相似三角形與全等三角形綜合練習(xí)一、引言：全等與相似的“特殊-一般”關(guān)系相似三角形與全等三角形是平面幾何的核心內(nèi)容，二者存在緊密的邏輯關(guān)聯(lián)——全等是相似的特殊情況（相似比\(k=1\)）。在綜合題中，二者常相互滲透：通過(guò)全等三角形獲得相等的邊或角，為相似三角形的判定提供條件；或通過(guò)相似三角形的比例關(guān)系，推導(dǎo)全等所需的邊相等。掌握二者的綜合應(yīng)用，能有效提升幾何邏輯推理能力與問(wèn)題解決能力。二、基礎(chǔ)回顧：全等與相似的判定及性質(zhì)梳理（一）全等三角形（CongruentTriangles）1.判定定理：SSS（三邊對(duì)應(yīng)相等）；SAS（兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等）；ASA（兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等）；AAS（兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等）；HL（直角三角形專(zhuān)用：斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等）。2.性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（中線(xiàn)、高、角平分線(xiàn)）相等、周長(zhǎng)相等、面積相等。（二）相似三角形（SimilarTriangles）1.判定定理：SSS相似（三邊對(duì)應(yīng)成比例）；SAS相似（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等）；AA相似（兩角對(duì)應(yīng)相等）。2.性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（中線(xiàn)、高、角平分線(xiàn)）成比例（比例等于相似比）、周長(zhǎng)比等于相似比、面積比等于相似比的平方。（三）關(guān)鍵聯(lián)系全等三角形是相似比為1的相似三角形，因此相似三角形的所有性質(zhì)均適用于全等三角形，但全等三角形的“相等”性質(zhì)（如對(duì)應(yīng)邊相等）是相似三角形的特例。三、綜合題型分類(lèi)與解題示例（一）類(lèi)型1：全等→相似的遞進(jìn)型問(wèn)題核心邏輯：通過(guò)全等三角形獲得相等的邊或角，為相似三角形的判定提供關(guān)鍵條件。示例：如圖，△ABC為等腰三角形（AB=AC），D為BC中點(diǎn)，E在AC上且AE=AD，連接DE。求證：△ABD∽△DCE。解題思路：1.第一步：證全等，得基礎(chǔ)條件D為BC中點(diǎn)→BD=CD；AB=AC（等腰三角形）；AD為公共邊。由SSS判定→△ABD≌△ACD。結(jié)論：∠BAD=∠CAD=?∠BAC（等腰三角形三線(xiàn)合一），∠ADB=∠ADC=90°（直角）。2.第二步：找相似條件，推導(dǎo)出角相等AE=AD→△ADE為等腰三角形→∠ADE=∠AED（底角相等）?！螦ED是△DCE的外角→∠AED=∠C+∠EDC（外角性質(zhì)）。又∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°→∠AED+∠EDC=90°（代入∠ADE=∠AED）。結(jié)合∠C=∠B（等腰三角形底角相等），∠B=90°-∠BAD（直角三角形兩銳角互余），可推導(dǎo)出∠EDC=∠BAD。3.第三步：證相似∠B=∠C（已證），∠BAD=∠EDC（已證）→由AA相似判定→△ABD∽△DCE。（二）類(lèi)型2：公共元素（邊/角）關(guān)聯(lián)型問(wèn)題核心邏輯：利用公共角、公共邊或隱含的相等元素（如對(duì)頂角、余角）作為橋梁，連接全等與相似三角形。示例：如圖，△ABC與△ADE均為等腰三角形（AB=AC，AD=AE），∠BAC=∠DAE，連接BD、CE交于點(diǎn)F。求證：（1）△ABD≌△ACE；（2）△BFC為等腰三角形。解題思路：1.證全等（第一問(wèn)）∠BAC=∠DAE→∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE→∠BAD=∠CAE（等式性質(zhì)）。AB=AC（已知），AD=AE（已知）→由SAS判定→△ABD≌△ACE。2.證等腰（第二問(wèn)）由（1）得∠ABD=∠ACE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。在△BFC中，∠FBC=∠ABC-∠ABD，∠FCB=∠ACB-∠ACE（角的差）。因AB=AC→∠ABC=∠ACB（等腰三角形底角相等）→∠FBC=∠FCB（等量代換）。結(jié)論：BF=CF（等角對(duì)等邊）→△BFC為等腰三角形。（三）類(lèi)型3：圖形變換中的綜合問(wèn)題（旋轉(zhuǎn)/平移/對(duì)稱(chēng)）核心邏輯：圖形變換（如旋轉(zhuǎn)）后，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角保持不變，可通過(guò)變換得到全等三角形，再結(jié)合相似條件解題。示例：將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接BD、CE交于點(diǎn)F。求證：△ABD∽△ACE。解題思路：1.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)后，AB=AD（對(duì)應(yīng)邊相等），AC=AE（對(duì)應(yīng)邊相等），∠BAD=∠CAE=90°（旋轉(zhuǎn)角相等）。2.證相似：△ABD與△ACE均為等腰直角三角形→∠ABD=∠ACE=45°（等腰直角三角形底角），∠BAD=∠CAE=90°（直角）。由AA相似判定→△ABD∽△ACE（相似比為\(AB/AC\)）。（四）類(lèi)型4：函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合問(wèn)題核心邏輯：用坐標(biāo)表示點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)關(guān)系式結(jié)合相似/全等的條件列方程求解。示例：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，D為BC上一點(diǎn)（CD=1），E為AB上一點(diǎn)，若△CDE∽△CBA，求點(diǎn)E坐標(biāo)。解題思路：1.求AB的函數(shù)解析式：設(shè)AB的解析式為\(y=kx+b\)，代入A(0,3)、B(4,0)得：\(b=3\)，\(4k+3=0\)→\(k=-?\)→AB的解析式為\(y=-?x+3\)。2.設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)：設(shè)E(x,y)，因E在AB上→\(y=-?x+3\)（約束條件）。3.利用相似條件列方程：△CDE∽△CBA→∠DCE=∠BCA=90°（對(duì)應(yīng)角相等），故相似比為\(CD/CB=CE/CA\)（對(duì)應(yīng)邊成比例）。CD=1，CB=4（BC長(zhǎng)為4），CA=3（CA長(zhǎng)為3）→\(1/4=CE/3\)→CE=3/4。CE為點(diǎn)E到C(0,0)的距離→\(x2+y2=(3/4)2\)（距離公式）。4.聯(lián)立方程求解：將\(y=-?x+3\)代入\(x2+y2=9/16\)，解得：\(x2+(-?x+3)2=9/16\)→展開(kāi)后求解（具體值略），得到點(diǎn)E坐標(biāo)。四、解題策略總結(jié)：從“條件”到“結(jié)論”的路徑（一）找“公共元素”，建立聯(lián)系優(yōu)先關(guān)注題目中的公共角、公共邊或隱含的相等元素（如對(duì)頂角、余角），這些元素是連接全等與相似的關(guān)鍵。例如，公共角可作為相似三角形的“夾角”條件（SAS相似）。（二）用“圖形變換”，轉(zhuǎn)化條件遇到旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱(chēng)等變換問(wèn)題，先利用變換性質(zhì)（如旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）得到全等三角形，再結(jié)合相似條件解題。例如，旋轉(zhuǎn)后的等腰直角三角形可直接證相似（AA相似）。（三）從“結(jié)論倒推”，逆向思維若直接證相似或全等困難，可從結(jié)論出發(fā)，逆向思考需要的條件。例如，要證△ABC∽△DEF，需找“兩角相等”或“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”，再?gòu)念}目中尋找或推導(dǎo)這些條件。（四）結(jié)合“性質(zhì)計(jì)算”，驗(yàn)證結(jié)果通過(guò)相似或全等的性質(zhì)（如面積比、周長(zhǎng)比、對(duì)應(yīng)線(xiàn)段比）進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證結(jié)論的正確性。例如，相似比為2時(shí)，面積比應(yīng)為4，若計(jì)算結(jié)果不符，則需檢查判定過(guò)程。五、易錯(cuò)點(diǎn)提醒：避免“低級(jí)錯(cuò)誤”的關(guān)鍵（一）混淆全等與相似的判定條件錯(cuò)誤示例：認(rèn)為“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一邊的對(duì)角相等”可證相似（類(lèi)似全等的SSA）。正確做法：相似的判定中，“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”（SAS相似）才有效，對(duì)角相等不成立。（二）忽略相似比的“順序性”錯(cuò)誤示例：若△ABC∽△DEF，相似比為2，則認(rèn)為△DEF∽△ABC的相似比也為2。正確做法：相似比是對(duì)應(yīng)邊的比，順序相反則相似比為倒數(shù)（△DEF∽△ABC的相似比為1/2）。（三）忘記“面積比是相似比的平方”錯(cuò)誤示例：若相似比為2，則面積比為2。正確做法：面積比=相似比2（即4）。（四）公共角/邊的“誤用”錯(cuò)誤示例：在△ABC和△DBC中，認(rèn)為公共邊BC是對(duì)應(yīng)邊，直接用SSS證全等。正確做法：公共邊是否為對(duì)應(yīng)邊需看角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，若∠ABC≠∠DBC，則BC不是對(duì)應(yīng)邊。六、鞏固練習(xí)：典型題目與提示（一）基礎(chǔ)題1.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E為AC上一點(diǎn)，CE=CD，連接BE交CD于F。求證：△CEF∽△CAB。提示：先證∠CEF=∠CAB（余角性質(zhì)：∠CEF=∠CDF，∠CDF=∠CAB），再證∠ECF=∠ACB=90°（AA相似）。（二）中檔題2.如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，且AE=AD，連接DE。求證：△ABD∽△DCE。提示：等邊三角形性質(zhì)→AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°；D為中點(diǎn)→AD⊥BC（三線(xiàn)合一）；利用等腰三角形性質(zhì)（AE=AD）推導(dǎo)角相等。（三）難題3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,2)，B(3,0)，C(0,0)，D為BC上一點(diǎn)（BD=1），E為AB上一點(diǎn)，若△BDE∽△BCA，求點(diǎn)E坐標(biāo)。提示：先求AB解析式（\(y=-\frac{2}{3}x+2\)）；設(shè)E(x,y)，利用相似條件（如\(BD/BC=BE/BA\)）列方程求解。七、總結(jié)：綜合練習(xí)