第04講數(shù)列的通項(xiàng)公式目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：觀察法 2題型二：疊加法 3題型三：疊乘法 4題型四：形如an+1=pan+q型的遞推式 題型五：形如an+1=pan+kn+b型的遞推式 題型六：形如an+1=pan+rqn型的遞推式題型七：形如an+1=panq(p>0,題型八：形如an+1=manpan+題型九：形如an+2=pan+1+qa題型十：形如an+1=man+tpan題型十一：已知通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)的和Sn關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題 14題型十二：周期數(shù)列 17題型十三：前n項(xiàng)積型 19題型十四：“和”型求通項(xiàng) 20題型十五：正負(fù)相間討論、奇偶討論型 22題型十六：因式分解型求通項(xiàng) 24題型十七：雙數(shù)列問(wèn)題 24題型十八：通過(guò)遞推關(guān)系求通項(xiàng) 2602重難創(chuàng)新練 3103真題實(shí)戰(zhàn)練 44題型一：觀察法1．（2024·高三·河北唐山·期中）若數(shù)列的前6項(xiàng)為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】通過(guò)觀察數(shù)列的前6項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故用表示各項(xiàng)的正負(fù)；各項(xiàng)的絕對(duì)值為分?jǐn)?shù)，分子等于各自的序號(hào)數(shù)，而分母是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故第n項(xiàng)的絕對(duì)值是，所以數(shù)列的通項(xiàng)可為，故選：D2．?dāng)?shù)列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】數(shù)列9，99，999，9999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是，則數(shù)列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是，則數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是．故選：C．3．?dāng)?shù)列的前4項(xiàng)為：，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將可以寫(xiě)成，所以的通項(xiàng)公式為；故選:C4．如圖所示是一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為（

）A．2n B． C． D．【答案】B【解析】依題意，每一行第一個(gè)數(shù)依次排成一列為：1，3，5，7，9，…，它們成等差數(shù)列，通項(xiàng)為，所以第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為.故選：B題型二：疊加法5．已知數(shù)列滿足，則.【答案】【解析】因，則.故答案為：.6．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其信徒組成的學(xué)派，他們把美學(xué)視為自然科學(xué)的一個(gè)組成部分．美表現(xiàn)在數(shù)量比例上的對(duì)稱與和諧，和諧起于差異的對(duì)立，美的本質(zhì)在于和諧．他們常把數(shù)描繪成沙堆上的沙粒或小石子，并由它們排列而成的形狀對(duì)自然數(shù)進(jìn)行研究．如圖所示，圖形的點(diǎn)數(shù)分別為1，5，12，22，…，總結(jié)規(guī)律并以此類推下去，第10個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為，若這些數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．

【答案】【解析】由圖知，，，，…，，累加得，所以．因?yàn)椋?故答案為：；7．已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，，…，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿足上式．綜上所述，．故答案為：．題型三：疊乘法8．已知數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)為【答案】【解析】∵①，∴當(dāng)時(shí)，②，①-②得：，即：，∴，∴，當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立．∴．故答案為：9．設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求通項(xiàng)公式=【答案】【解析】由，得，∵，∴，∴，∴，∴，又滿足上式，∴.故答案為：.10．（2024·四川成都·二模）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】【解析】令，顯然，因?yàn)椋?，所以，，?由累乘法，可得，，顯然，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，所以.故答案為：題型四：形如an+1=pan11．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【解析】（1）因?yàn)?，所以又，所以，所以是?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）知，所以，又，所以.12．?dāng)?shù)列滿足且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【答案】【解析】設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，所以為常?shù)，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：13．已知首項(xiàng)為2的數(shù)列對(duì)滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【解析】設(shè)，即，故，解得：，故變形為，，故是首項(xiàng)為4的等比數(shù)列，公比為3，則，所以，故答案為：14．已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【解析】（1）由，即，可得，且，故，可知是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知.顯然，，當(dāng)時(shí)，則，可得.于是；綜上所述：.題型五：形如an+1=pan15．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式.【解析】（1）由，則，則，，故，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，，故，故．16．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)?，所以，又，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即；（2）由（1）知．設(shè)前項(xiàng)和為，則，，兩式相減可得，所以.題型六：形如an+1=pan17．已知數(shù)列滿足：，且.求；【解析】數(shù)列中，由，得，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，所以.18．（2024·高三·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，且．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】由已知，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，即.題型七：形如an+1=pan19．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】對(duì)任意的，，因?yàn)?，則，所以，，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，解得.題型八：形如an+1=man20．?dāng)?shù)列中，，，則．【答案】【解析】由，，可得，所以，即(定值)，故數(shù)列以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以．故答案為：．21．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前8項(xiàng)和．【答案】502【解析】由，取倒數(shù)得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)列的前8項(xiàng)和.故答案為：50222．已知數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【解析】由題意得，故是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，得，即，故答案為：題型九：形如an+2=p23．已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求．【解析】（1）由已知，，∴，∴，顯然與，矛盾，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）∵，∴，∴，顯然與，矛盾，∴，∴∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，①，又∵由第（1）問(wèn)，，②，∴②①得，，24．已知數(shù)列滿足，，，求【解析】法1：已知，所以，則是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，故，則，得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，，，，累加可得，，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，綜上，；法2：由特征根方程得，，，所以，其中，解得，，.題型十：形如an+1=m25．已知，，則的通項(xiàng)公式為．【答案】【解析】，①．②由得．又因?yàn)?，所以是公比為，首?xiàng)為的等比數(shù)列，從而，即．故答案為：26．在數(shù)列中，，且，求其通項(xiàng)公式．【解析】因?yàn)?，所以特征方程為，解?令，代入原遞推式得,因?yàn)?，所以，?因此，，從而,又因?yàn)椋裕?7．已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【解析】設(shè)，令得：，解得：；，化簡(jiǎn)得，，所以，從而，故，又，所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，從而，故．故答案為：題型十一：已知通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)的和Sn關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題28．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前11項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，所以.（2）由（1）得：，所以.29．記數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【解析】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則，故，即，當(dāng)時(shí)，有，即，故是公差、首項(xiàng)均為的等差數(shù)列，故．（2）由（1）得，故，則．因?yàn)?，故，又在上單調(diào)遞減，故隨的增大而增大，故，綜上，．30．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得,兩式相減得，所以，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為，可得，兩式相減得，所以．31．已知在數(shù)列中，，前項(xiàng)和.(1)求、；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【解析】（1）由及得，由及、得；（2）當(dāng)時(shí)，，整理得，∴，驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)符合，∴當(dāng)時(shí)，；（3）由（2）可知，∴，32．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1），即，即，則，即，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）易得，即，則，則，有，則，故.33．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，集合中元素個(gè)數(shù)為，求．【解析】（1）令，得.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，兩式相減得，即，所以，所以，即，所以又，符合上式，所以；（2）由，可得，所以..題型十二：周期數(shù)列34．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則．【答案】6【解析】因?yàn)椋?，，則，，，，，所以數(shù)列是周期為6的數(shù)列，且，所以.故答案為：635．（2024·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知，且（為正整數(shù)），則.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，，，，，，，所以是以為周期的?shù)列，因?yàn)?，所?故答案為：36．（2024·上海普陀·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前項(xiàng)積的最大值為．【答案】1【解析】,，兩式相除得：，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,由，，得：記數(shù)列的前n項(xiàng)積為,結(jié)合數(shù)列的周期性，，當(dāng)時(shí),，，，所以數(shù)列的前項(xiàng)積的最大值為1.故答案為：137．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，，則.【答案】/【解析】由題意知，，故，，故，同理，由此可知數(shù)列為周期性數(shù)列，每3項(xiàng)為一個(gè)周期，故，故答案為：題型十三：前n項(xiàng)積型38．（2024·福建廈門·高三廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀閿?shù)列的前n項(xiàng)積，且．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．【解析】（1）證明：由已知條件知

①,于是．

②,由①②得．

③

，又

④，由③④得，所以，令，由，得，，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．，法1：時(shí)，，又符合上式，所以；法2：將代回得：．39．已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且．求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；【解析】∵①，∴②，由①②可得，由①也滿足上式，∴③，∴④，由③④可得，即，∴，∴．40．已知數(shù)列的前n項(xiàng)積.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前n項(xiàng)為，求的最小值.【解析】（1）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，也符合.故的通項(xiàng)公式為.（2），，是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，的最小值為.題型十四：“和”型求通項(xiàng)41．（2024?南明區(qū)校級(jí)月考）若數(shù)列滿足，則．【解析】解：，則．故答案為：．42．（2024·青海西寧·二模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2024【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減可得，即，所以，可得，所以.故選：C.43．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，則的值為()A．－8 B．6 C．－5 D．4【答案】C【解析】對(duì)于，當(dāng)時(shí)有，即，，兩式相減得：，由可得即從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，所以，即，則，故，由可得，故選C.44．?dāng)?shù)列滿足：，求通項(xiàng).【解析】由已知當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，與已知式聯(lián)立，兩式相減，得，，，，即奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是每項(xiàng)都等于的常數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是每項(xiàng)都等于的常數(shù)列，.題型十五：正負(fù)相間討論、奇偶討論型45．已知數(shù)列滿足：，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】在數(shù)列中，由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相除得：，因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.46．（2024·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求的最小值．【解析】（1）由題意知當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則，所以，即．又．所以是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．所以．即．（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即，令．則可解得．即．又因?yàn)楣实淖钚≈禐?5．47．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得不等式成立的n的最小值．【解析】（1）因?yàn)樗?，，，所以．又因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，，所以是一個(gè)增數(shù)列，因?yàn)?，，所以滿足題意的n的最小值是20．題型十六：因式分解型求通項(xiàng)48．（2024?四川模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足．（1）求，及的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；由已知可得，且，．（2）設(shè)，，是公比為4的等比數(shù)列，．題型十七：雙數(shù)列問(wèn)題49．已知數(shù)列和滿足，，，.則＝_______.【答案】【解析】，，且，，則，由可得，代入可得，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，在等式兩邊同時(shí)除以可得，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，所以，，，則，因此，.故答案為：.50．（2024·上海奉賢·二模）數(shù)列，滿足，，.（1）求證：是常數(shù)列；（2）若是遞減數(shù)列，求與的關(guān)系；【解析】（1），，，，，，因此，數(shù)列是常數(shù)列；（2）數(shù)列是遞減數(shù)列，，，，，，，，猜想，恒成立，，時(shí)，數(shù)列是遞減數(shù)列；51．（2024·高三·遼寧·期中）已知數(shù)列、滿足，且（1）令證明：是等差數(shù)列，是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列和的前n項(xiàng)和公式．【解析】（1），將上述兩等式相加得，即，因此，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，.又由題設(shè)得，即，因此，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，，即，解得，；（3）設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，則，同理可得.題型十八：通過(guò)遞推關(guān)系求通項(xiàng)52．某校高一學(xué)生1000人，每周一次同時(shí)在兩個(gè)可容納600人的會(huì)議室，開(kāi)設(shè)“音樂(lè)欣賞”與“美術(shù)鑒賞”的校本課程.要求每個(gè)學(xué)生都參加，要求第一次聽(tīng)“音樂(lè)欣賞”課的人數(shù)為，其余的人聽(tīng)“美術(shù)鑒賞”課；從第二次起，學(xué)生可從兩個(gè)課中自由選擇.據(jù)往屆經(jīng)驗(yàn)，凡是這一次選擇“音樂(lè)欣賞”的學(xué)生，下一次會(huì)有20%改選“美術(shù)鑒賞”，而選“美術(shù)鑒賞”的學(xué)生，下次會(huì)有30%改選“音樂(lè)欣賞”，用，分別表示在第次選“音樂(lè)欣賞”課的人數(shù)和選“美術(shù)鑒賞”課的人數(shù).(1)若，分別求出第二次，第三次選“音樂(lè)欣賞”課的人數(shù)，；(2)①證明數(shù)列是等比數(shù)列，并用n表示；②若要求前十次參加“音樂(lè)欣賞”課的學(xué)生的總?cè)舜尾怀^(guò)5800，求m的取值范圍.【解析】（1）由已知，且，，因?yàn)?，所以，所以，，所?所以.（2）①由（1）得，所以，因?yàn)?，故，所以?shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以，即.②前十次參加“音樂(lè)欣賞”課的學(xué)生的總?cè)舜渭礊閿?shù)列的前10項(xiàng)和，所以，由已知，，又且，所以的取值范圍為且.53．某區(qū)域市場(chǎng)中智能終端產(chǎn)品的制造全部由甲?乙兩公司提供技術(shù)支持．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研及預(yù)測(cè)，商用初期，該區(qū)域市場(chǎng)中采用的甲公司與乙公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品各占一半，假設(shè)兩家公司的技術(shù)更新周期一致，且隨著技術(shù)優(yōu)勢(shì)的體現(xiàn)，每次技術(shù)更新后，上一周期采用乙公司技術(shù)的產(chǎn)品中有轉(zhuǎn)而采用甲公司技術(shù)，采用甲公司技術(shù)的產(chǎn)品中有轉(zhuǎn)而采用乙公司技術(shù)．設(shè)第次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)中采用甲公司與乙公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比分別為和，不考慮其他因素的影響．(1)用表示，并求使數(shù)列是等比數(shù)列的實(shí)數(shù)．(2)經(jīng)過(guò)若干次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)采用甲公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比能否達(dá)到以上？若能，則至少需要經(jīng)過(guò)幾次技術(shù)更新；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意知，經(jīng)過(guò)次技術(shù)更新后，，則，即．設(shè)，則，令，解得．又，所以當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知，則，．所以經(jīng)過(guò)次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)采用甲公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比為．對(duì)于任意，所以，即經(jīng)過(guò)若干次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)采用甲公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比不會(huì)達(dá)到以上．54．某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了．預(yù)計(jì)以后每年年增長(zhǎng)率與第一年的相同，公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬(wàn)元．(1)用表示與，并寫(xiě)出與的關(guān)系式；(2)求證：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列，并說(shuō)明的現(xiàn)實(shí)意義；(3)若公司希望經(jīng)過(guò)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金的近似值（取整數(shù)）．【解析】（1）依題意，，，.（2）由（1）知，，則，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，才能保證每年投入生產(chǎn)高于萬(wàn)元.（3）由（2）知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此，即，由，得，解得，所以企業(yè)每年上繳資金約為萬(wàn)元.55．某電視頻道在一天內(nèi)有x次插播廣告的時(shí)段，一共播放了y條廣告，第一次播放了1條以及余下的條的，第2次播放了2條以及余下的，第3次播放了3條以及余下的，以后每次按此規(guī)律插播廣告，在第次播放了余下的x條．(1)設(shè)第次播放后余下條，這里，，求與的遞推關(guān)系式．(2)求這家電視臺(tái)這一天播放廣告的時(shí)段x與廣告的條數(shù)y．【解析】（1）依題意，第次播放了，因此，整理得．（2）∵，又∵，∴．∴，∴∴．∵當(dāng)時(shí)，，與互質(zhì)，，∴，則即．56．治理垃圾是地改善環(huán)境的重要舉措．去年地產(chǎn)生的垃圾量為200萬(wàn)噸，通過(guò)擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理等一系列措施，預(yù)計(jì)從今年開(kāi)始，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年減少20萬(wàn)噸，從第6年開(kāi)始，每年的垃圾排放量為上一年的.(1)寫(xiě)出地的年垃圾排放量與治理年數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)為從今年開(kāi)始年內(nèi)的年平均垃圾排放量，證明數(shù)列為遞減數(shù)列；(3)通過(guò)至少幾年的治理，地的年平均垃圾排放量能夠低于100萬(wàn)噸？【解析】（1）設(shè)治理年后，地的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列.當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，治理年后，地的年垃圾排放量的表達(dá)式為（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．由于由（Ⅰ）知，時(shí)，，所以為遞減數(shù)列，時(shí)，，所以為遞減數(shù)列，且，所以為遞減數(shù)列，于是，因此，所以數(shù)列為遞減數(shù)列．（3）由于是遞減數(shù)列，且，所以，5年內(nèi)年平均垃圾排放量不可能低于100萬(wàn)噸．時(shí)，由于，所以．因?yàn)?，，綜上所述，至少經(jīng)過(guò)10年治理A地年平均垃圾排放量才能低于100萬(wàn)噸．1．（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列對(duì)任意滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以，所以，即①．又因?yàn)棰冢佗趦墒较喑?，得．故選：A．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．190 B．210 C．380 D．420【答案】B【解析】數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，因此，顯然數(shù)列是常數(shù)列，而，解得，于是，因此，所以.故選：B3．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，，解得：，不滿足，；當(dāng)時(shí)，，又滿足，.故選：D.4．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，若，則滿足條件的最大整數(shù)（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】，令，則，又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得，所以，∴，由，解得.故選：B5．已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，所以，，，，（，），累乘可得，又，得.設(shè)①，則②，①-②得，，，.故選：C.6．（2024·安徽阜陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列 C．單調(diào)遞增 D．單調(diào)遞增【答案】D【解析】依題意可得：，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，整理得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.從而，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.也適合上式，所以，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.因?yàn)椋赃x項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：D.7．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球……依此類推，最底層有個(gè)小球，共有層，由“隙積術(shù)”可得這些小球的總個(gè)數(shù)為若由小球堆成的某個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積共8層，小球總個(gè)數(shù)為240，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意知，，于是得最底層小球的數(shù)量為，即，.從而有，整理得，，，，，由于皆為正整數(shù)，所以（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（iii）當(dāng)時(shí)，，（iv）當(dāng)時(shí)，只有符合題意，即的值為2.故選：B.8．（2024·山西·三模）已知數(shù)列對(duì)任意均有.若，則（

）A．530 B．531 C．578 D．579【答案】C【解析】因?yàn)?，可知?shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，又因?yàn)椋?，可得，累加可得，則，所以.故選：C.9．（多選題）（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同學(xué)相互做傳接球訓(xùn)練，球從甲手中開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外5人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能被接住.記第次傳球之后球在乙手中的概率為.則下列正確的有（

）A．B．為等比數(shù)列C．設(shè)第次傳球后球在甲手中的概率為D．【答案】ABD【解析】依題意，，第次傳球之后球在乙手中，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之后球不在乙手中，其概率為，第次傳球有的可能傳給乙，因此，于是，而，則是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，則，故A、B、D正確；因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，則，又，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，則，，所以，所以，故C錯(cuò)誤.故選：ABD10．（多選題）（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，若用表示斐波那契數(shù)列的第項(xiàng)，則數(shù)列滿足：，.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由題意可知斐波那契數(shù)列的前10項(xiàng)為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，所以三式相加得，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)閿?shù)列滿足：，，所以，，，……，，，，以上2023個(gè)等式相加得,因?yàn)?，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以?,,……,,所以，所以D正確，故選：BCD11．（多選題）（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，，記，，若且則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列中的最大項(xiàng)為C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于A，由已知，當(dāng)時(shí)，，即，，當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，所以，，且數(shù)列單調(diào)遞減，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，，，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，又，所以，即，D選項(xiàng)正確；故選：BD.12．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前三項(xiàng)依次為的前項(xiàng)和，則．【答案】2024【解析】由題意知，，，解得，，，所以，.故答案為：2024.13．（2024·內(nèi)蒙古·三模）假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中，正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌）.若1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過(guò)14小時(shí)的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為.【答案】/131072【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)，有個(gè)正常細(xì)菌，個(gè)非正常細(xì)菌，則，.又，，所以，，則，所以，所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故答案為：.14．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意不等于2的正整數(shù)恒成立，且，那么這樣的數(shù)列有個(gè).【答案】4【解析】當(dāng)時(shí)，，得或，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得：，整理得，所以或，當(dāng)時(shí)，若，可得，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意不等于2的正整數(shù)恒成立，所以對(duì)任意不等于2的正整數(shù)恒成立，則當(dāng)時(shí)，，即，，，，成立；若，時(shí)，，即，，，，成立；當(dāng)時(shí)，若，可得，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，若，可得，由題意可得對(duì)任意不等于2的正整數(shù)恒成立，則當(dāng)時(shí)，，即，，，，成立；若，時(shí)，，即，，，，成立；當(dāng)時(shí)，若，可得，，不合題意，舍去．所以滿足題意的數(shù)列有4個(gè)．故答案為：4.15．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，整理得，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，；（2）法一：，①，②，①②得；法二：，設(shè)，且，解得，，即，其中，，.16．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．【解析】（1）數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以；（2）由（1）得，所以，則，兩式相減的，，所以．17．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由，可得，所以，又由，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，則，當(dāng)時(shí)，，所以，又當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以18．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1）因?yàn)棰?，所以②，③，由③得：，所以，?①得：，整理得：，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以是公差的等差數(shù)列，．（2）由（1），，所以，所以．19．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）將足夠多的一批規(guī)格相同、質(zhì)地均勻的長(zhǎng)方體薄鐵塊疊放于水平桌面上，每個(gè)鐵塊總比其下層鐵塊向外伸出一定的長(zhǎng)度，如下圖，那么最上層的鐵塊最多可向桌緣外伸出多遠(yuǎn)而不掉下呢？這就是著名的“里拉斜塔”問(wèn)題．將鐵塊從上往下依次標(biāo)記為第1塊、第2塊、第3塊、……、第n塊，將前塊鐵塊視為整體，若這部分的重心在第塊的上方，且全部鐵塊整體的重心在桌面的上方，整批鐵塊就保持不倒．設(shè)這批鐵塊的長(zhǎng)度均為1，若記第n塊比第塊向桌緣外多伸出的部分的最大長(zhǎng)度為，則根據(jù)力學(xué)原理，可得，且為等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為．①比較與的大小；②對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，如果存在常數(shù)，對(duì)任意的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，，則稱數(shù)列收斂于，也稱數(shù)列的極限為，記為；反之，則稱不收斂．請(qǐng)根據(jù)數(shù)列收斂的定義判斷是否收斂？并據(jù)此回答“里拉斜塔”問(wèn)題．【解析】（1）依題意，第1塊鐵塊比第2塊鐵塊向桌外伸出部分的最大長(zhǎng)度為第1塊鐵塊自身長(zhǎng)度的一半，則，由為等差數(shù)列，得其首項(xiàng)為，公差，因此，即，所以的通項(xiàng)公式是.（2）①由（1）知，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上遞減，則，即，取，于是，則，所以.②不收斂.給定正數(shù)，對(duì)，令，則，解得，?。ū硎静怀^(guò)的最大整數(shù)），顯然當(dāng)時(shí)，不等式不成立，即有，因此數(shù)列不收斂；取，則當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，成立，所以不收斂.的意義是塊疊放的鐵塊最上層的最多可向桌緣外伸的長(zhǎng)度，因?yàn)椴皇諗坑谌我庹龜?shù)，所以只要鐵塊足夠多，最上層的鐵塊最多可向桌緣外伸出的長(zhǎng)度可以大于任意正數(shù).1．（2012年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（湖北卷））傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3，6,10，…記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，可以推測(cè)：（Ⅰ）是數(shù)列中的第項(xiàng)；（Ⅱ）．（用表示）【答案】5030；.【解析】由三角形數(shù)規(guī)律可得，所以，累加得，所以，當(dāng)時(shí)仍成立，故，寫(xiě)出若干項(xiàng)有：其中能被5整除的有，故，從而由上述規(guī)律可猜想：（為整數(shù)），所以，即是數(shù)列中的第5030項(xiàng).故答案為：5030；.2．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.3．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．4．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴5．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【解析】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因?yàn)?，所以，所以．在中，?dāng)時(shí)，．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時(shí)顯