高中數(shù)學(xué)人教B版必修四3.1.1《兩角和與差的余弦》聽(tīng)評(píng)課記錄1一.基本信息

聽(tīng)課日期：2023年10月26日

聽(tīng)課時(shí)間：上午第二節(jié)課

授課教師姓名：李明

學(xué)科/課程名稱(chēng)：高中數(shù)學(xué)

班級(jí)/年級(jí)：高一（3）班

教學(xué)主題或章節(jié)：人教B版必修四3.1.1《兩角和與差的余弦》

聽(tīng)課人姓名：王靜

聽(tīng)課人職務(wù)：高中數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)

聽(tīng)課目的：教學(xué)研究

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，教學(xué)目標(biāo)明確，圍繞“兩角和與差的余弦公式”的推導(dǎo)和應(yīng)用展開(kāi)。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，包括人教B版教材、幾何畫(huà)板軟件、電子白板等。教材重點(diǎn)標(biāo)注了公式推導(dǎo)的步驟，教具準(zhǔn)備了一個(gè)角度測(cè)量器，用于演示兩角和的幾何意義。多媒體資源中包含了公式的動(dòng)畫(huà)演示和例題的動(dòng)態(tài)解析，為后續(xù)教學(xué)提供了直觀支持。

2.教學(xué)過(guò)程

開(kāi)始階段：教師通過(guò)復(fù)習(xí)特殊角的余弦值和余弦定理，以“如何計(jì)算α+β的余弦值”為問(wèn)題情境導(dǎo)入新課，通過(guò)提問(wèn)“cos(30°+45°)是否等于cos30°+cos45°”引發(fā)學(xué)生思考，效果較好，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。

展開(kāi)階段：教師采用講授與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法。首先，利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示α+β的余弦值，通過(guò)旋轉(zhuǎn)角尺的演示，直觀展示cos(α+β)的幾何意義，隨后逐步推導(dǎo)公式。在推導(dǎo)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“如何將角α和角β轉(zhuǎn)化為同角相加或相減的形式”，并鼓勵(lì)學(xué)生自主嘗試，部分學(xué)生通過(guò)小組討論得出了輔助角的方法。例題教學(xué)中，教師通過(guò)電子白板動(dòng)態(tài)解析例題的解題步驟，并強(qiáng)調(diào)公式的應(yīng)用技巧，如“符號(hào)判斷”和“角的范圍限制”，加深了學(xué)生對(duì)公式的理解。

結(jié)束階段：教師通過(guò)總結(jié)公式推導(dǎo)過(guò)程和典型例題，歸納出“兩角和與差的余弦公式”的核心要點(diǎn)，并布置作業(yè)，包括基礎(chǔ)題（公式記憶和簡(jiǎn)單計(jì)算）和拓展題（公式變形和實(shí)際應(yīng)用），分層設(shè)計(jì)合理。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較高，教師通過(guò)提問(wèn)、追問(wèn)和鼓勵(lì)性語(yǔ)言與學(xué)生互動(dòng)。例如，在推導(dǎo)公式時(shí)，教師提問(wèn)“cos(α+β)是否等于cosα+cosβ”，有學(xué)生回答“不成立”，教師追問(wèn)“為什么”，引導(dǎo)學(xué)生思考“余弦值的幾何意義”，促進(jìn)了學(xué)生的深度思考。學(xué)生參與度較高，部分學(xué)生主動(dòng)舉手發(fā)言，小組討論時(shí)也能積極表達(dá)觀點(diǎn)。反應(yīng)情況方面，學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)演示和例題解析反應(yīng)明顯，課堂氣氛活躍。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，對(duì)公式的推導(dǎo)過(guò)程充滿好奇，部分學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)工具輔助理解公式。專(zhuān)注度方面，大部分學(xué)生能跟隨教師思路，但少數(shù)學(xué)生在例題講解時(shí)注意力有所分散，可能因?yàn)楣接洃涁?fù)擔(dān)較重。合作學(xué)習(xí)情況良好，小組討論時(shí)學(xué)生能分工合作，共同推導(dǎo)公式，并互相解釋概念。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守課堂規(guī)則，教師通過(guò)眼神和手勢(shì)進(jìn)行非語(yǔ)言管理，有效維持了課堂秩序。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入環(huán)節(jié)5分鐘，推導(dǎo)環(huán)節(jié)15分鐘，例題講解10分鐘，總結(jié)作業(yè)布置5分鐘，整體節(jié)奏平穩(wěn)。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用得當(dāng)，幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示直觀展示了公式的幾何意義，電子白板的多媒體資源豐富了教學(xué)內(nèi)容，技術(shù)對(duì)教學(xué)效果的支持作用顯著。部分學(xué)生利用電子白板記錄筆記，提高了學(xué)習(xí)效率。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確且適切，圍繞“理解兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能初步應(yīng)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算”展開(kāi)。從課堂觀察和隨堂練習(xí)來(lái)看，大部分學(xué)生達(dá)到了預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)。在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示和教師的逐步引導(dǎo)，學(xué)生能夠理解公式背后的幾何意義，部分學(xué)生甚至能自主提出“α-β”公式的推導(dǎo)思路，表明學(xué)生對(duì)公式的生成過(guò)程有了較好的把握。在例題應(yīng)用環(huán)節(jié)，85%以上的學(xué)生能夠獨(dú)立完成基礎(chǔ)計(jì)算題，說(shuō)明公式應(yīng)用的目標(biāo)基本達(dá)成。然而，仍有少數(shù)學(xué)生在符號(hào)判斷和角的范圍限制方面存在困難，需要在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)針對(duì)性指導(dǎo)?？傮w而言，教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度較高，符合學(xué)生的認(rèn)知水平。

2.知識(shí)掌握

學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶情況良好。通過(guò)課堂提問(wèn)和小組討論，可以看出學(xué)生能夠清晰地闡述公式的推導(dǎo)步驟，并解釋公式中各個(gè)字母的含義。例如，在討論“cos(α+β)為什么等于cosαcosβ-sinαsinβ”時(shí)，有學(xué)生結(jié)合幾何畫(huà)板演示解釋了“余弦值等于鄰邊比斜邊”，幫助其他同學(xué)理解了公式的幾何基礎(chǔ)。在技能掌握方面，學(xué)生的計(jì)算能力有所提升，尤其是在例題講解后，通過(guò)教師強(qiáng)調(diào)“先化簡(jiǎn)再計(jì)算”的步驟，學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤率明顯降低。部分學(xué)生能夠靈活運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算角度測(cè)量中的余弦值，體現(xiàn)了知識(shí)的遷移能力。但仍有部分學(xué)生在復(fù)雜角的變形和公式選擇方面存在不足，例如在解決“cos(π-α)”時(shí)，部分學(xué)生直接套用公式而不是利用誘導(dǎo)公式簡(jiǎn)化，說(shuō)明學(xué)生對(duì)公式的靈活應(yīng)用能力仍需加強(qiáng)。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

本節(jié)課在情感態(tài)度價(jià)值觀方面促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。首先，教師通過(guò)動(dòng)態(tài)演示和問(wèn)題情境激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，部分學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中表現(xiàn)出強(qiáng)烈的探究欲望，主動(dòng)提出改進(jìn)方案，體現(xiàn)了積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。其次，小組合作環(huán)節(jié)培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)，學(xué)生在討論中學(xué)會(huì)傾聽(tīng)和表達(dá)，部分內(nèi)向的學(xué)生在同伴鼓勵(lì)下也參與了討論，增強(qiáng)了自信心。此外，教師通過(guò)分層作業(yè)設(shè)計(jì)，讓不同水平的學(xué)生都能獲得成就感，例如基礎(chǔ)題幫助后進(jìn)生鞏固公式，拓展題挑戰(zhàn)優(yōu)等生的思維深度，體現(xiàn)了因材施教的教學(xué)理念。在課堂氛圍方面，教師通過(guò)鼓勵(lì)性語(yǔ)言和及時(shí)反饋，營(yíng)造了輕松愉快的學(xué)習(xí)環(huán)境，部分學(xué)生在回答問(wèn)題時(shí)能夠主動(dòng)修正錯(cuò)誤，展現(xiàn)了良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。然而，仍有少數(shù)學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出焦慮情緒，說(shuō)明教師需要進(jìn)一步關(guān)注學(xué)生的心理狀態(tài)，通過(guò)更多的小組互助和個(gè)別輔導(dǎo)幫助學(xué)生克服困難，培養(yǎng)堅(jiān)韌的學(xué)習(xí)品質(zhì)?？傮w而言，本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展方面取得了積極效果，但仍有提升空間。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象良好，是一節(jié)設(shè)計(jì)科學(xué)、實(shí)施有效的數(shù)學(xué)課。授課教師李明老師展現(xiàn)了扎實(shí)的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)和豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，能夠準(zhǔn)確把握教材重難點(diǎn)，并采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法進(jìn)行突破。最突出的優(yōu)點(diǎn)是教學(xué)設(shè)計(jì)注重直觀性和探究性，通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示將抽象的公式轉(zhuǎn)化為可視化的幾何意義，有效降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。同時(shí)，教師善于創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，通過(guò)啟發(fā)式提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考，激發(fā)了學(xué)生的求知欲和主體性。課堂互動(dòng)充分，小組討論和師生交流環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)合理，學(xué)生參與度高，課堂氣氛活躍。此外，教師的教學(xué)技術(shù)運(yùn)用嫻熟，多媒體資源與教學(xué)目標(biāo)結(jié)合緊密，有效輔助了知識(shí)點(diǎn)的理解和技能的訓(xùn)練。不足之處在于，對(duì)于部分學(xué)生的個(gè)體差異關(guān)注不夠細(xì)致，尤其是在公式靈活應(yīng)用和符號(hào)判斷方面存在困難的學(xué)生，需要更多針對(duì)性的指導(dǎo)?？傮w而言，本節(jié)課達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，體現(xiàn)了以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，為后續(xù)教學(xué)提供了有益的參考。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)存在的問(wèn)題，提出以下改進(jìn)措施以進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量：

（1）加強(qiáng)個(gè)別輔導(dǎo)與分層教學(xué)。針對(duì)學(xué)生在公式應(yīng)用和符號(hào)判斷方面存在的問(wèn)題，教師可以課后利用自習(xí)時(shí)間進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，或者設(shè)計(jì)不同難度的練習(xí)題，讓學(xué)生根據(jù)自身情況選擇完成。例如，對(duì)于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，可以重點(diǎn)練習(xí)“角的范圍限制”的判斷，而優(yōu)等生則可以挑戰(zhàn)更復(fù)雜的公式變形題。

（2）豐富公式推導(dǎo)的驗(yàn)證方法。雖然幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示能夠直觀展示公式的幾何意義，但為了讓學(xué)生更全面地理解公式，教師可以補(bǔ)充三角函數(shù)單位圓的驗(yàn)證方法，或者引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積推導(dǎo)公式，增加學(xué)生的認(rèn)知維度。例如，在推導(dǎo)cos(α-β)時(shí)，可以引入向量OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)，通過(guò)向量數(shù)量積計(jì)算cos<0xE2><0x82><0x98>OB，從而推導(dǎo)出公式，幫助學(xué)生建立多角度理解公式的意識(shí)。

（3）強(qiáng)化公式應(yīng)用的典型題訓(xùn)練。在例題教學(xué)中，教師可以增加不同類(lèi)型的典型題，如“已知三角函數(shù)值求角”、“三角形中的余弦值計(jì)算”等，并強(qiáng)調(diào)解題步驟的規(guī)范性和符號(hào)判斷的準(zhǔn)確性。例如，在解決“cos(α+β)=1/2,α,β∈(0,π/2)”求sin(α+β)時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生先確定角的范圍再進(jìn)行計(jì)算，避免漏解。

（4）利用技術(shù)手段進(jìn)行個(gè)性化學(xué)習(xí)?？梢钥紤]使用在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，如GeoGebra或Kahoot，讓學(xué)生通過(guò)互動(dòng)練習(xí)鞏固公式，并實(shí)時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況。教師可以根據(jù)平臺(tái)數(shù)據(jù)了解每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度和薄弱環(huán)節(jié)，從而進(jìn)行更有針對(duì)性的教學(xué)。例如，可以設(shè)計(jì)一個(gè)“兩角和與差的余弦公式”的在線闖關(guān)游戲，讓學(xué)生在趣味中鞏固知識(shí)。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽(tīng)課跟進(jìn)改進(jìn)情況。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長(zhǎng)：

（1）安排二次聽(tīng)課。在一個(gè)月后安排二次聽(tīng)課，重點(diǎn)關(guān)注教師是否根據(jù)建議改進(jìn)了教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施策略，特別是針對(duì)個(gè)別差異的輔導(dǎo)方法和公式應(yīng)用的訓(xùn)練設(shè)計(jì)。聽(tīng)課結(jié)束后，將組織教研組進(jìn)行評(píng)課，共同探討改進(jìn)效果和進(jìn)一步優(yōu)化的方向。

（2）提供教學(xué)資源支持。為教師提供更多關(guān)于三角函數(shù)教學(xué)的優(yōu)秀案例和教學(xué)設(shè)計(jì)，包括分層教學(xué)的具體實(shí)施方法、公式推導(dǎo)的多種驗(yàn)證途徑等，豐富教師的教學(xué)資源庫(kù)。例如，可以推薦一些國(guó)內(nèi)外關(guān)于三角函數(shù)教學(xué)的期刊文章和在線課程，幫助教師拓展教學(xué)思路。

（3）開(kāi)展專(zhuān)題研討活動(dòng)。組織關(guān)于“三角函數(shù)公式教學(xué)”的專(zhuān)題研討活動(dòng)，邀請(qǐng)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師分享教學(xué)心得，共同探討如何更好地突破教學(xué)難點(diǎn)。例如，可以圍繞“如何提高學(xué)生公式應(yīng)用的能力”、“如何利用技術(shù)手段輔助三角函數(shù)教學(xué)”等主題展開(kāi)討論，形成可操作的教學(xué)策略。

（4）