《橢圓》方程典型例題20例

典型例題一

例1桶圓的一個頂點為4(2,0),其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程.

分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置.

解：(1)當A(2,0)為長軸端點時，a=2,b=l,

橢圓的標準方程為：—+^=1:

41

(2)當4(2,0)為短軸端點時，b=2,a=4f

橢圓的標準方程為：—+^-=1;

416

說明；橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂京的坐標和對秒軸的位置，是不

能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況.

典型例題二

例2一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率.

解：，/2c=—x2x-3c2=a2,

c3

??c―—?

V33

說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求。，求c,再求

比.二是列含。和c的齊次方程，再化含e的方程，解方程即可.

典型例題三

例3已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與直線x+y-1=0交于4、B兩點、,

M為A3中點，OM的斜率為0.25,橢圓的短軸長為2,求橢圓的方程.

2

解：由題意，設橢圓方程為馬+)，2=1,

a~

x+y-1=0

由《『，得(1+〃)2尸-2,1x=0,

—+/=1

Ur

.M+X?1+/,1

=加=>%二宙’

/.—+y2=1為所求.

4

說明：(1)此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法：(2)直線與曲線的綜合問

題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題.

典型例題四

例4橢圓上+2=1上不同三點A(x，yj,C(0％)與焦點網(wǎng)4,0)的

259V5J

距離成等差數(shù)列.

(1)求證2+々=8;

(2)若線段AC的垂直平分線與x軸的交點為7,求直線B7的斜率h

證明：(1)由橢圓方程知，=5,〃=3,

由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：」竺1=￡

cra

------x\

c

/.|/4F|=a-ex[=5——%.

4

同理|。q=5—《々.

\AF\+\CF\=^BF\.且=

.a4}(4)_18

即X]+工2=8.

(2)因為線段A。的中點為(4,上空

,所以它的垂直平分線方程為

又???點丁在x軸上，設其坐標為(知0),代入上式，得

-4=切一」

又???點A（Xi，y,）fM/，％）都在橢圓上，

???才二*25一用

￡=黑25-蜀

工y^-yl=--&+%M-電）?

乙2X

將此式代入①，并利用玉+々=8的結(jié)論得

x-4/=--3-6

025

2—os

典型例題五

例5已知橢圓工+2=1,耳、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點M,使M

43

到左準線/的距離|MN是|M用與可用的等比中項？若存在，則求出點仞的坐

標；若不存在，請說明理由.

解：假設M存在，設yj,由已知條

件得

a=2,b=V3,/.c=1,e=—.

2

??,左準線/的方程是x=-4,

??.|MM=4+X.

又由焦半徑公式知：

\MF}\=a-exi=2-^x],

\ME^=a+exi=2-^xt.

??,園兇2=環(huán)卜阿周，

、（1V］、

?，?（X|+4）~=2——xt24--Xj.

2八2）

整理得5x：+32*+48=0.

①

.5+貨=1,②

xi+x2=1,(3)

y+)，2=l.④

①一②得力反一才―y；—0.⑤

將③、④代入⑤得工二五=-！，即直線的斜率為一L.

x{-x222

所求直線方程為2x+4y-3=0.

說明：

(1)有關(guān)弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平

行弦的中點就跡；過定點的弦中點軌跡.

(2)解法二是“點差法”，解決有關(guān)弦中點問題的題較方便，要點是巧代

斜率.

(3)有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應用”及“點差

法”.有關(guān)二次曲線問題也適用.

典型例題七

例7求適合條件的橢圓的標準方程.

(1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(2,-6：1;

(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯(lián)機互相垂直，且焦距為6.

22

分析：當方程有兩種形式時，應分別求解，如(1)題中由與+與二1求出

a~b~

2222

/=148,〃=37,在得方程工+匯=1后，不能依此寫出另一方程工+±=1.

1483714837

解：(D設橢圓的標準方程為W+M=i或N+W=i.

a-b-a~b-

由已知a=?.①

又過點(2,-6),因此有

3察d或空+Q.②

由①、②，得。2=[48,從一37或/一52,Zr=13.故所求的方程為

r2v222

---F--=1或——d---=1.

148375213

（2）設方程為二+二=1.由已知，c=3,b=c=3,所以。2=18.故所

a~b-

、x2v2

求方程為1---=1.

189

說明：根據(jù)條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數(shù)”.關(guān)鍵在于

2222

焦點的位置是否確定，若不能確定，應設方程；■+馬=1或4+[=1.

a2b2a2b2

典型例題八

22

例8橢圓上+上=1的右焦點為尸，過點4（1,百），點M在桶圓上，當

AM+NM月為最小值時，求點M的坐標.

分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率e=g,把21M月轉(zhuǎn)化為M到右準線的距離,

從而得最小值.一般也求均可用此法.

解：由已知：a=4,c=2.所以e=—,右準線

2

/：x=8.

過A作4Q_L/,垂足為Q,交桶圓于M,故

=顯然|AA/|+21M月的最小值為|AQ,

即M為所求點，因此》％=有，且用在桶圓上.故

xM=273.所以M（2A/3,V3）.

說明：本題關(guān)鍵在于未知式MM+ZM月中的“2”的處理.事實上，如圖，

e=g,即月是M到右準線的距離的一半，即圖中的MQ,問題轉(zhuǎn)化為求橢圓

上一點M,使M到A的距離與到右準線距離之和取最小值.

典型例題九

2

例9求橢圓與+），2=1上的點到直線不一）,一6二0的距離的最小值.

分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求

出距離的最小值.

X一百c°s'設橢圓上的點的坐標為(當cosasin

解：橢圓的參數(shù)方程為

y=sin8.

則點到直線的距離為

2sin--0

|V3cos^-sin^+613>,1

V2

當sing—O=—1時，d最小值=2日.

IJ/

說明：當直接設點的坐標不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程.

典型例題十

例10設橢圓的中心是坐標原點，長軸在X軸上，離心率e=§,已知點［。，怖)

到這個橢圓上的點的最遠距離是不，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點尸的

距離等于近的點的坐標.

分析：本題考查楙圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求

d的最大值時，要注意討論人的取值范圍.此題可以用橢圓的標準方程，也可用

橢圓的參數(shù)方程，要善于應用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問

題,從而加強等價轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏將推理能力.

解法一：設所求橢圓的直角坐標方程是二+二二1,其中。>〃>0待定.

a~b'

4,c2a1-b1b2

由仁2=r=———=1一一?可得

a~a~a~

—=yj\-e2=J1--=—,即a=2/7.

av42

設橢圓上的點(x,y)到點P的距離是d,則

,22(3丫/y2\9

d~=x~+y——=a~l-^-r\+y~2-3y+—

I2jl從r-4

=4/_3y2_3y+\=_jy+g)+4Z?+3

其中—b<y<b.

如果〃<g,則當y=—Z?時，d2（從而d）有最大值.

由題設得⑻=,+!）,由此得八—與8cg矛盾.

因此必有成立，于是當）,二一工時，d2（從而d）有最大值.

22

由題設得（/1=4/+3,可得b=l,a=2.

22

???所求橢圓方程是工+工=1.

41

由y=—g及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點—點（后—3）到

點p（o,口的距離是有.

I2）

Y-4cos9

解法二：根據(jù)題設條件，可取橢圓的參數(shù)方程是《",，其中

y=Z?sine

待定，0〈，工2〃，。為參數(shù).

,2c?2-b2作丫49

由/===——a—=11——可得

a~a~）

=即a=M.

a2

設橢圓上的點（心），）到點卜勺距離為〃，則

2

d2=x2=tz2cos2^4-^/?sin^--3|

2

o

=4/r-3/?2sin26>-3/?sin6>+-

4

=-3Z?2fsin<9+—l+4/+3

I2b）

如果^b<-則當sin8=—l時，dz（從而4）有最大值.

2b2f

由題設得即1=卜+|）1,由此得/?=yfl——>—,與b<,\矛盾,因此必有

222

Li成立.

2b

于是當sin0=-1-時/（從而d）有最大值.

2b

2

由題設知（J7）=4〃+3,：.b=\fa=2.

戈=2cos。

?,?所求橢圓的參數(shù)方程是

y=sinO

由sin8=—g,cos9=±當，可得橢圓上的是（一百，一g）,（百，一3）.

典型例題十一

例11設x,yGR,2x2+3y2=6x,求/+）'+2x的最大值和最小值.

分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程21+3產(chǎn)=6工與橢圓方程的

結(jié)構(gòu)一致.設f+y2+2x=〃z,顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢

圓及圓的位置關(guān)系求得最值.

解：由2x2+3y2=6x,得

可見它表示一個橢圓，其中心在（1,0）點，焦點在x軸上，且過（0,0）點

和（3,0）點.

設x2++2x=m,則

（x+1]+y2=,〃+1

它表示一個圓，其圓心為（一1,0）半徑為"丁+1（〃7〉-1）.

在同一坐標系中作出橢圓及圓，如圖所示.觀察圖形可知，當圓過（0,0）

點時，半徑最小，即+此時m=0;當圓過（3,0）點時，半徑最大,

即Jw+I=4,???〃z=15.

.,?/+),2+2工的最小值為0,最大值為15.

典型例題十二

22

例12已知橢圓C：二十二一1(<>〃>0),A、3是其艮軸的兩個端點.

a~b~

(1)過一個焦點尸作垂直于長軸的弦產(chǎn)產(chǎn)，求證：不論〃、〃如何變化，

N4P8wl200.

(2)如果橢圓上存在一個點Q,使乙408=120°,求C的離心率e的取值范

圍.

分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應從NAP3和NAQ8的正切值出發(fā)做出

估計，因此要從點的坐標、斜率入手.本題的第(2)問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么

去列出離心率e滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：|乂《〃，根據(jù)

NAQ8=12(T得到？2?=_&,一5J代入，消去口用。、屋

x-a"b-'

。表示y,以便利用8列出不等式.這里要求思路清楚，計算準確，一氣呵

成.

解：(1)設尸(C,O),4-67,0),夙〃,0).

于是心。二而萬'2而刁.

???NAPB是AP到BP的色.

護__b_2

../ADDa(c-a)aCc+a)

..tanNAPB=-----------P-------=

.b4

:.tanZAPZ?<-2

故tanNAPBw—百NA￥120°.

⑵設Q(x,y),則攵二上，kQl)=^~.

x+ax-a

由于對稱性，不妨設y>0,于是NAQ8是QA到。3的角.

y_____2L

???tanZAQB=立〃_g+〃???

X-+/-CZ-

1+-2------2

x-a

ZAQB=\20\

整理得V3(x2-by2-a2)+lay=0

Cl

?xOR

2

er

??.731y2+lay=0

2abz

???"（），yF

:卓Jb

岳2

lab<V3c2,4a2(ci2-c2)<3c2

/.4C4+4?2C2-4?4>0,3?+4^2-4>0

???/23或/v—2(舍)，???巫We<l.

23

典型例題十三

例13已知橢圓工+二=1的離心率6=,，求k的值.

2+892

分析：分兩種情況進行討論.

2

解：當桶圓的焦點在入軸上時，/二4+8,b=9f得。2二女一1.由e='，

2

得2=4.

2

當橢圓的焦點在），軸上時，a=9f左+，得c?=l-k.

由e=L得-~~-=-,即氏=-2.

2944

?二滿足條件的攵=4或%=—2.

4

說明：本題易出現(xiàn)漏解.排除錯誤的辦法是：因為Z+8與9的大小關(guān)系不定,

所以橢圓的焦點可能在x軸上，也可能在），軸上.故必須進行討論.

典型例題十四

22

例14已知橢圓￡+4=1上一點P到右焦點尸2的距離為方S>1）,求P到左

準線的距離.

分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解.

解法一：由~^y+4=l,得。=2/7,C=A/3Z?,e=—.

4b2b22

由橢圓定義，|產(chǎn)制+|尸司=勿=4匕，得

\PF\=Ab-\PF^=Ab-b=^b.

由橢圓第二定義，凹=c,4為P到左準線的距離，

4

.?.4=四=2瘋;，

e

即P到左準線的距離為2同.

解法二：?.?"=?,乩為尸到右準線的距離，e=-=—,

d2a2

.?“二㈣二遞人

e3

又橢圓兩準線的距離為2?《二九3。.

c3

???P到左準線的距離為逆方-述8=2軌.

33

說明：運用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準線的同側(cè)性.否則就會產(chǎn)生

誤解.

桶圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特彳狂，解題時要靈活選擇，運用自

如.一般地，如遇到動點到兩個定點的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點到

定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義.

典型例題十五

X=4cos?,右,7T

例15設橢圓｛（a為參數(shù)）上一點尸與x軸正向所成角

y-2V3sin?.3

求P點坐標.

分析；利用參數(shù)。與NPOx之間的關(guān)系求解.

解：設P（4cosa,24sina）,由P與x軸正向所成角為三，

3

.re2jJsina

??tan—=-----------即tantz=2.

34cosa

而sina>0,cosa>0,由此得到cosa=，^,sina=^^~

???2點坐標為（竽，粵￡）.

典型例題十六

例16設P5,%）是離心率為e的橢圓「+馬=1（〃>?>（））上的一點，尸到左

a"b"

焦點尺和右焦點F2的距離分別為“和心，求證：f\=a+ex0,r2=a-ex0.

分析：本題考查橢圓的兩個定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點到焦點

的距離轉(zhuǎn)化為點到相應準線距離.

由橢圓第二定義，國二6,

回

，1=〃+%),由橢圓第一定義，r2=2a-1\=a-ex(t.

說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑(或焦點弦)

的有關(guān)問題時，有著廣泛的應用.請寫出橢圓焦點在)，軸上的焦半徑公式.

典型例題十七

22

例17已知橢圓二+]~=1內(nèi)有一點41」)，耳、鳥分別是橢圓的左、右焦點，

點P是橢圓上一點.

(1)求|曰+忸制的最大值、最小值及對應的點P坐標；

(2)求歸^+引產(chǎn)圖的最小值及對應的點P的坐標.

分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是

目標函數(shù)當，即代數(shù)方法.二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法.本題若按先建立目標函

數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標，運用數(shù)形結(jié)合，就

能簡捷求解.

解:

⑴如上圖，2a=6,乃(2,0),[八引=拒，設。是橢圓上任一點，由

|P制+|P聞=2以=6,\P^>\PF2\-\AF2\,

???|Pd+|P6|N|P6|+|尸閭一M閭=2a—|A閭=6-五,等號僅當|P4|=|P閱一|A閭

時成立，此時尸、A、工共線.

由|曰工歸閭+|4國，???|曰+歸￡區(qū)|尸同+|尸周+恒閭=北+仁閱=6+收,

等號僅當|%=|尸月|+|.4用時成立，此時P、4、鳥共線.

建立A、居的直線方程x+y—2=0,解方程組［得兩交點

5x~+9y~=45

嗚-那M+初豕嗚+得亞怖譚揚?

綜上所述，P點與《重合時，|尸4+儼用取最小值6-后，P點與八重合時,

1Pd+歸閭?cè)∽畲笾?+a.

(2)如下圖，設P是橢圓上任一點，作尸。垂直橢圓右準線，。為垂足，由

a=3,c=2,Ae=-.由橢圓第二定義知四=e=2,A|pd=-|P/；|,

3\P^3??21-1

3

???|。.+—歸周二|P4|+|pq,要使其和最小需有A、P、Q共線，即求A到右準

9

線距離.右準線方程為x=N.

2

7

???A到右準線距離為一.此時尸點縱坐標與A點縱坐標相同為1,代入橢圓

2

得滿足條件的點P坐標(竽J).

說明：求|P4+，歸園的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后,過A向相應準線作

垂線段.巧用焦點半徑歸閭與點準距歸?；セ墙鉀Q有關(guān)問題的重要手段.

典型例題十八

工2V2

例18(1)寫出橢圓L+2_=I的參數(shù)方程;

94

(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積.

分析：木題考查桶圓的參數(shù)方程及式應用.為簡化運郎和減少未知數(shù)的個數(shù),

常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標，所求問題便化歸為三角問題.

x=3cosO

解:⑴(OeR).

y=2sin。

(2)設橢圓內(nèi)接矩形面積為S,由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于X軸和y

軸，設(3cos6,2sh。)為矩形在第一象限的頂點,(0<0<-),

2

則S=4x3cos〃x2sinO=12sin2〃W12

故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12.

說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲

線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便.

典型例題十九

例19已知冗，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，尸是橢圓上一點，且/百戶6=60。.

(1)求橢圓離心率的取值范圍；

(2)求證APE行的面積與橢圓短軸長有關(guān).

分析：不失一般性，可以設橢圓方程為

r+a=1(a>〃>0),P("K)(x>0).

a~b~

思路一：根據(jù)題設容易想到兩條直線的夾角公式，即

K_K

tan60°=PF^~=V3,設。區(qū)，凹)，片(-。，0),入9,0),化簡可得

1+K”2Kf>F1

22

A/3X,2+A/3^2-2Q,-^c2=0.又0+冬=1,兩方程聯(lián)立消去x,2得

a~b~

6cbJ+Z/cy—?4=。，由,￡(()*],可以確定離心率的取值范圍；解出力

可以求出AP片乙的面積，但這一過程很繁.

思跖二:利用焦半徑公式歸用=々+4，儼q=a—咐，在△/小M中運用余

弦定理，求』，再利用可以確定離心率e的取值范圍，將七代入橢

圓方程中求力，便可求出APKg的面積.

思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合|P￡|+|P周=2〃求解.

22

解：（法1）設橢圓方程為「十==1（a>〃>0）,P（x，y）,月（一。，0）,

ab~

瑪（c,0）,c>0,

則歸用=々+夕],\PF^=a-ex}.

在△PR乙中，由余弦定理得

cos60。=Lm+e（f）7,

22{a+exx）（a-ex}）

解…聯(lián)

⑴????。?,/],

2

4c2—Cl20c、,

A0</<af即4cJ/NO

3e~

.c1

a2

故橢圓離心率的取范圍是ec[L1）.

2

⑵將為2=生:！代入￡+5=1得

3e~a~b~

2b4^.1b2

%=M'即酢忌.

?*,SVGF2=（閨用?|y|二g?2c?左=理乩

即△P^F2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

（法2）設|P^=m,歸圖二〃，/PFf\=a,NPFR=0,

貝+尸=120°.

(1)在△尸片8中，由正弦定理得

m_/7_2c

sinasinpsin60°

.m+n_2c

??――

sincr+sinpsin60°

,.*m+n-2ay

.2a2c

??--------------------=------------,