§2.6二次函數(shù)與冪函數(shù)01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.通過具體實例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等).課標(biāo)要求第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時精練目錄落實主干知識02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)

叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象y＝xα(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點

和

，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點

，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時，y＝xα為

；當(dāng)α為偶數(shù)時，y＝xα為

.(1，1)(0，0)(1，1)奇函數(shù)偶函數(shù)2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝

.頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標(biāo)為

.零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的

.ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)零點函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)

定義域___值域___________________________對稱軸x＝______R

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)頂點坐標(biāo)______________奇偶性當(dāng)b＝0時是

函數(shù)，當(dāng)b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性偶減增增減

√×××

√

√

4.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，－3]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是

.

(－∞，4]1.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)當(dāng)α<0時，冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減.在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于＋∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.(2)任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點，或不相交，任何冪函數(shù)的圖象都不過第四象限.(3)任何兩個冪函數(shù)的圖象最多有三個公共點.除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一點都不是兩個冪函數(shù)的公共點.微點提醒

返回微點提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

√題型一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

(2)已知冪函數(shù)f(x)＝(3m2＋m－1)xm為偶函數(shù)，且a＝f(－2)，b＝f(e)，c＝f(1)，則A.b<c<a

B.c<b<aC.a<b<c

D.c<a<b√

(1)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域.根據(jù)α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.(2)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.思維升華

√由題意可知，m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，當(dāng)m＝－1時，f(x)＝x－3，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，成立；當(dāng)m＝2時，f(x)＝x3，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不成立，所以m＝－1.

√√

例2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式.二次函數(shù)的解析式題型二

求二次函數(shù)解析式的三個策略(1)已知三個點的坐標(biāo)，宜選用一般式.(2)已知頂點坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點式.(3)已知圖象與x軸的兩交點的坐標(biāo)，宜選用零點式.思維升華跟蹤訓(xùn)練2已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4，3)，在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)＝.x2－4x＋3因為f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱.又y＝f(x)的圖象在x軸上截得的線段長為2，所以f(x)＝0的兩根為2－1＝1和2＋1＝3，所以二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個交點的坐標(biāo)為(1，0)和(3，0)，因此設(shè)f(x)＝a(x－1)(x－3).又點(4，3)在y＝f(x)的圖象上，所以3a＝3，則a＝1，故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.例3

(多選)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1與g(x)＝xa在同一直角坐標(biāo)系中的圖象不可能為命題點1二次函數(shù)的圖象題型三√√二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

微拓展一元二次方程根的分布

√√√

例4已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3－a，a∈R.(1)若y＝f(x)在區(qū)間[－1，3]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；命題點2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

(2)若當(dāng)0≤x≤2時，函數(shù)y＝f(x)的最小值是關(guān)于a的函數(shù)m(a)，求m(a)的表達(dá)式.

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)(多選)(2025·贛州模擬)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是A.b＝－2a

B.a＋b＋c<0C.a＋c<b

D.abc<0√√√

√

返回課時精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案123456789101112題號1234567答案DACDADABC－1(答案不唯一)題號81112答案[2，4]a1<a2<a3對一對答案123456789101112(1)由冪函數(shù)的定義可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3.因為f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以m＋2<0，即m<－2，則m＝－3.9.答案123456789101112(2)設(shè)g(x)＝x3，則g(x)是增函數(shù).由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，即(2a－1)3<(a＋3)3，則2a－1<a＋3，解得a<4，即a的取值范圍為(－∞，4).9.答案123456789101112(1)由題意，函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝f(2)，可得函數(shù)f(x)的對稱軸為直線x＝1，又由最小值為1，可設(shè)f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，又f(0)＝3，即a(0－1)2＋1＝3，解得a＝2，所以函數(shù)的解析式為f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.10.答案123456789101112(2)因為當(dāng)x∈[－1，1]時，f(x)>2x＋2m＋1恒成立，即當(dāng)x∈[－1，1]時，2x2－4x＋3>2x＋2m＋1恒成立，即當(dāng)x∈[－1，1]時，m<x2－3x＋1恒成立，設(shè)函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1，1]，則g(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減，所以g(x)在區(qū)間[－1，1]上的最小值為g(1)＝－1，所以m<－1，故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1).10.

√123456789101112知識過關(guān)答案123456789101112答案

123456789101112答案

√

3.已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是R上的偶函數(shù)，且函數(shù)g(x)＝f(x)－(2a－6)x在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，4)

B.(－∞，4]C.[6，＋∞) D.(－∞，4]∪[6，＋∞)√123456789101112答案123456789101112答案因為冪函數(shù)f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是R上的偶函數(shù)，則m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4，當(dāng)m＝1時，f(x)＝x－1，該函數(shù)是定義域為{x|x≠0}的奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)m＝4時，f(x)＝x2，該函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，符合題意.所以f(x)＝x2，則g(x)＝x2－(2a－6)x，其對稱軸方程為x＝a－3，因為g(x)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，則a－3≥3，解得a≥6.4.已知m>1，點(1－m，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函數(shù)y＝x2－2x的圖象上，則A.y1<y2<y3

B.y3<y2<y1C.y1＝y(tǒng)3<y2

D.y2<y1＝y(tǒng)3√123456789101112答案123456789101112二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，其圖象的對稱軸方程為x＝1，而(1－m)＋(1＋m)＝2，所以f(1－m)＝f(1＋m)，即y1＝y(tǒng)3，當(dāng)x>1時，f(x)單調(diào)遞增，因為m>1，所以m＋1>m>1，所以f(m＋1)>f(m)，即y2<y3，綜上，y2<y1＝y(tǒng)3.答案二、多項選擇題5.冪函數(shù)f(x)＝(2m2＋m－2)xm－3，m∈N*，則下列結(jié)論正確的有A.m＝1B.函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減C.f(－2)<f(3)D.函數(shù)f(x)的值域為(0，＋∞)√123456789101112答案√123456789101112

答案123456789101112

答案6.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，其對稱軸是直線x＝－1，且過點(－3，0)，下列說法正確的是A.abc<0B.2a－b＝0C.3a＋c＝0D.若(－5，y1)，(3，y2)是拋物線上兩點，則y1>y2√123456789101112答案√√123456789101112答案

由拋物線對稱性得該函數(shù)圖象必過點(1，0)，可得a＋b＋c＝0，結(jié)合b＝2a，可得3a＋c＝0，故C正確；易知點(－5，y1)，(3，y2)到對稱軸距離相等，故y1＝y(tǒng)2，故D錯誤.三、填空題7.(2025·海口模擬)已知函數(shù)f(x)＝xα(α∈Z)，寫出一個同時滿足下列性質(zhì)①②的α的值：

.

①當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)<0；②f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.123456789101112答案－1(答案不唯一)由①，當(dāng)x∈(－∞，0)時，xα<0，則α為奇數(shù)，由②，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α<0，所以α可以取任意負(fù)奇數(shù)，不妨取α＝－1.123456789101112答案8.函數(shù)f(x)＝x2－4x＋2在區(qū)間[a，b]上的值域為[－2，2]，則b－a的取值范圍是_________.123456789101112答案[2，4]123456789101112答案解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的值域為[－2，2].若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此時b－a取得最小值2；若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上不單調(diào)，且當(dāng)b－a取最大值時，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值為4，所以b－a的取值范圍是[2，4].四、解答題9.已知冪函數(shù)f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.(1)求m的值；123456789101112答案由冪函數(shù)的定義可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3.因為f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以m＋2<0，即m<－2，則m＝－3.(2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范圍.123456789101112答案設(shè)g(x)＝x3，則g(x)是增函數(shù).由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，即(2a－1)3<(a＋3)3，則2a－1<a＋3，解得a<4，即a的取值范圍為(－∞，4).10.已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；123456789101112答案由題意，函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝f(2)，可得函數(shù)