專題09軸對稱的性質(zhì)—折疊問題（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊同步章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，精選易錯(cuò)，?？?，壓軸類問題進(jìn)行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點(diǎn)難點(diǎn)類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)化必備！適合成績中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（本題2分）（2024秋·天津津南·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，把一張長方形紙片，沿對角線折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為，與相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的有（）①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（本題2分）（2024秋·遼寧遼陽·八年級(jí)遼陽市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，直線分別與、軸交于點(diǎn)、，點(diǎn)在線段上，線段沿翻折，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．以下結(jié)論：①；②直線的解析式為；③點(diǎn)；④若直線上存在一點(diǎn)，使得的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．正確的結(jié)論是（

）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．（本題2分）（2025春·福建廈門·八年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，D是邊上的中點(diǎn)，連接，把沿翻折，得到，與交于點(diǎn)E，連接，若，，則C到的距離為（）

A． B． C． D．4．（本題2分）（2024秋·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，長方形中，E點(diǎn)在上，且．分別以、為折線，將A、D向的方向折過去，如圖2，若圖2中，則度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（本題2分）（2025春·陜西榆林·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．6．（本題2分）（2025春·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，正方形中，F(xiàn)是的中點(diǎn)，G是邊上一點(diǎn)，且．將沿翻折，使點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)E落在的延長線上，連接交折痕于點(diǎn)H，則的長是（）

A．1 B． C． D．7．（本題2分）（·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，小雨要用一個(gè)長方形紙片折疊一個(gè)小兔子，第一步沿折疊，使點(diǎn)落到邊上的點(diǎn)處，若，則（）

A． B． C． D．8．（本題2分）（·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，現(xiàn)有一塊三角板，其中，，，將該三角板沿邊翻轉(zhuǎn)得到，再將沿邊翻轉(zhuǎn)得到，則與兩點(diǎn)之間的距離為（

）

A． B．16 C． D．9．（本題2分）（2025春·陜西西安·八年級(jí)校考期末）如圖，正方形中，，點(diǎn)在邊上，且．將沿AE折疊至，延長交邊于點(diǎn)，連接、．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④10．（本題2分）（2025春·安徽淮南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為對稱軸將折疊得到，以為對稱軸將折疊得到，使得點(diǎn)落到上，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2025春·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點(diǎn)落在長邊上的點(diǎn)處，并得到折痕，小宇測得長邊，則四邊形的周長為．

12．（本題2分）（2025春·上海浦東新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)M在邊上，過點(diǎn)M作，垂足為點(diǎn)M，交邊于點(diǎn)N，將沿直線翻折，點(diǎn)A、C分別與點(diǎn)D、E對應(yīng)，如果四邊形是平行四邊形，那么的長是．

13．（本題2分）（2025春·北京豐臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，將折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，為折痕，則的長等于．

14．（本題2分）（2025春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，相交于點(diǎn)E，．將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則的大小為．

15．（本題2分）（·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，如圖所示，一張長方形紙片，先將紙片沿折疊，再將折疊后的紙片沿折疊，使得與重合，展開紙片后若，則．

16．（本題2分）（·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，，，將紙片沿DE折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)A處，若，則DE=．

17．（本題2分）（2025春·八年級(jí)單元測試）如圖，四邊形是菱形，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，把沿直線折疊，其中點(diǎn)D的對應(yīng)為點(diǎn)，連接，若為等邊三角形，則．

18．（本題2分）（2024秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，將沿在上，在上折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，則為度．

19．（本題2分）（2025春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿著翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，的長為．

20．（本題2分）（2025春·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接．若，則．

三、解答題：本大題共7小題，21-25題每小題8分，26-27題每小題10分，共60分．21．（本題8分）（2025春·河南開封·八年級(jí)開封市第三十三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，點(diǎn)恰好落在軸正半軸上的點(diǎn)處，直線交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求三角形的面積．(3)求直線的解析式．22．（本題8分）（2025春·吉林長2025春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將邊長為2的正方形紙片按如下操作：【操作一】如圖①，將正方形紙片對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片展開，得到折痕EF．則點(diǎn)B、點(diǎn)F之間的距離為_____________．【操作二】如圖②，G為正方形邊上一點(diǎn)，連接，將圖①的正方形紙片沿翻折，使點(diǎn)B的對稱點(diǎn)H落在折痕上．連接．

（1）求證：是等邊三角形．（2）求四邊形的周長．23．（本題8分）（2025春·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把一張長方形紙片沿對角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)．

(1)試判斷重疊部分的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若平分，，求的面積．24．（本題8分）（2025春·山西陽泉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐問題情境：在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以“平行四邊形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在平行四邊形紙片中，E為邊上任意一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為．分析探究：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，四邊形的形狀為．問題解決：（2）如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)為邊的三等分點(diǎn)時(shí)，連接并延長，交邊于點(diǎn)G．試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，連接并延長，交邊于點(diǎn)H．若的面積為24，，請直接寫出線段的長．

25．（本題8分）（2025春·山東菏澤·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處．

(1)求線段的長(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)點(diǎn)P在直線上，使得，求點(diǎn)P坐標(biāo)．26．（本題10分）（2025春·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，四邊形中，，，，，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)N作于點(diǎn)P，連接交于點(diǎn)，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)______，______．（用含t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求t的值；(3)如圖2，將沿AD翻折，得，是否存在某時(shí)刻t，使四邊形為為菱形，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．27．（本題10分）（2025春·全國·八年級(jí)期末）如圖，中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒個(gè)單位的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，以，為鄰邊作平行四邊形，，分別交于點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)______含的代數(shù)式表示；(2)如圖，連接，，，當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)如圖，連接，，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，若落在的內(nèi)部不包括邊界時(shí)，則的取值范圍為______.專題09軸對稱的性質(zhì)—折疊問題（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊同步章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，精選易錯(cuò)，?？迹瑝狠S類問題進(jìn)行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點(diǎn)難點(diǎn)類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)化必備！適合成績中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（本題2分）（2024秋·天津津南·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，把一張長方形紙片，沿對角線折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為，與相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的有（）①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可得由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，由“”可證，可得，即可進(jìn)行判斷；【詳解】∵矩形紙片沿對角線折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為∴，故①正確；∵∴，故②正確；在和中∴故③正確；故④不正確；∴結(jié)論正確的有①②③共3個(gè)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵2．（本題2分）（2024秋·遼寧遼陽·八年級(jí)遼陽市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，直線分別與、軸交于點(diǎn)、，點(diǎn)在線段上，線段沿翻折，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．以下結(jié)論：①；②直線的解析式為；③點(diǎn)；④若直線上存在一點(diǎn)，使得的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．正確的結(jié)論是（

）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】先求出點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，由勾股定理可求的長，可判斷①；由折疊的性質(zhì)可得，，，由勾股定理可求的長，可得點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式，可判斷②；由面積公式可求的長，代入解析式可求點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷③；分別討論點(diǎn)在、點(diǎn)的情況，比較值的情況，得出當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，使得的值最小可判斷④，即可求解．【詳解】解：直線分別與、軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，故①正確；線段沿翻折，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，，，，，，，點(diǎn)，設(shè)直線解析式為：，，，直線解析式為：，故②正確；如圖，過點(diǎn)作于，

，，，，當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)，故③正確；直線上存在一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，，在中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，使得的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，故④正確；綜上分析可知，正確的結(jié)論為①②③④，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求解析式，折疊的性質(zhì)，面積法，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．3．（本題2分）（2025春·福建廈門·八年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)校考期末）如圖，在中，D是邊上的中點(diǎn)，連接，把沿翻折，得到，與交于點(diǎn)E，連接，若，，則C到的距離為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，交于點(diǎn)M，由翻折知，，垂直平分，證為等邊三角形，利用含30度的直角三角形性質(zhì)及勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)M，

∵，D是邊上的中點(diǎn)，∴，由翻折知，，垂直平分，∴，，，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∴C到的距離為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、折疊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（本題2分）（2024秋·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，長方形中，E點(diǎn)在上，且．分別以、為折線，將A、D向的方向折過去，如圖2，若圖2中，則度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)長方形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，由，進(jìn)而得到，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求出度數(shù)．【詳解】解：四邊形是長方形，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，，，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（本題2分）（2025春·陜西榆林·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，先求出，進(jìn)而求出，求出，由三角形內(nèi)角和定理和即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接，

，為的平分線，．又，．是的垂直平分線，，，．為的平分線，，直線垂直平分，，，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，，，；在中，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及翻折變換及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，找出圖中隱含的等量關(guān)系，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)來分析、判斷．6．（本題2分）（2025春·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，正方形中，F(xiàn)是的中點(diǎn)，G是邊上一點(diǎn)，且．將沿翻折，使點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)E落在的延長線上，連接交折痕于點(diǎn)H，則的長是（）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，由題意知，，由折疊的性質(zhì)可得，，，證明，則，，由勾股定理得，即，解得，（舍去），則，，，由勾股定理得，根據(jù)，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，由題意知，，由折疊的性質(zhì)可得，，，∵，，∴，∴，，由勾股定理得，即，解得，（舍去），∴，，，由勾股定理得，∵，∴，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．7．（本題2分）（·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，小雨要用一個(gè)長方形紙片折疊一個(gè)小兔子，第一步沿折疊，使點(diǎn)落到邊上的點(diǎn)處，若，則（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊得出，求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．根據(jù)折疊得出．【詳解】解：根據(jù)折疊可知，，∵，∴，∵，∴．由折疊可知，，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．8．（本題2分）（·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，現(xiàn)有一塊三角板，其中，，，將該三角板沿邊翻轉(zhuǎn)得到，再將沿邊翻轉(zhuǎn)得到，則與兩點(diǎn)之間的距離為（

）

A． B．16 C． D．【答案】C【分析】連接，作，交延長線于點(diǎn)，在中求得、的長度，在中，即可求得．【詳解】解：連接，作，交延長線于點(diǎn)，如下圖：

由折疊的性質(zhì)可得：，∴∵，∴，∴，∴，∴，，∴故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．9．（本題2分）（2025春·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，正方形中，，點(diǎn)在邊上，且．將沿AE折疊至，延長交邊于點(diǎn)，連接、．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】作于（見詳解圖），①根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證；②設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理可證；③通過，，證明，由平行線的判定定理可得；④由②得到，由③得到，根據(jù)即可計(jì)算面積．【詳解】解：作于，

四邊形是正方形，，，是由翻折，，，在和中，，．故①正確．，設(shè)，在中，，，，，，，，，,故②正確．，，，，，，，，，，，，故③正確．，故④正確．綜上，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、翻折變換、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．10．（本題2分）（2025春·安徽淮南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為對稱軸將折疊得到，以為對稱軸將折疊得到，使得點(diǎn)落到上，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】A.由折疊的性質(zhì)可以知道和分別是和的平分線，同時(shí)是平角，所以可知，故選項(xiàng)A正確；B.由題意和折疊的性質(zhì)可以知道、，就可以得到，選項(xiàng)B正確；C和D.過點(diǎn)作于點(diǎn)，，可得，．設(shè)，可以得到，．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理，求得，即可得到，，所以．故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【詳解】解：A.由折疊可知和分別是和的平分線．又，，故選項(xiàng)A正確．B.又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，，又，，故選項(xiàng)B正確．C和D.如答圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

，，，易知，，設(shè)，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，折疊后點(diǎn)落到上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，．易知點(diǎn)共線，．，，解得．，，，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．綜上，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問題）、菱形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2025春·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點(diǎn)落在長邊上的點(diǎn)處，并得到折痕，小宇測得長邊，則四邊形的周長為．

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，得到，代入計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴四邊形的周長為．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（本題2分）（2025春·上海浦東新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)M在邊上，過點(diǎn)M作，垂足為點(diǎn)M，交邊于點(diǎn)N，將沿直線翻折，點(diǎn)A、C分別與點(diǎn)D、E對應(yīng)，如果四邊形是平行四邊形，那么的長是．

【答案】3【分析】當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，則，求出，，由軸對稱可得，得，，，求出，由折疊可知，；假設(shè)點(diǎn)E在線段的延長線上，得到，與矛盾，故點(diǎn)E不可能在線段的延長線上，即可確定的長．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，如圖，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，則，

∵，，∴，，∵將沿直線翻折，點(diǎn)A、C分別與點(diǎn)D、E對應(yīng)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，由折疊可知，，假設(shè)點(diǎn)E在線段的延長線上，延長交于點(diǎn)F，

則，，∵，，∴，，設(shè)，則，∴，∴，在中，，，∴，∴,即，則，，在中，，，，∴，∴,即，，與矛盾，故點(diǎn)E不可能在線段的延長線上，綜上可知，，故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．13．（本題2分）（2025春·北京豐臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，將折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，為折痕，則的長等于．

【答案】1.5【分析】根據(jù)折疊得到，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求得的值，再由勾股定理可列方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)折疊可得，，設(shè)，則，在中，，，在中，由勾股定理得，解得故答案為：1.5【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，能熟練運(yùn)用勾股定理列方程解決問題．14．（本題2分）（2025春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，相交于點(diǎn)E，．將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則的大小為．

【答案】/15度【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出，再由等邊對等角確定，利用折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：在和中，，∴，∴，∴，∵，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，∴，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查折疊的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．15．（本題2分）（·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，如圖所示，一張長方形紙片，先將紙片沿折疊，再將折疊后的紙片沿折疊，使得與重合，展開紙片后若，則．

【答案】【分析】由平行線的性質(zhì)得到，由平角定義得到，由軸對稱的性質(zhì)得到：，，，求出，由直角三角形的性質(zhì)求出，由對頂角的性質(zhì)得到，即可求出．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，由題意得：，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，余角的計(jì)算，對頂角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．16．（本題2分）（·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，，，將紙片沿DE折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)A處，若，則DE=．

【答案】1【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到，則，再由折疊性質(zhì)得，，，進(jìn)而得到，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，由折疊性質(zhì)得，，，∴，，∴，又，∴，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．17．（本題2分）（2025春·八年級(jí)單元測試）如圖，四邊形是菱形，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，把沿直線折疊，其中點(diǎn)D的對應(yīng)為點(diǎn)，連接，若為等邊三角形，則．

【答案】1或4/4或1【分析】依據(jù)折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，分兩種情況得到的長即可．【詳解】解：由折疊及菱形的性質(zhì)可得，故是以底的等腰三角形，故當(dāng)，為等邊三角形，分以下兩種情況討論，1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)A重合時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)E為的中點(diǎn)，故，2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線對稱時(shí)，，C，D三點(diǎn)共線，，故，綜上所述，或4，故答案為：1或4．

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊問題及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．18．（本題2分）（2024秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，將沿在上，在上折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，則為度．

【答案】【分析】連接、，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)等邊對等角可得，再求出，證明，再根據(jù)等邊對等角求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊對等角求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接、，

，為的平分線，，又，，是的垂直平分線，，，，為的平分線，，點(diǎn)在的垂直平分線上，，，將沿在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，，，

在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（本題2分）（2025春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿著翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，的長為．

【答案】或【分析】根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)在的右側(cè)時(shí)；②當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，由翻折性質(zhì)，結(jié)合含的直角三角形邊的關(guān)系列方程求解即可得到答案．【詳解】解：在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，延長交于，如圖所示：

，，由翻折的性質(zhì)知，，，設(shè)，則，，，在直角三角形中，，則，，；當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，如圖所示：

由翻折性質(zhì)知，，，，，，，，在直角三角形中，，，解得，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查翻折性質(zhì)，充分利用翻折性質(zhì)及含的直角三角形邊的關(guān)系分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．20．（本題2分）（2025春·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接．若，則．

【答案】/60度【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出,，由折疊的性質(zhì)得，，利用輔助線構(gòu)造矩形并由其性質(zhì)得出，再由等量代換得出，最后由特殊直角三角形的性質(zhì)得出，利用折疊的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)K，正方形ABCD中，，，,．由沿DE翻折得到，，，，，，，,，∴四邊形是矩形．，∴，，．．∵正方形，∴，∴，，∵沿翻折得到，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形—翻折問題．具體考查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，特殊直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等的綜合運(yùn)用能力．靈活添加輔助線是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共7小題，21-25題每小題8分，26-27題每小題10分，共60分．21．（本題8分）（2025春·河南開封·八年級(jí)開封市第三十三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，點(diǎn)恰好落在軸正半軸上的點(diǎn)處，直線交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求三角形的面積．(3)求直線的解析式．【答案】(1)，(2)6(3)【分析】（1）當(dāng)，，解得，則，當(dāng)，，解得，則；（2）由折疊的性質(zhì)可知，，證明，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（3）由勾股定理得，，則，，待定系數(shù)法求直線的解析式即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，，解得，則，當(dāng)，，解得，則，∴，；（2）解：由折疊的性質(zhì)可知，，∵，，，∴，∴，∴三角形的面積為6；（3）解：由勾股定理得，，由（2）可知，，∴，設(shè)直線的解析式為，將，，代入得，，解得，∴直線的解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的解析式，勾股定理，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．22．（本題8分）（2025春·吉林長2025春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將邊長為2的正方形紙片按如下操作：【操作一】如圖①，將正方形紙片對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片展開，得到折痕EF．則點(diǎn)B、點(diǎn)F之間的距離為_____________．【操作二】如圖②，G為正方形邊上一點(diǎn)，連接，將圖①的正方形紙片沿翻折，使點(diǎn)B的對稱點(diǎn)H落在折痕上．連接．

（1）求證：是等邊三角形．（2）求四邊形的周長．【答案】操作一：；操作二，（1）證明見解析；（2）【分析】操作一：由題知，，，利用勾股定理可得；操作二：（1）由翻折得是的垂直平分線，故，又，即，即得是等邊三角形；（2）由是等邊三角形，可得，．，可得，即可得出四邊形的周長．【詳解】解：操作一：如圖，連接，由題知，

由翻折，知，由勾股定理，得，操作二：（1）由翻折知是的垂直平分線，，又，，是等邊三角形；（2）∵是等邊三角形．∴，．∴，∴，∴四邊形的周長．【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的綜合題，涉及勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．23．（本題8分）（2025春·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把一張長方形紙片沿對角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)．

(1)試判斷重疊部分的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若平分，，求的面積．【答案】(1)是等腰三角形，證明見解析(2)的面積【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，可得，根據(jù)等角對等邊即可得證；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）是等腰三角形，證明：四邊形是長方形，，，由折疊可知：，，，是等腰三角形；（2）四邊形是長方形，，，，平分，，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，，解得，的面積【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊問題，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理與折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（本題8分）（2025春·山西陽泉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐問題情境：在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以“平行四邊形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在平行四邊形紙片中，E為邊上任意一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為．分析探究：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，四邊形的形狀為．問題解決：（2）如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)為邊的三等分點(diǎn)時(shí)，連接并延長，交邊于點(diǎn)G．試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，連接并延長，交邊于點(diǎn)H．若的面積為24，，請直接寫出線段的長．

【答案】（1）平行四邊形；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得，，可得四邊形是菱形，可知，繼而可知，即可求解；（2）利用折疊的性質(zhì)可得，，結(jié)合三等分點(diǎn)可知，進(jìn)而可得，利用三角形外角性質(zhì)可得，進(jìn)而可知，可得四邊形是平行四邊形，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得與的數(shù)量關(guān)系；（3）由折疊可知：，，易知為等腰直角三角形，延長交于，可知，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而可知由的面積為24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，則由折疊可知：，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2），理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵E，F(xiàn)為邊的三等分點(diǎn)，∴，由折疊可知：，，則，∴，由三角形外角可知：，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，則，∴；（3）由折疊可知：，，∴，則為等腰直角三角形，∴，延長交于，則

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，即，∴∵的面積為24，，即：，∴，則，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，翻折的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．25．（本題8分）（2025春·山東菏澤·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處．

(1)求線段的長(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)點(diǎn)P在直線上，使得，求點(diǎn)P坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得，再利用勾股定理可得；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再在中，利用勾股定理可得，從而可得，然后利用待定系數(shù)法即可得；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，軸軸，．（2）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由折