1．3兩條直線的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件.2.能根據(jù)已知條件判斷兩直線的平行與垂直.3.能利用兩條直線平行或垂直進行實際應(yīng)用．知識點一兩條直線平行思考1如圖，設(shè)對于兩條不重合的直線l1與l2，其傾斜角分別為α1與α2，斜率分別為k1與k2，若l1∥l2，α1與α2之間有什么關(guān)系？k1與k2之間有什么關(guān)系？思考2對于兩條不重合的直線l1與l2，若k1＝k2，是否一定有l(wèi)1∥l2？為什么？梳理平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應(yīng)關(guān)系l1∥l2?__________l1∥l2?兩直線斜率都不存在圖示知識點二兩條直線垂直思考1當(dāng)兩條直線垂直時，它們的傾斜角有什么關(guān)系？思考2兩條直線垂直，它們的斜率之積一定是－1嗎？梳理垂直的判定類型斜率存在其中一條斜率不存在前提條件|α2－α1|＝90°α1＝0°，α2＝90°對應(yīng)關(guān)系l1⊥l2?k1·k2＝－1l1斜率為________，l2斜率不存在圖示類型一兩條直線平行、垂直的判定例1判斷下列各對直線平行還是垂直，并說明理由．(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.反思與感悟(1)已知直線方程判斷兩條直線平行或垂直的方法(2)當(dāng)直線是一般式方程時，也可利用以下結(jié)論研究兩直線的平行和垂直關(guān)系：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.跟蹤訓(xùn)練1判斷下列各小題中的直線l1與l2的位置關(guān)系．(1)l1的斜率為1，l2經(jīng)過點A(1,1)，B(2,2)；(2)l1經(jīng)過點A(0,1)，B(1,0)，l2經(jīng)過點M(－1,3)，N(2,0)；(3)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點A(10,2)，B(20,3)；(4)l1經(jīng)過點A(3,4)，B(3,100)，l2經(jīng)過點M(－10,40)，N(10,40)．類型二利用兩直線平行、垂直求直線方程例2求直線l的方程．(1)過點P(2，－1)且與直線l1：3x－2y－6＝0平行；(2)過點P(1，－1)且與直線l2：2x＋3y＋1＝0垂直．反思與感悟(1)直線過定點P(x0，y0)，可設(shè)點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)．(2)知斜率k，設(shè)斜截式y(tǒng)＝kx＋.；(3)與直線Ax＋By＋C＝0平行，設(shè)為Ax＋By＋m＝0.(4)與直線Ax＋By＋C＝0垂直，設(shè)為Bx－Ay＋n＝0.跟蹤訓(xùn)練2若直線l與直線2x＋3y＋5＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為eq\f(5,6)，求直線l的方程．類型三兩條直線平行與垂直的綜合應(yīng)用eq\x(命題角度1利用平行、垂直關(guān)系求參數(shù))例3已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.(1)若這兩條直線垂直，求k的值；(2)若這兩條直線平行，求k的值．反思與感悟在利用兩條直線平行或垂直求直線方程中的參數(shù)時，若能直觀判斷兩條直線的斜率存在，則可直接利用平行或垂直時斜率滿足的條件列式求參數(shù)；若不能直觀判斷兩條直線的斜率是否存在，運用斜率解題時要分情況討論，若用一般式的系數(shù)解題則無需討論．跟蹤訓(xùn)練3若直線l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求：a取何值時，l1∥l2，l1⊥l2.eq\x(命題角度2利用平行、垂直關(guān)系求點的坐標(biāo))例4已知四邊形ABCD的頂點B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2)．若四邊形ABCD為直角梯形，求A點坐標(biāo)．反思與感悟該題目通過數(shù)形結(jié)合，排除了∠C為直角的可能性．也可通過計算kCD·kBC＝0≠－1，說明∠C不可能為直角．跟蹤訓(xùn)練4已知矩形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四個頂點D的坐標(biāo)．1．若直線ax＋y＋1＝0與直線y＝3x－2平行，則實數(shù)a等于()A．－3B．－eq\f(1,3)C．3D.eq\f(1,3)2．直線l1的傾斜角為30°，直線l1⊥l2，則直線l2的斜率為()A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D．－eq\f(\r(3),3)3．在y軸上的截距為2，且與直線y＝－3x－4平行的直線的斜截式方程為________．4．經(jīng)過點B(3,0)且與直線2x＋y－5＝0垂直的直線方程為________．5．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點，若順次連接ABCD四點，試判定圖形ABCD的形狀．1．兩直線平行或垂直的判定方法．斜率直線斜率均不存在平行或重合一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行積為－1垂直2.與直線y＝kx＋b平行的直線可設(shè)為y＝kx＋c(c≠b)；與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線可設(shè)為Ax＋By＋D＝0(D≠C)．3．設(shè)直線l1：y＝k1x＋b1，直線l2：y＝k2x＋b2.若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，則l1⊥l2；已知兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1α1與α2之間的關(guān)系為α1＝α2；對于k1與k2之間的關(guān)系，當(dāng)α1＝α2≠90°時，k1＝k2，因為α1＝α2，所以tanα1＝tanα2，即k1＝k2.當(dāng)α1＝α2＝90°時，k1與k2不存在．思考2一定有l(wèi)1∥l2.因為k1＝k2?tanα1＝tanα2?α1＝α2?l1∥l2.梳理k1＝k2知識點二思考1設(shè)兩直線的傾斜角分別為α1，α2，若兩直線垂直，則|α1－α2|＝90°.思考2不一定．若一條直線的斜率為0，則與其垂直的直線斜率不存在．梳理0題型探究例1解(1)l1：y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(6,5)，l2：y＝－eq\f(3,5)x－eq\f(3,10).則k1＝－eq\f(3,5)，b1＝eq\f(6,5)，k2＝－eq\f(3,5)，b2＝－eq\f(3,10).∵k1＝k2，b1≠b2，∴l(xiāng)1∥l2.(2)l1：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(7,3)，l2：y＝－2x＋2.則k1＝eq\f(1,2)，k2＝－2，∵k1·k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.(3)∵直線l1，l2的斜率均不存在，且2≠4，∴l(xiāng)1∥l2.(4)∵直線l1的斜率k1＝0，直線l2斜率不存在，∴l(xiāng)1⊥l2.跟蹤訓(xùn)練1解(1)k1＝1，k2＝eq\f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2，∴l(xiāng)1∥l2或l1與l2重合．(2)k1＝eq\f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq\f(0－3,2－－1)＝－1，k1＝k2，數(shù)形結(jié)合知，l1∥l2.(3)k1＝－10，k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.(4)l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸；k2＝eq\f(40－40,10－－10)＝0，則l2∥x軸．∴l(xiāng)1⊥l2.例2解(1)方法一由已知直線l1：3x－2y－6＝0，得斜率k1＝eq\f(3,2)，∵已知直線l1與l平行，∴直線l的斜率k＝k1＝eq\f(3,2).由點斜式得直線l的方程為y＋1＝eq\f(3,2)(x－2)，即3x－2y－8＝0.方法二由直線l與直線3x－2y－6＝0平行，可設(shè)直線l的方程為3x－2y＋C＝0(C≠－6)，又點P(2，－1)在直線上，∴3×2－2×(－1)＋C＝0，∴C＝－8.故直線l的方程為3x－2y－8＝0.(2)方法一由直線l2：2x＋3y＋1＝0，得斜率k2＝－eq\f(2,3)，∵直線l垂直于l2，∴直線l的斜率k＝－eq\f(1,k2)＝eq\f(3,2)，直線l的點斜式方程為y＋1＝eq\f(3,2)(x－1)，故l的方程為3x－2y－5＝0.方法二設(shè)與直線l2：2x＋3y＋1＝0垂直的直線的方程為3x－2y＋C＝0.將點P(1，－1)代入直線方程，即3－2×(－1)＋C＝0，得C＝－5.∴所求直線的方程為3x－2y－5＝0.跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)直線的方程為2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，令x＝0，則直線在y軸上的截距為b＝－eq\f(λ,3)；令y＝0，則直線在x軸上的截距為a＝－eq\f(λ,2)，由a＋b＝－eq\f(λ,2)－eq\f(λ,3)＝eq\f(5,6)，得λ＝－1，所以所求直線l的方程為2x＋3y－1＝0.例3解(1)根據(jù)題意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝eq\f(5±\r(5),2).∴若這兩條直線垂直，則k＝eq\f(5±\r(5),2).(2)根據(jù)題意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5.經(jīng)檢驗，均符合題意．∴若這兩條直線平行，則k＝3或k＝5.跟蹤訓(xùn)練3解將直線l1化成斜截式方程y＝－eq\f(a,4)x＋eq\f(1,2)，當(dāng)a＝0時，l2的方程為x＝－1，l1的方程為y＝eq\f(1,2)，此時l1⊥l2；當(dāng)a≠0時，l2的斜截式方程為y＝－eq\f(1,a)x－eq\f(1,a).若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)＝－\f(1,a)，,\f(1,2)≠－\f(1,a)，))即a＝2時，l1∥l2；若－eq\f(a,4)·(－eq\f(1,a))＝－1，即eq\f(1,4)＝－1，矛盾，故l1與l2在a≠0時不垂直．綜上，當(dāng)a＝2時，l1∥l2；當(dāng)a＝0時，l1⊥l2.例4解①若∠A＝∠D＝90°，如圖(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．②若∠A＝∠B＝90°，如圖(2)．設(shè)A(a，b)，則kBC＝－3，kAD＝eq\f(b－2,a－1)，kAB＝eq\f(b＋1,a－6).由AD∥BC?kAD＝kBC，即eq\f(b－2,a－1)＝－3；①由AB⊥BC?kAB·kBC＝－1，即eq\f(b＋1,a－6)·(－3)＝－1.②解①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11,5)，))故A(eq\f(12,5)，－eq\f(11,5))．綜上所述，A點坐標(biāo)為(1，－1)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，－\f(11,5))).跟蹤訓(xùn)練4解設(shè)第四個頂點D的坐標(biāo)為(x，y)，因為AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,x－0)×\f(y－2,x－3)＝－1，,\f(y－1,x－0)＝\f(2－0,3－1)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))所以第四個頂點D的坐標(biāo)為(2,3)．當(dāng)堂訓(xùn)練1．A2.B3.y＝－3x＋24．x－2y－3＝05．解由題