高二文科數(shù)學(xué)期末試卷及解析引言本試卷依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》命題，覆蓋高二文科數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)（集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何、統(tǒng)計(jì)概率、圓錐曲線、邏輯命題、復(fù)數(shù)等），難度分布合理（基礎(chǔ)題占60%，中等題占30%，難題占10%）。旨在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況、基本技能運(yùn)用能力及綜合問(wèn)題解決能力，符合高二文科數(shù)學(xué)期末檢測(cè)的要求。高二文科數(shù)學(xué)期末試卷一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\midx^2-4x+3=0\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\{1\}B.\{2\}C.\{3\}D.\{1,2,3\}2.函數(shù)\(f(x)=x^3+\sinx\)的奇偶性為（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)3.曲線\(y=x^2+1\)在\(x=1\)處的切線方程為（）A.\(y=2x\)B.\(y=2x+1\)C.\(y=2x-1\)D.\(y=2x+2\)4.將函數(shù)\(y=\sinx\)的圖像變換為\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖像，正確的變換步驟是（）A.先向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位，再橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)B.先橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)，再向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位C.先向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位，再橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)D.先橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)，再向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，公差\(d=2\)，則\(a_5=\)（）A.9B.10C.11D.126.目標(biāo)函數(shù)\(z=2x+y\)在約束條件\(x\geq0\),\(y\geq0\),\(x+y\leq1\)下的最大值為（）A.1B.2C.3D.47.正方體的棱長(zhǎng)為1，則其外接球的體積為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\pi\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\)C.\(\frac{4}{3}\pi\)D.\(\frac{8}{3}\pi\)8.調(diào)查某學(xué)校1000名學(xué)生的視力情況，從中抽取100名學(xué)生，最適合的抽樣方法是（）A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.整群抽樣9.擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為（）A.\(\frac{1}{9}\)B.\(\frac{1}{8}\)C.\(\frac{1}{7}\)D.\(\frac{1}{6}\)10.橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的離心率為（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{5}{3}\)11.命題“\(\forallx\in\mathbb{R},x^2\geq0\)”的否定是（）A.\(\existsx\in\mathbb{R},x^2<0\)B.\(\forallx\in\mathbb{R},x^2<0\)C.\(\existsx\in\mathbb{R},x^2\geq0\)D.\(\forallx\in\mathbb{R},x^2\leq0\)12.復(fù)數(shù)\(z=1+i\)，則\(z\cdot\overline{z}=\)（）A.1B.2C.\(i\)D.\(2i\)二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\lnx}\)的定義域?yàn)開(kāi)_________。14.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+2n\)，則\(a_3=\)__________。15.圓柱的底面半徑為1，高為2，則其側(cè)面積為_(kāi)_________。16.不等式\(x^2-3x+2<0\)的解集為_(kāi)_________。三、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（10分）已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)，求\(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\)。18.（12分）等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3+a_5=16\)，求：（1）通項(xiàng)公式\(a_n\)；（2）前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。19.（12分）如圖，長(zhǎng)方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\)，\(BC=1\)，\(AA_1=3\)。（1）求證：\(A_1B\parallel\)平面\(ACD_1\)；（2）求三棱錐\(A_1-ACD_1\)的體積。20.（12分）某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖如下（分組為\([50,60)\),\([60,70)\),\([70,80)\),\([80,90)\),\([90,100]\)，對(duì)應(yīng)頻率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1）。（1）求成績(jī)?cè)赲([80,90)\)的學(xué)生人數(shù)；（2）估計(jì)該班學(xué)生的平均成績(jī)。21.（12分）函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求：（1）\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）\(f(x)\)的極值。22.（12分）橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，過(guò)焦點(diǎn)\(F(1,0)\)的直線\(l\)與橢圓交于\(A,B\)兩點(diǎn)，求弦\(AB\)長(zhǎng)的最大值。高二文科數(shù)學(xué)期末試卷解析一、選擇題解析1.答案：A解析：解方程\(x^2-3x+2=0\)得\(A=\{1,2\}\)；解方程\(x^2-4x+3=0\)得\(B=\{1,3\}\)。故\(A\capB=\{1\}\)。2.答案：A解析：\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)，故\(f(x)\)為奇函數(shù)。3.答案：A解析：\(y'=2x\)，\(x=1\)時(shí)導(dǎo)數(shù)為2（切線斜率），切點(diǎn)為\((1,2)\)，切線方程為\(y-2=2(x-1)\)，即\(y=2x\)。4.答案：B解析：\(y=\sinx\toy=\sin2x\)（橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)），再向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位得\(y=\sin2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。5.答案：A解析：\(a_5=a_1+4d=1+4\times2=9\)。6.答案：B解析：可行域?yàn)閈(x\geq0\),\(y\geq0\),\(x+y\leq1\)圍成的三角形，頂點(diǎn)為\((0,0)\),\((1,0)\),\((0,1)\)，代入\(z=2x+y\)得最大值為2（在\((1,0)\)處取得）。7.答案：A解析：正方體外接球直徑為對(duì)角線\(\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\)，半徑為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，體積為\(\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi\)。8.答案：B解析：總體數(shù)量大，樣本數(shù)量適中，系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）更高效。9.答案：A解析：擲兩枚骰子共有36種基本事件，點(diǎn)數(shù)之和為5的情況有\(zhòng)((1,4)\),\((2,3)\),\((3,2)\),\((4,1)\)，共4種，概率為\(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)。10.答案：A解析：\(a=5\),\(b=4\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}=3\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)。11.答案：A解析：全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，否定結(jié)論，故“\(\forallx\in\mathbb{R},x^2\geq0\)”的否定為“\(\existsx\in\mathbb{R},x^2<0\)”。12.答案：B解析：\(\overline{z}=1-i\)，\(z\cdot\overline{z}=(1+i)(1-i)=1-i^2=2\)。二、填空題解析13.答案：\((1,+\infty)\)解析：需滿足\(x-1\geq0\)（根號(hào)非負(fù)）且\(\lnx\neq0\)（分母不為零），解得\(x>1\)。14.答案：7解析：\(a_3=S_3-S_2=(3^2+2\times3)-(2^2+2\times2)=15-8=7\)。15.答案：\(4\pi\)解析：側(cè)面積公式為\(2\pirh=2\pi\times1\times2=4\pi\)。16.答案：\((1,2)\)解析：解方程\(x^2-3x+2=0\)得\(x=1\)或\(x=2\)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，解集為\((1,2)\)。三、解答題解析17.解：\(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)，故\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{4}{5}\)。\(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{4}{5}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}\)。18.解：（1）設(shè)公差為\(d\)，則\(a_3=2+2d\),\(a_5=2+4d\)，由\(a_3+a_5=16\)得\(4+6d=16\)，解得\(d=2\)，故\(a_n=2+2(n-1)=2n\)。（2）\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2+2n)}{2}=n(n+1)\)。19.（1）證明：連接\(A_1D\)交\(AD_1\)于點(diǎn)\(O\)，則\(O\)為\(A_1D\)中點(diǎn)。在\(\triangleA_1BD\)中，\(O\)為\(A_1D\)中點(diǎn)，\(D_1C\parallelA_1B\)（長(zhǎng)方體對(duì)邊平行且相等），故\(A_1B\parallel平面ACD_1\)（線線平行→線面平行）。（2）解：三棱錐\(A_1-ACD_1\)的體積等于三棱錐\(C-A_1AD_1\)的體積（等底等高）。底面積\(S_{\triangleA_1AD_1}=\frac{1}{2}\timesAA_1\timesAD_1=\frac{1}{2}\times3\times1=\frac{3}{2}\)，高為\(AB=2\)，故體積為\(\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\times2=1\)。20.解：（1）成績(jī)?cè)赲([80,90)\)的頻率為0.3，人數(shù)為\(50\times0.3=15\)。（2）平均成績(jī)?yōu)閈(55\times0.1+65\times0.2+75\times0.3+85\times0.3+95\times0.1=76\)。21.解：（1）\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)>0\)得\(x<0\)或\(x>2\)，故單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\),\((2,+\infty)\)；令\(f'(x)<0\)得\(0<x<2\)，故單調(diào)遞減區(qū)