220283071113172527101610182066141612122081010DEMAND_SECTION123456789101112130120017001500140017001400120019001800160017001100節(jié)點(diǎn)1234567891011121310914212322253236384250522905122221243135374149513145071716232630363644464211270102130273743313739523221710019282535412931296222116211909101622202830725242330289071113172527832312627251070101610182093635303735161110066141610383736434122131660121220114241363129201710612081012504944373128251814128010135251463929302720162010100試安排車輛路徑，實現(xiàn)運(yùn)輸總里程最短若車輛容量無限制，則該問題為TSP問題，試安排行走路徑，使得行走總里程最短。3.VRP算例庫和示例示例-例2容量約束CVRP算例E-n30-k4車輛最大容量為4500，迄今最優(yōu)解為56927i123456789101112131415qi03003100125100200150150450300100950125150150i161718192021222324252627282930qi55015010015040030015001003005008003001001501000E-n30-k4各節(jié)點(diǎn)需求量i123456789101112131415xi162218218201214224210104126119129126125116126yi354382358370371370382354338340349347346355335i161718192021222324252627282930xi125119115153175180159188152215212188207184207yi355357341351363360331357349389394393406410392E-n30-k4各節(jié)點(diǎn)平面坐標(biāo)3.VRP算例庫和示例示例-例2容量約束CVRP算例E-n30-k4車輛最大容量為4500，迄今最優(yōu)解為569注：問題中各個節(jié)點(diǎn)之間直線距離及其在平面坐標(biāo)上的布局可以通過https://www.aiplanet.top/logisticOpt/index.html進(jìn)行計算和繪制，以幫助思考問題求解的思路。283.VRP算例庫和示例示例-例3單目標(biāo)和多目標(biāo)時間窗VRPTW截取Solomon算例C1中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，平面布局如圖所示，其中車輛容量為200，速度為1，單位為算例中的長度和時間比值。29iXiYiqiaibisi040500012360145681091296790245703082587090342661065146904426810727782905426510156790640692062170290740662017022590838682025532490938701053460590103566103574109011356910448505901225852065272190132275303092901422851056762090152080403844299016208540475528901718752099148901815752017925490191580102783459020305010107390213052209149659022285220812883902328551073277790242550106514490252552401692249026255510622701902723521026131690282355205465939029205010358405903020551044950490問題1：如果客戶的時間窗為硬時間窗，如何安排車輛及路徑，實現(xiàn)車輛總運(yùn)作時間最短。車輛總運(yùn)作時間為全部車輛離開車場到返回車場這個時段之和。問題2：如果客戶的時間窗為硬時間窗，如何安排車輛及路徑，實現(xiàn)車輛總行駛里程最短，此時不用考慮車輛在外的時間，而僅考慮行駛里程或行駛時間。問題3：如果客戶的時間窗為硬時間窗，如何安排車輛及路徑，實現(xiàn)車輛總行駛里程和總運(yùn)作時間最短。該問題為雙目標(biāo)優(yōu)化問題。問題4：如果客戶的時間窗為軟時間窗，如何安排車輛及路徑，實現(xiàn)車輛總行駛里程、總運(yùn)作時間和總拖后時間最短。此時該問題為三目標(biāo)優(yōu)化問題。在該問題中不允許車輛在客戶處提前開工，即車輛到達(dá)某個客戶，如果時間窗沒有開啟，則等待；但該問題允許拖后，即允許車輛到達(dá)某個客戶時間遲于bi，但將到達(dá)時間與bi之差記為拖后時間。該問題為三目標(biāo)優(yōu)化問題。3.VRP算例庫和示例示例-例4回程取貨VRPB以Queirogaetal.2019的算例X-n101-50-k13中前19個送貨客戶數(shù)據(jù)和前20個回程取貨客戶數(shù)據(jù)為例，生成一個簡單的VRPB問題?？蛻舻钠矫孀鴺?biāo)和需求量數(shù)據(jù)如表1.4，其中類型為-1表示車場、0表示送貨客戶、1表示回程取貨客戶，另外車輛的容量為206。30節(jié)點(diǎn)1234567891011121314151617181920類型-10000000000000000000x365146792658461299812643615258616475425406656202318579458575y689180551027053122890630422999574736436946721587354871需求量03851737058541986298258646271797748162節(jié)點(diǎn)5253545556575859606162636465666768697071類型11111111111111111111x86683310626033268572848770271763592763563465830370725434675y970912913107456133724974404127949723565402611684101352979需求量80879767725085855678938653546100522896試安排車輛的去程和回程路徑，以實現(xiàn)最小總里程服務(wù)全部客戶的需求。3.VRP算例庫和示例示例-例5同步集送VRPPD使用Dominik

Goeke的算例lc103中的部分?jǐn)?shù)據(jù)作為車輛需要同時收集和運(yùn)送一種物品的VRP問題示例數(shù)據(jù)，表中節(jié)點(diǎn)需求量為正數(shù)表示該節(jié)點(diǎn)有物品需要取出，負(fù)數(shù)表示有物品要送入，為了使得車輛容量能夠進(jìn)行約束，將原來算例中的車輛容量由200改為60，車輛空車駛出車場1并將多余的物品帶回車場。試規(guī)劃車輛路徑使總行駛里程最短。31節(jié)點(diǎn)1234567891011121314151617181920x4045454242424040383835352522222020181515y5068706668656966687066698575858085757580需求1020-10-2010-10-3030-4040-202020-20節(jié)點(diǎn)2122232425262728293031323334353637383940x303028282525252323202010108855200y5052525550525552555055354040453545404045需求量10-2020-40-10401010-1010-102030-30-10101020-20-203.VRP算例庫和示例示例-例6考慮車輛充電的同步集送EVRPPD使用Dominik

Goeke的算例lc103中的部分?jǐn)?shù)據(jù)作為車輛需要同時收集和運(yùn)送一種物品的VRP問題示例數(shù)據(jù)，表中類型d表示車場、f表示充電站、cp表示有物品需要取出的節(jié)點(diǎn)、cd表示需要送入物品的節(jié)點(diǎn)，為了使得車輛容量能夠進(jìn)行約束，將原來算例中的車輛容量由200改為60，車輛電池充滿后能行駛79.69單位距離，車輛空車駛出車場1并將多余的物品帶回車場。試規(guī)劃車輛路徑使總行駛里程最短。32節(jié)點(diǎn)12345678910111213141516171819202122類型dfffffffcpcdcpcpcpcdcpcdcdcpcdcdcpcdx40407390556932394545424242404038383535252222y50505255798980966870666865696668706669857585需求量0000000010-10101010-1020-10-2010-10-3030-40節(jié)點(diǎn)23242526272829303132333435363738394041424344類型cpcdcpcpcdcpcdcpcdcdcpcpcpcdcpcdcpcpcdcdcpcpx2020181515303028282525252323202010108855y80857575805052525550525552555055354040453545需求量40-202020-2010-2020-40-10401010-1010-102030-30-1010103.VRP算例庫和示例示例-例7多車場MDVRP使用Cordeau的算例p01中的部分?jǐn)?shù)據(jù)作為多車場VRP問題示例數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)列于表1.7中。表中需求量為0的三個節(jié)點(diǎn)為車場，車輛容量為80，試規(guī)劃車輛路徑使總行駛里程最短。33節(jié)點(diǎn)12345678910111213141516171819202122x3749522040211731525142315123652271713576242y52496426304763623321413225421641233313584257需求量7301692115192311519292321101534192888節(jié)點(diǎn)23242526272829303132333435363738394041424344x16872730435858373846616263324559510203050y5752386848674827694610336369223515617204030需求量161028715146191112232617691514727000討論題課堂作業(yè)：選前述示例中的兩個算例，對每個算例自行給出一個可行解，運(yùn)算解的目標(biāo)函數(shù)值，總結(jié)求解思路和該思路的特點(diǎn)。課后作業(yè)：找出對應(yīng)算例迄今最優(yōu)解，對比自己給出的解同迄今最優(yōu)解之間的差距3435如何求解？數(shù)學(xué)規(guī)劃模型—精確求解啟發(fā)式算法—近似求解線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃01規(guī)劃……Cw算法掃描算法遺傳算法……CPLEX、Lingo、Gurobi…MATLAB、Java、Python…第一章車輛路徑問題概述361車輛路徑問題VRP簡介2VRP分類3VRP算例庫和示例4線性規(guī)劃模型與CPLEX軟件4.1線性規(guī)劃模型簡介在生產(chǎn)和經(jīng)營等管理工作中，需要經(jīng)常進(jìn)行計劃或規(guī)劃。雖然各行各業(yè)計劃和規(guī)劃的內(nèi)容千差萬別，但其共同點(diǎn)均可以歸納為：在現(xiàn)有各項資源條件的限制下，如何確定方案措施，使預(yù)期目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。例1：美佳公司計劃制造I、II兩種家電產(chǎn)品。已知各制造一件時分別占用設(shè)備A、B的臺時、調(diào)試時間及A、B設(shè)備和調(diào)試工序每天可用于這兩種家電的能力、各售出一件產(chǎn)品的獲利情況如表1所示。問該公司應(yīng)制造A、B兩種家電各多少件，使得獲取的利潤為最大。4.1線性規(guī)劃模型簡介例2：捷運(yùn)公司擬在下一年度的1~4月的四個月內(nèi)需要租用倉庫堆放物資。已知各月份所需倉庫面積數(shù)列于表2。倉庫租借費(fèi)用隨合同期而不同，期限越長折扣越大，具體數(shù)據(jù)見表3。租借倉庫的合同每月初都可辦理，每份合同具體規(guī)定租用面積數(shù)和期限。因此，該廠可根據(jù)需要，在任何一個月初辦理租借合同。每次辦理時可簽一份合同，也可簽若干份租用面積和租借期限不同的合同，試確定該公司簽訂租借合同的最優(yōu)決策，目的是使所付租借費(fèi)用最小。384.1線性規(guī)劃模型簡介例1：美佳公司計劃制造I、II兩種家電產(chǎn)品。已知各制造一件時分別占用設(shè)備A、B的臺時、調(diào)試時間及A、B設(shè)備和調(diào)試工序每天可用于這兩種家電的能力、各售出一件產(chǎn)品的獲利情況如表1所示。問該公司應(yīng)制造A、B兩種家電各多少件，使得獲取的利潤為最大?？梢杂脭?shù)學(xué)語言進(jìn)行描述構(gòu)建線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型4.1線性規(guī)劃模型簡介例2：捷運(yùn)公司擬在下一年度的1~4月的四個月內(nèi)需要租用倉庫堆放物資。已知各月份所需倉庫面積數(shù)列于表2。倉庫租借費(fèi)用隨合同期而不同，期限越長折扣越大，具體數(shù)據(jù)見表3。租借倉庫的合同每月初都可辦理，每份合同具體規(guī)定租用面積數(shù)和期限。因此，該廠可根據(jù)需要，在任何一個月初辦理租借合同。每次辦理時可簽一份合同，也可簽若干份租用面積和租借期限不同的合同，試確定該公司簽訂租借合同的最優(yōu)決策，目的是使所付租借費(fèi)用最小。40數(shù)學(xué)模型怎么建？4.2運(yùn)籌優(yōu)化軟件常見的商用運(yùn)籌求解器：IBMCPLEX:CPLEX是一種高度優(yōu)化的求解器，用于線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃、二次規(guī)劃等問題。它被廣泛用于供應(yīng)鏈管理和生產(chǎn)計劃等領(lǐng)域。

Gurobi:Gurobi是另一個用于線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃的強(qiáng)大求解器。它具有高性能和用戶友好的界面，適用于各種應(yīng)用領(lǐng)域。

MicrosoftSolverFoundation:這是微軟的一個優(yōu)化框架，可以用于解決各種優(yōu)化問題，包括線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃等。

FICOXpress:Xpress是一款多用途求解器，支持線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃、二次規(guī)劃、非線性規(guī)劃等各種問題。

LINDO/LINGOAPI:LINDO是一個用于線性和非線性規(guī)劃的求解器，它還提供了LINDOAPI，可以集成到自定義應(yīng)用程序中。

MOSEK:MOSEK是一個用于線性、二次和混合整數(shù)規(guī)劃的求解器，重點(diǎn)是高性能和可擴(kuò)展性。

AMPL:AMPL是一個建模語言，可以與多個求解器集成，包括上述提到的一些。它允許用戶使用自己的模型來解決優(yōu)化問題。414.2運(yùn)籌優(yōu)化軟件常見的開源運(yùn)籌學(xué)求解器：PuLP:PuLP是一個Python庫，用于線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃。它提供了一個易于使用的建模語言，可以與多個商業(yè)和開源求解器集成。

GLPK(GNULinearProgrammingKit):GLPK是一個用于線性和整數(shù)規(guī)劃的免費(fèi)求解器，是GNU項目的一部分。它提供了一個命令行界面和多種編程語言的接口。

COIN-OR:COIN-OR是一個包含多個優(yōu)化工具和庫的開源項目。其中包括Cbc（整數(shù)規(guī)劃求解器）、Clp（線性規(guī)劃求解器）和Ipopt（非線性規(guī)劃求解器）等。

SCIP(SolvingConstraintIntegerPrograms):SCIP是一個用于整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃的高性能求解器。它提供了一個靈活的插件架構(gòu)，可以用于解決各種組合優(yōu)化問題。

SymPy:SymPy是一個Python庫，用于符號計算，包括代數(shù)方程和微積分問題。雖然它不是專門用于數(shù)學(xué)規(guī)劃的求解器，但它可以用于分析和符號求解優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。

OptaPlanner:OptaPlanner是一個Java庫，用于解決排程和規(guī)劃問題。它廣泛用于任務(wù)分配、員工排班、資源分配等領(lǐng)域。42434.3CPLEX簡介CPLEX是IBM公司開發(fā)的一款商業(yè)版數(shù)學(xué)優(yōu)化求解器，也被稱為CPLEXOptimizationStudio。CPLEX專門用于求解各種數(shù)學(xué)優(yōu)化問題，如線性規(guī)劃(LP)、混合整數(shù)規(guī)劃(MIP)、二次規(guī)劃(QP)等。CPLEX以其高效求解能力、靈活建模功能和廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，成為優(yōu)化領(lǐng)域的重要工具之一。CPLEX最初是由RobertBixby博士在1987年共同創(chuàng)立的CPLEXOptimization,Inc.公司開發(fā)的運(yùn)籌優(yōu)化軟件，1997年被ILOG公司收購，2009年IBM公司收購了ILOG公司，因此CPLEX又稱為IBMILOGCPLEX。444.3CPLEX簡介CPLEX版本：CP