13.1.1軸對稱夯實基礎篇一、單選題：1．“致中和，天地位焉，萬物育焉”，對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運用于建筑、器物、繪畫、標識等作品的設計上，使對稱之美驚艷了千年的時光，在下列標識或簡圖中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C．D．2．下列圖形中，與關于直線成軸對稱的是（

）A．B．C． D．3．如圖，中，，，點在上，且點與點關于直線對稱，則的度數(shù)為(

)A．10° B．14° C．38° D．52°4．如圖，若與關于直線對稱，交于點，則下列說法中，不一定正確的是（

）A． B． C． D．5．如圖是一個經(jīng)過改造的規(guī)則為的臺球桌面示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過臺球邊緣多次反彈），那么球最后將落入的球袋是（

）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋6．如圖，兩平面鏡、的夾角，入射光線平行于，入射到上，經(jīng)兩次反射后的出射光線平行于，則等于（

）A． B． C． D．二、填空題：7．如圖，是軸對稱圖形且只有兩條對稱軸的是__________(填序號)．8．如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，有以下的幾種說法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正確的說法是________．（填序號）9．如圖，△ABD和△ACD關于直線AD對稱，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為___．10．如圖，在△ACE中，AE=7，AC=9，CE=12，點B、D分別在邊CE、AE上，若△ACD與△BCD關于CD所在直線對稱，則△BDE的周長為____．11．如圖，方格紙中的每個小方格的邊長為1，△ABC是格點三角形（即頂點恰好是小方格的頂點）．若格點△ACP與△ABC全等（不與△ABC重合），則所有滿足條件的點P有_____個．12．如圖，和關于直線AB對稱，和關于直線AC對稱，CD與AE交于點F，若，，則的度數(shù)為______．三、解答題：13．下列圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，畫出它們的對稱軸．14．如圖，∠A=90°，點E為BC上一點，點A與點E關于BD對稱，點B與點C關于DE對稱，求∠C的度數(shù)．15．如圖，在中，直線分別交、于點、，點關于直線的對稱點在邊上，且．（1）若，，求的周長；（2）若，求的度數(shù)．16．如圖，△ABC和△ADE關于直線MN對稱，BC與DE的交點F在直線MN上．(1)圖中點C的對應點是點，∠B的對應角是；(2)若DE＝5，BF＝2，則CF的長為；(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度數(shù)．能力提升篇一、單選題：1．如圖，正方形網(wǎng)格中，A，B兩點均在直線a上方，要在直線a上求一點P，使PA＋PB的值最小，則點P應選在（

）A．C點 B．D點 C．E點 D．F點2．一張正方形紙片經(jīng)過兩次對折，并在如圖所示的位置上剪去一個小正方形，打開后的圖形是（

）A． B． C． D．3．如圖，點為內(nèi)一點，分別作點關于、的對稱點，，連接交于，交于，，則的周長為（

）A．16 B．15 C．14 D．134．如圖，△ABC中，∠A＝20°，沿BE將此三角形對折，又沿BA′再一次對折，點C落在BE上的C′處，此時∠C′DB＝74°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（

）A．27° B．59° C．69° D．79°二、填空題：5．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．點E為邊DC上的一個動點，△AD'E與△ADE關于直線AE對稱，當△CD'E為直角三角形時，DE的長為__．6．如圖，在等腰直角中，，，為的中點，，點為上一動點，則的最小值為______．7．如圖，已知∠AOB＝7°，一條光線從點A出發(fā)后射向OB邊，若光線與OB邊垂直，則光線沿原路返回到點A，此時∠A＝90°－7°＝83°，當∠A＜83°時，光線射到OB邊上的點A1后，經(jīng)OB反射到線段AO上的點A2，易知∠1＝∠2，若A1A2⊥AO，光線又會沿A2→A1→A原路返回到點A，此時∠A＝__°若光線從點A發(fā)出后，經(jīng)若干次反射能沿原路返回到點A，則銳角∠A的最小值＝________°8．如圖，將沿著過中點的直線折疊，使點落在邊上的處，稱為第1次操作，折痕到的距離記為，還原紙片后，再將沿著過中點的直線折疊，使點落在邊上的處，稱為第2次操作，折痕到的距離記為，按上述方法不斷操作下去…經(jīng)過第2020次操作后得到的折痕到的距離記為，若，則的值為______．三、解答題：9．如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折形成的，若∠1：∠2：∠3＝13：3：2，CD與BE交于O點，求∠EOC的度數(shù)10．如圖，ABCD為一長方形紙片，E為BC上一點，將紙片沿AE折疊，B點落在長方形外的F點．(1)如圖1，當∠BEA＝35°時，∠FAD的度數(shù)為．（直接填空）(2)如圖2，連BD，若∠CBD＝25°，AFBD，求∠BAE；(3)如圖3，當AFBD時，設∠CBD＝，請你求出∠BAE的度數(shù)．（用表示）13.1.1軸對稱夯實基礎篇一、單選題：1．“致中和，天地位焉，萬物育焉”，對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運用于建筑、器物、繪畫、標識等作品的設計上，使對稱之美驚艷了千年的時光，在下列標識或簡圖中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形說法正確，符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：A．【點睛】本題考查的是軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．下列圖形中，與關于直線成軸對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】認真觀察各選項給出的圖形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對稱軸垂直平分對應點的連線進行判斷．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，結合四個選項，只有B選項中對應點的連線被對稱軸MN垂直平分，所以B是符合要求的．故選：B．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)；應用對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分解題是正確解題的關鍵．3．如圖，中，，，點在上，且點與點關于直線對稱，則的度數(shù)為(

)A．10° B．14° C．38° D．52°【答案】B【分析】在中，根據(jù)點與點關于直線對稱，得到∠CDB=∠CBD=90°-∠A=52°，又根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠A+∠ACD=∠CDE，即可求得∠ACD的度數(shù)．【詳解】解：中，點與點關于直線對稱，所以∠CDB=∠CBD=90°-∠A=52°，∵∠A+∠ACD=∠CDE，∴∠ACD=∠CDE-∠A=52°-38°=14°，故答案為：B【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，熟悉并掌握以上性質(zhì)是解題關鍵．4．如圖，若與關于直線對稱，交于點，則下列說法中，不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】∵△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，∴AC=A′C′，，BO=B′O，故A、C、D選項正確，不一定成立，故B選項錯誤，所以，不一定正確的是B．故選：B．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)與運用，對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．5．如圖是一個經(jīng)過改造的規(guī)則為的臺球桌面示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過臺球邊緣多次反彈），那么球最后將落入的球袋是（

）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，臺球走過的路徑為：∴球最后將落入的球袋是4號袋，故選：D．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)．軸對稱的性質(zhì)：（1）對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；（2）對應線段相等，對應角相等．注意結合圖形解題的思想；嚴格按軸對稱畫圖是正確解答本題的關鍵．6．如圖，兩平面鏡、的夾角，入射光線平行于，入射到上，經(jīng)兩次反射后的出射光線平行于，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用反射的性質(zhì)得到入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角，再利用平行的性質(zhì)把相應的角轉(zhuǎn)移到一個三角形中求解．【詳解】如圖，由題意得，∠1=∠θ=∠3，由鏡面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠θ=∠4，∴∠θ=60°，故選C．【點睛】本題考查了鏡面對稱問題，需注意利用反射的性質(zhì)、平行的性質(zhì)把相應的角轉(zhuǎn)移到一個三角形中求解是正確解答本題的關鍵．二、填空題：7．如圖，是軸對稱圖形且只有兩條對稱軸的是__________(填序號)．【答案】①②##②①【分析】一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是它的一條對稱軸，由此即可判斷圖形的對稱軸條數(shù)及位置．【詳解】圖標中，是軸對稱圖形的有①②③，其中只有2條對稱軸的是①②，有4條對稱軸的是③。故答案為：①②．【點睛】此題考查了利用軸對稱圖形的定義判斷軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)的靈活應用，這里要求學生熟記已學過的特殊圖形的對稱軸特點進行解答．8．如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，有以下的幾種說法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正確的說法是________．（填序號）【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，得到點A與點B對應，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】解：∵直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，∴點A與點B對應，∴AM＝BM，∠MAP＝∠MBP，∠ANM＝∠BNM，AP＝BP，△AMP≌△BMP，∴①②③⑤正確，而④錯誤．故答案為：①②③⑤．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．9．如圖，△ABD和△ACD關于直線AD對稱，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為___．【答案】5【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解決問題即可；【詳解】解：∵△ABD和△ACD關于直線AD對稱，∴S△CEF=S△BEF，∴陰影部分的面積=S△ABC=×10=5，故答案為：5；【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，軸對稱的兩個圖形是全等圖形；掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關鍵．10．如圖，在△ACE中，AE=7，AC=9，CE=12，點B、D分別在邊CE、AE上，若△ACD與△BCD關于CD所在直線對稱，則△BDE的周長為____．【答案】10【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：∵△ACD與△BCD關于CD所在直線對稱，∴AD=DB，AC=BC=9，∵AE=7，AC=9，BC=12，∴△DBE的周長=BD+DE+BE=AD+DE+EC﹣AC=AE+EC﹣AC=7+12﹣9=10．故答案為：10．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握和運用軸對稱圖形的性質(zhì)是解決本題的關鍵．11．如圖，方格紙中的每個小方格的邊長為1，△ABC是格點三角形（即頂點恰好是小方格的頂點）．若格點△ACP與△ABC全等（不與△ABC重合），則所有滿足條件的點P有_____個．【答案】3【分析】如圖，把沿直線對折可得：把沿直線對折，從而可得答案.【詳解】解：如圖，把沿直線對折可得：把沿直線對折可得：所以符合條件的點有3個，故答案為：3【點睛】本題考查的軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的概念，掌握“利用軸對稱的性質(zhì)確定全等三角形”是解本題的關鍵.12．如圖，和關于直線AB對稱，和關于直線AC對稱，CD與AE交于點F，若，，則的度數(shù)為______．【答案】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出角的度數(shù)，進而利用三角形外角的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵△ABC和△ABE關于直線AB對稱，△ABC和△ADC關于直線AC對稱，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，故答案為：118°．【點睛】此題考查軸對稱的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出相關角的度數(shù)．三、解答題：13．下列圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，畫出它們的對稱軸．【答案】第3個圖形不是軸對稱圖形，其余都是．畫出對稱軸見解析．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的意義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；據(jù)此判斷即可；是軸對稱圖形的畫出對稱軸即可．【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的意義可知：第3個圖形不是軸對稱圖形，其余都是；如圖：【點睛】本題考查了軸對稱圖形的意義，判斷是不是軸對稱圖形的關鍵是找出對稱軸，看圖形沿對稱軸對折后兩部分能否完全重合．14．如圖，∠A=90°，點E為BC上一點，點A與點E關于BD對稱，點B與點C關于DE對稱，求∠C的度數(shù)．【答案】30°【分析】借助軸對稱的性質(zhì)，A點和E點關于BD對稱，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD，B點、C點關于DE對稱，可得∠DBE=∠C，結合上式可得：∠ABC=2∠C，且∠ABC+∠C=90°，進而求得∠C的值．【詳解】解：∵A點和E點關于BD對稱，∴∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD，又B點、C點關于DE對稱，∴∠DBE=∠C，∴∠ABC=2∠C，∵∠A=90°，∴∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°，∴∠C=30°．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)與運用．對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．15．如圖，在中，直線分別交、于點、，點關于直線的對稱點在邊上，且．（1）若，，求的周長；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）12；（2）28°【分析】（1）由對稱性可知，即，則的周長為；（2）由（1）可知，由三角形外角的性質(zhì)得到，由此求解即可．【詳解】解：（1）∵點關于直線的對稱點在邊上，，即，的周長為；（2）由（1）知，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，垂直的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．16．如圖，△ABC和△ADE關于直線MN對稱，BC與DE的交點F在直線MN上．(1)圖中點C的對應點是點，∠B的對應角是；(2)若DE＝5，BF＝2，則CF的長為；(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度數(shù)．【答案】(1)E，∠D(2)3(3)∠EAF＝39°【分析】（1）根據(jù)△ABC和△ADE關于直線MN對稱，得到圖中點C的對應點是點E，∠B的對應角是∠D；（2）根據(jù)△ABC與△ADE關于直線MN對稱，得到△ABC≌△ADE，推出BC＝DE＝5，根據(jù)BF＝2，得到CF＝BC﹣BF＝3；（3）根據(jù)∠BAC＝108°和∠BAE＝30°，推出∠CAE＝108°﹣30°＝78°，根據(jù)對稱性得到∠EAF＝∠CAF，推出∠EAF＝＝39°．（1）∵△ABC與△ADE關于直線MN對稱，∴圖中點C的對應點是點E，∠B的對應角是∠D；故答案為：E，∠D．（2）∵△ABC與△ADE關于直線MN對稱，∴△ABC≌△ADE，∴BC＝DE＝5，∵BF＝2，∴CF＝BC﹣BF＝3．故答案為：3．（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，根據(jù)對稱性知，∠EAF＝∠CAF，∴∠EAF＝＝39°．【點睛】本題主要考查了軸對稱，解決問題的關鍵是熟練掌握軸對稱的定義，成軸對稱的兩個圖形的全等性．能力提升篇一、單選題：1．如圖，正方形網(wǎng)格中，A，B兩點均在直線a上方，要在直線a上求一點P，使PA＋PB的值最小，則點P應選在（

）A．C點 B．D點 C．E點 D．F點【答案】C【分析】取A點關于直線a的對稱點G，連接BG與直線a交于點E，點E即為所求．【詳解】解：如圖所示，取A點關于直線a的對稱點G，連接BG與直線a交于點E，點E即為所求，故選C．【點睛】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱最短路徑的相關知識．2．一張正方形紙片經(jīng)過兩次對折，并在如圖所示的位置上剪去一個小正方形，打開后的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面圖形的折疊及圖形的對稱性展開圖解題．【詳解】由第一次對折后中間有一個矩形，排除B、C；由第二次折疊矩形正在折痕上，排除D；故選：A．【點睛】本題考查的是學生的立體思維能力及動手操作能力，關鍵是由平面圖形的折疊及圖形的對稱性展開圖解答．3．如圖，點為內(nèi)一點，分別作點關于、的對稱點，，連接交于，交于，，則的周長為（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根據(jù)三角形的周長定義，求出△PMN的周長為P1P2，從而得解．【詳解】解：∵點關于、的對稱點，，∴，，∴△PMN的周長，∵∴△PMN的周長為．故選：．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，解題時注意：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．4．如圖，△ABC中，∠A＝20°，沿BE將此三角形對折，又沿BA′再一次對折，點C落在BE上的C′處，此時∠C′DB＝74°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（

）A．27° B．59° C．69° D．79°【答案】D【分析】由折疊的性質(zhì)得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，則∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，由三角形內(nèi)角和定理得∠3＋∠C＝106°，在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，得出∠3＝27°，即可得出結果．【詳解】解：如圖所示：∵△ABC沿BE將此三角形對折，又沿BA′再一次對折，點C落在BE上的C′處，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3＋∠C＋∠CDB＝180°，∴∠3＋∠C＝180°?74°＝106°，在△ABC中，∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴20°＋2∠3＋106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠C＝106°-∠3＝79°．故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．二、填空題：5．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．點E為邊DC上的一個動點，△AD'E與△ADE關于直線AE對稱，當△CD'E為直角三角形時，DE的長為__．【答案】3或6【分析】分兩種情況分別求解，（1）當∠CED′＝90°時，如圖（1），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；（2）當∠ED′A＝90°時，如圖（2），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得AC＝10，設DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，根據(jù)勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相關的值，計算即可．【詳解】解：當∠CED′＝90°時，如圖（1），∵∠CED′＝90°，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；（2）當∠ED′A＝90°時，如圖（2），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E為直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得，∴CD′＝10?6＝4，設DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋16＝(8?x)2，解得x＝3，即DE＝3；綜上所述：DE的長為3或6；故答案為：3或6．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)的綜合應用，分情況討論，作出圖形是解題關鍵．6．如圖，在等腰直角中，，，為的中點，，點為上一動點，則的最小值為______．【答案】【分析】作關于的對稱點，連接，，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到，，，根據(jù)，可得當，，，在同一直線上時，的最小值等于的長，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得出的最小值為．【詳解】解：如圖1所示，作關于的對稱點，連接，，則，，，，，，，是的中點，，，，當，，，在同一直線上時，如圖2所示，的最小值等于的長，，，，，，的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱—線路最短問題，一般涉及到最短距離的問題，要考慮線段的性質(zhì)定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．7．如圖，已知∠AOB＝7°，一條光線從點A出發(fā)后射向OB邊，若光線與OB邊垂直，則光線沿原路返回到點A，此時∠A＝90°－7°＝83°，當∠A＜83°時，光線射到OB邊上的點A1后，經(jīng)OB反射到線段AO上的點A2，易知∠1＝∠2，若A1A2⊥AO，光線又會沿A2→A1→A原路返回到點A，此時∠A＝__°若光線從點A發(fā)出后，經(jīng)若干次反射能沿原路返回到點A，則銳角∠A的最小值＝________°【答案】

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6【分析】（1）由A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，可得∠2＝83°，由∠1＝∠2得∠1＝83°，從而求出∠AA1A2＝14°，即可求出∠A＝76°；（2）根據(jù)題意可知光線原路返回，最后的線垂直于BO，中間的角，從里往外，是7°的2倍，4倍，8倍.....n倍.，得出2∠1＝180°－14°×n，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠A＝∠1－7°＝83°－7°×n，當n＝11時，∠A＝6°，即可求出∠A的最小值．【詳解】解：（1）A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，∴∠1＝∠2＝90°－7°＝83°，∴∠A＝∠1－∠AOB＝76°；（2）當MN⊥OA時，光線沿原路返回，∴∠4＝∠3＝90°－7°＝83°，∴∠6＝∠5＝∠4－∠AOB＝83°－7°＝76°＝90°－2×7°，∴∠8＝∠7＝∠6－∠AOB＝76°－7°＝90°－3×7°，∴∠9＝∠8－∠AOB＝69°－7°＝62°＝90°－4×7°，由以上規(guī)律可知，∠A＝90°－2n?7°，當n＝6時，∠A取得最小值，最小度數(shù)為6°，故答案為：76，6．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)及入射角等于反射角，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)及入射角等于反射角得出與∠A具有相同位置的角的度數(shù)變化規(guī)律是解題的關鍵．8．如圖，將沿著過中點的直線折疊，使點落在邊上的處，稱為第1次操作，折痕到的距離記為，還原紙片后，再將沿著過中點的直線折疊，使點落在邊上的處，稱為第2次操作，折痕到的距離記為，按上述方法不斷操作下去…經(jīng)過第2020次操作后得到的折痕到的距離記為，若，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)中點的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得DA=DA?=DB,從而可得∠ADA?=2∠B,結合折疊的性質(zhì)可得.，∠ADA?=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,繼而判斷DE//

BC,得出DE是△ABC的中位線，證得AA?⊥BC,AA?=2，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律：同理…于是經(jīng)過第n次操作后得到的折痕Dn-1

En-1到BC的距離，據(jù)此求得的值．【詳解】解：如圖連接AA?,由折疊的性質(zhì)可得：AA?⊥DE,DA=

DA?

,A?、A?…均在AA?上又∵

D是AB中點，∴DA=

DB

,

∵DB=

DA?

,∴∠BA?D=∠B

,∴∠ADA?=∠B+∠BA?D=2∠B,又∵∠ADA?

=2∠ADE

,∴∠ADE=∠B∵DE//BC,∴AA?⊥BC

,∵h?=1∴AA?

=2,∴同理：；；…∴經(jīng)過n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距離∴【點睛】本題考查了中點性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，本題難度較大，要從每次折疊發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求得規(guī)律的過程是難點．三、解答題：9．如圖，△ABE和△ADC