高中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習資料及題庫一、函數(shù)專題復(fù)習資料（一）函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的定義函數(shù)是非空數(shù)集之間的特殊映射：設(shè)\(A,B\)為非空數(shù)集，若對\(A\)中任意一個數(shù)\(x\)，通過對應(yīng)法則\(f\)，在\(B\)中存在唯一確定的數(shù)\(y\)與之對應(yīng)，則稱\(f:A\toB\)為從\(A\)到\(B\)的函數(shù)，記為\(y=f(x)\)（\(x\inA\)）。定義域：自變量\(x\)的取值范圍（\(A\)），即函數(shù)有意義的\(x\)的集合。值域：函數(shù)值\(y\)的取值范圍（\(f(A)\subseteqB\)）。對應(yīng)法則：\(x\)到\(y\)的映射規(guī)則（如表達式、圖像、表格等）。2.定義域的求法常見限制條件：分式：分母不為零（如\(f(x)=\frac{1}{x-2}\)，定義域\(x\neq2\)）；偶次根式：被開方數(shù)非負（如\(f(x)=\sqrt{x-1}\)，定義域\(x\geq1\)）；對數(shù)函數(shù)：真數(shù)大于零，底數(shù)大于0且不等于1（如\(f(x)=\log_a(x+1)\)，定義域\(x>-1\)，\(a>0\)且\(a\neq1\)）；三角函數(shù)：\(\tanx\)的定義域為\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），\(\cotx\)的定義域為\(x\neqk\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）；復(fù)合函數(shù)：若\(f(x)\)的定義域為\([a,b]\)，則\(f(g(x))\)的定義域需滿足\(a\leqg(x)\leqb\)。3.值域的求法配方法：適用于二次函數(shù)（如\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，值域\([2,+\infty)\)）；換元法：適用于無理函數(shù)、三角函數(shù)（如\(y=\sqrt{x-1}+x\)，令\(t=\sqrt{x-1}\geq0\)，則\(y=t+t^2+1=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)，值域\([1,+\infty)\)）；判別式法：適用于分式二次函數(shù)（如\(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)，變形為\((y-1)x^2-(y+1)=0\)，\(\Delta\geq0\)得\(y\neq1\)，值域\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)）；單調(diào)性法：適用于單調(diào)函數(shù)（如\(y=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)遞減，\([1,+\infty)\)遞增，值域\([2,+\infty)\)）；導(dǎo)數(shù)法：適用于一般函數(shù)（通過求導(dǎo)找極值，確定值域）。（二）函數(shù)的基本性質(zhì)1.單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對任意\(x_1<x_2\inI\)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)（遞增）或\(f(x_1)>f(x_2)\)（遞減），則稱\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)。判定方法：定義法：任取\(x_1<x_2\)，比較\(f(x_1)-f(x_2)\)的符號；導(dǎo)數(shù)法：若\(f(x)\)在\(I\)上可導(dǎo)，\(f'(x)>0\)則遞增，\(f'(x)<0\)則遞減；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：“同增異減”（如\(y=f(g(x))\)，若\(f\)與\(g\)單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)遞增；反之遞減）。2.奇偶性定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)定義域關(guān)于原點對稱，若\(f(-x)=f(x)\)（偶函數(shù)），或\(f(-x)=-f(x)\)（奇函數(shù)），則稱\(f(x)\)具有奇偶性。性質(zhì)：偶函數(shù)圖像關(guān)于\(y\)軸對稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱；奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。3.周期性定義：若存在非零常數(shù)\(T\)，使得對任意\(x\)，都有\(zhòng)(f(x+T)=f(x)\)，則稱\(f(x)\)為周期函數(shù)，\(T\)為周期（最小正周期為最小正數(shù)\(T\)）。常見周期函數(shù)：\(\sinx\)、\(\cosx\)周期為\(2\pi\)，\(\tanx\)周期為\(\pi\)。4.對稱性軸對稱：\(f(a+x)=f(a-x)\)，圖像關(guān)于直線\(x=a\)對稱（如\(f(x)=x^2\)關(guān)于\(x=0\)對稱）；中心對稱：\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)，圖像關(guān)于點\((a,b)\)對稱（如\(f(x)=x^3\)關(guān)于原點\((0,0)\)對稱）。（三）常見函數(shù)類型1.一次函數(shù)形式：\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）；圖像：直線，斜率為\(k\)，截距為\(b\)；性質(zhì)：\(k>0\)遞增，\(k<0\)遞減；值域\(\mathbb{R}\)。2.二次函數(shù)形式：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），頂點式\(y=a(x-h)^2+k\)（頂點\((h,k)\)）；圖像：拋物線，\(a>0\)開口向上，\(a<0\)開口向下；性質(zhì)：對稱軸\(x=h=-\frac{2a}\)，最值\(k=\frac{4ac-b^2}{4a}\)；零點：\(\Delta=b^2-4ac>0\)有兩個實根，\(\Delta=0\)有一個實根，\(\Delta<0\)無實根。3.指數(shù)函數(shù)形式：\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）；圖像：過點\((0,1)\)，\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減；性質(zhì)：定義域\(\mathbb{R}\)，值域\((0,+\infty)\)；\(a^x>0\)恒成立。4.對數(shù)函數(shù)形式：\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）；圖像：過點\((1,0)\)，\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減；性質(zhì)：定義域\((0,+\infty)\)，值域\(\mathbb{R}\)；\(\log_a1=0\)，\(\log_aa=1\)。5.冪函數(shù)形式：\(y=x^\alpha\)（\(\alpha\)為實數(shù)）；圖像與性質(zhì)：\(\alpha>0\)：過點\((0,0)\)、\((1,1)\)，\((0,+\infty)\)遞增（如\(y=x^2\)、\(y=x^{1/2}\)）；\(\alpha<0\)：過點\((1,1)\)，\((0,+\infty)\)遞減（如\(y=x^{-1}\)）。（四）函數(shù)的圖像變換1.平移變換左加右減（\(x\)軸方向）：\(y=f(x)\toy=f(x+a)\)（\(a>0\)向左平移\(a\)個單位）；上加下減（\(y\)軸方向）：\(y=f(x)\toy=f(x)+b\)（\(b>0\)向上平移\(b\)個單位）。2.伸縮變換橫坐標伸縮：\(y=f(x)\toy=f(kx)\)（\(k>0\)，橫坐標變?yōu)樵瓉淼腬(\frac{1}{k}\)倍）；縱坐標伸縮：\(y=f(x)\toy=Af(x)\)（\(A>0\)，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腬(A\)倍）。3.對稱變換關(guān)于\(x\)軸對稱：\(y=f(x)\toy=-f(x)\)；關(guān)于\(y\)軸對稱：\(y=f(x)\toy=f(-x)\)；關(guān)于原點對稱：\(y=f(x)\toy=-f(-x)\)；翻折變換：\(y=f(|x|)\)（保留右半部分，左半部分對稱），\(y=|f(x)|\)（保留上半部分，下半部分翻折到上方）。（五）函數(shù)與方程1.函數(shù)的零點定義：\(f(x)=0\)的實數(shù)解，即函數(shù)圖像與\(x\)軸交點的橫坐標；零點存在定理：若\(f(x)\)在\([a,b]\)連續(xù)，且\(f(a)f(b)<0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)至少有一個零點。2.二次方程根的分布設(shè)方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a>0\)）的兩根為\(x_1,x_2\)，則：兩根都小于\(m\)：\(\Delta\geq0\)，\(-\frac{2a}<m\)，\(f(m)>0\)；兩根都大于\(m\)：\(\Delta\geq0\)，\(-\frac{2a}>m\)，\(f(m)>0\)；一根小于\(m\)，一根大于\(m\)：\(f(m)<0\)；兩根在\((m,n)\)內(nèi)：\(\Delta\geq0\)，\(m<-\frac{2a}<n\)，\(f(m)>0\)，\(f(n)>0\)。（六）函數(shù)的應(yīng)用1.常見模型一次函數(shù)：線性增長/減少（如路程=速度×時間）；二次函數(shù)：最值問題（如利潤=收入-成本）；指數(shù)函數(shù)：指數(shù)增長/衰減（如人口增長、放射性衰變）；對數(shù)函數(shù)：對數(shù)增長（如學(xué)習曲線、反應(yīng)時間）；冪函數(shù)：比例關(guān)系（如面積與邊長的平方）。2.解決步驟審題：確定變量與常量；建模：建立函數(shù)關(guān)系式；求模：求函數(shù)的最值或解；驗證：是否符合實際意義。二、函數(shù)專題題庫（一）基礎(chǔ)題（難度：★☆☆）1.求定義域題目：求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{2x-1}+\frac{1}{x-1}\)的定義域。解析：需滿足\(2x-1\geq0\)且\(x-1\neq0\)，解得\(x\geq\frac{1}{2}\)且\(x\neq1\)。答案：\([\frac{1}{2},1)\cup(1,+\infty)\)。2.判斷奇偶性題目：判斷函數(shù)\(f(x)=x^2+\cosx\)的奇偶性。解析：定義域\(\mathbb{R}\)，\(f(-x)=(-x)^2+\cos(-x)=x^2+\cosx=f(x)\)。答案：偶函數(shù)。3.圖像變換題目：將函數(shù)\(y=\log_2x\)的圖像向左平移2個單位，再向上平移1個單位，求所得函數(shù)的解析式。解析：左移2個單位得\(y=\log_2(x+2)\)，上移1個單位得\(y=\log_2(x+2)+1\)。答案：\(y=\log_2(x+2)+1\)。4.求值域題目：求函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+5\)在區(qū)間\([0,3]\)上的值域。解析：頂點式\(f(x)=(x-2)^2+1\)，頂點在\(x=2\)，\(f(2)=1\)；端點\(f(0)=5\)，\(f(3)=2\)。答案：\([1,5]\)。（二）中檔題（難度：★★☆）1.利用奇偶性求參數(shù)題目：已知函數(shù)\(f(x)=ax^3+bx+2\)是奇函數(shù)，且\(f(1)=3\)，求\(a,b\)的值。解析：奇函數(shù)滿足\(f(-x)=-f(x)\)，即\(-ax^3-bx+2=-(ax^3+bx+2)\)，化簡得\(2=-2\)？不對，應(yīng)為\(f(-x)=-f(x)\)，即\(-ax^3-bx+2=-(ax^3+bx+2)\)，得\(2=-2\)，說明常數(shù)項應(yīng)為0，原題應(yīng)為\(f(x)=ax^3+bx\)（奇函數(shù)），\(f(1)=a+b=3\)，若補充\(f(-1)=-3\)，則\(-a-b=-3\)，恒成立，故\(a+b=3\)（答案不唯一，如\(a=1,b=2\)）。2.函數(shù)與方程結(jié)合題目：已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)，求方程\(f(x)=5\)的解。解析：令\(x^2-2x+3=5\)，即\(x^2-2x-2=0\)，解得\(x=1\pm\sqrt{3}\)。答案：\(x=1+\sqrt{3}\)或\(x=1-\sqrt{3}\)。3.單調(diào)性與最值題目：已知函數(shù)\(f(x)=2^x+2^{-x}\)，判斷其在\([0,+\infty)\)上的單調(diào)性，并求最小值。解析：任取\(x_1<x_2\in[0,+\infty)\)，\(f(x_2)-f(x_1)=2^{x_2}+2^{-x_2}-2^{x_1}-2^{-x_1}=(2^{x_2}-2^{x_1})+\frac{2^{x_1}-2^{x_2}}{2^{x_1}2^{x_2}}=(2^{x_2}-2^{x_1})(1-\frac{1}{2^{x_1+x_2}})\)，因為\(x_2>x_1\geq0\)，所以\(2^{x_2}>2^{x_1}\geq1\)，\(1-\frac{1}{2^{x_1+x_2}}>0\)，故\(f(x_2)>f(x_1)\)，遞增；最小值\(f(0)=2^0+2^0=2\)。答案：遞增，最小值2。（三）壓軸題（難度：★★★）1.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性題目：已知函數(shù)\(f(x)=\log_a(x^2-2x+3)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），求其單調(diào)遞增區(qū)間。解析：令\(t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，則\(t\geq2\)，且\(t\)在\((-\infty,1]\)遞減，\([1,+\infty)\)遞增；當\(a>1\)時，\(f(x)=\log_at\)遞增，故復(fù)合函數(shù)遞增區(qū)間為\(t\)的遞增區(qū)間\([1,+\infty)\)；當\(0<a<1\)時，\(f(x)=\log_at\)遞減，故復(fù)合函數(shù)遞增區(qū)間為\(t\)的遞減區(qū)間\((-\infty,1]\)。答案：\(a>1\)時，\([1,+\infty)\)；\(0<a<1\)時，\((-\infty,1]\)。2.函數(shù)的最值（導(dǎo)數(shù)法）題目：求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值和最小值。解析：求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)；計算端點與極值點函數(shù)值：\(f(-1)=-1-3+2=-2\)，\(f(0)=0-0+2=2\)，\(f(2)=8-12+2=-2\)，\(f(3)=27-27+2=2\)；答案：最大值2，最小值-2。3.函數(shù)與方程綜合題目：已知函數(shù)\(f(x)=e^x-x-1\)，求證：\(f(x)\geq0\)對任意\(x\in\mathbb{R}\)成立。解析：求導(dǎo)得\(f'(x)=e^x-1\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)；當\(x<0\)時，\