第6章離散信號(hào)與系統(tǒng)的z域分析6.1Z變換6.2Z變換的性質(zhì)6.3Z反變換系統(tǒng)6.4Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系6.5離散系統(tǒng)的z域分析6.6系統(tǒng)函數(shù)H(z)與系統(tǒng)特性6.7離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性6.8離散系統(tǒng)的z域模擬和信號(hào)流圖習(xí)題6

在離散信號(hào)與系統(tǒng)的分析中，也可以用變換法進(jìn)行分析，即Z變換。在分析連續(xù)系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)過拉普拉斯變換將微分方程變換為代數(shù)方程，從而使得分析簡(jiǎn)化。在分析離散系統(tǒng)

時(shí)，Z變換的地位和作用類似于連續(xù)系統(tǒng)中的拉普拉斯變換，利用Z變換把差分方程變換為代數(shù)方程，從而使離散系統(tǒng)的分析大為簡(jiǎn)化。

本章介紹離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)z域分析法的一些基本理論，主要內(nèi)容包括引出Z變換的原因、離散時(shí)間信號(hào)的Z變換、LTI離散系統(tǒng)的z域分析。

6.1Z變換

為了便于理解，這里不妨從拉普拉斯變換推演出Z變換，本節(jié)首先給出Z變換的定義

6.1.1Z變換的定義

用沖激序列對(duì)連續(xù)信號(hào)f(t)進(jìn)行取樣，則可得取樣信號(hào)為

這樣就得到了時(shí)間離散化形式的信號(hào)。

對(duì)fs(t)進(jìn)行拉普拉斯變換為

定義f(k)的Z變換F(z)為

記為

f(k)的Z變換是f(k)的理想抽樣信號(hào)fs

(t)的拉普拉斯變換Fs

(s)將變量s通過z=esT

代換的結(jié)果。

若f(k)為因果序列(k≥0時(shí)，才有f(k)≠0)，則

在(-∞，∞)中進(jìn)行Z變換，稱為雙邊Z

變換，實(shí)用中，信號(hào)為因果信號(hào)，系統(tǒng)也為因果系統(tǒng)，則在(0，∞)中進(jìn)行響應(yīng)的變換，稱為單邊Z

變換。單邊Z

變換用得較多，所以在無特別說明時(shí)，Z變換一般就是指單邊變換。正如在拉普拉斯變換情況所看到的，由于雙邊拉普拉斯變換的不唯一性，雙邊變換要復(fù)雜一些。與此相反，單邊變換有唯一的反變換。這就簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的分析。

式(6.1－3)中，F(xiàn)(z)稱為序列f(k)的象函數(shù)，f(k)稱為F(z)的原函數(shù)。若F(z)已知，根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論，原函數(shù)f(k)可由下式確定

式(6.1－5)稱為F(z)的反(逆)變換，可記為f(k)=Z

-1[F(z)]，它與式(6.1－3)構(gòu)成Z變換對(duì)。

6.1.2Z變換的收斂域

式(6.1－4)表明F(z)實(shí)際上是變量z-1的冪級(jí)數(shù)

只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂時(shí)，f(k)的Z變換才有意義。根據(jù)級(jí)數(shù)理論，式(6.1－6)收斂的充分必要條件是F(z)絕對(duì)可和，即

式(6.1－7)是離散信號(hào)f(k)的Z變換存在的充分必要條件，滿足該條件的z的取值范圍稱為Z變換的收斂域(ROC)。

下面通過些簡(jiǎn)單的例子來說明不同類型序列的收斂域。

【例6.1－1】試求序列f(k)=akε(k)的Z變換及Z變換的收斂域。

解根據(jù)Z變換定義式，可得圖6－1例6.1－1Z變換的收斂域圖6.1－2例6.1－2Z變換的收斂域

從例6.1－1和例6.1－2可知，兩個(gè)序列的Z變換

可能一樣，但是原函數(shù)相差很大，主要區(qū)別在于收斂域

不同。因此，表明收斂域是很重要的。

【例6.1－3】試求序列的Z變換及

Z變換的收斂域。

解根據(jù)Z變換定義式，可得

此例說明，f(k)各子信號(hào)的Z變換存在不同收斂域時(shí)，取其公共部分為其收斂域。若無公共收斂域，Z變換則不存在。

對(duì)于單邊Z變換，反變換是唯一的，確定反變換不必標(biāo)出收斂域。所以在單邊Z變換中一般不給出收斂域。

6.1.3典型離散信號(hào)的Z變換

1.單位序列δ(k)

單位函數(shù)的Z變換等于1，收斂域?yàn)檎麄€(gè)Z平面。

2.單位階躍序列ε

(k)

3.單邊指數(shù)序列akε(k)

4.單邊虛指數(shù)序列e±jβkTε(k)

表6－1列出了一些常見序列的Z變換。

6.2Z變換的性質(zhì)

根據(jù)Z變換的定義可以推導(dǎo)出許多性質(zhì)，這些性質(zhì)可以幫助我們由一些典型序列的Z變換導(dǎo)出復(fù)雜序列的Z變換，從而簡(jiǎn)化Z變換及Z反變換的運(yùn)算。Z變換的性質(zhì)表示函數(shù)序列在時(shí)域的性質(zhì)和在Z域的性質(zhì)之間的關(guān)系，其中有不少可和拉普拉斯變換的性質(zhì)相對(duì)應(yīng)。

我們所討論的是單邊Z變換，如果F(z)收斂，它必然是在某一圓外，所不同的是圓的大小。因此，如無特殊需要，我們都省去對(duì)它的收斂域的標(biāo)注。

1.線性性質(zhì)

若f1(k)?F1(z)，f2(k)?F2(z)，則對(duì)任意常數(shù)a、b有

由Z變換的定義式很容易證明線性性質(zhì)。顯然，Z變換是一種線性運(yùn)算，它具有疊加性和齊次性。

2.移位性(移序性)

若f(k)?F(z)，則

推廣

證明

令n=k-m，于是有

用k代替變量n，有

所以有

這一性質(zhì)又稱為右移序性質(zhì)。

依照同樣的方法可以證明

這一性質(zhì)又稱為左移序性質(zhì)。

對(duì)于單邊序列，因?yàn)閒(-1)=0，f(-2)=0，…可得右移位特性

【例6.2－1】求離散信號(hào)f(k)=δ(k-1)+δ(k+2)的Z變換。

解因?yàn)棣?k)只在k=0時(shí)不為零，由式(6.22)和(6.25)可得:

所以

由此，可推廣

【例6.2－2】

單邊Z變換。

解

或者

或者．

【例6.2－3】已知單邊周期序列

其中m、N為正整數(shù)，N為周期序列的周期，若設(shè)f1(k)?F1(z)，求序列f(k)的Z變換。

解設(shè)第一個(gè)周期所代表的序列為f1(k)ε(k)，則f(k)可以表示為

可得

3.尺度變換

若f(k)?F(z)，則

證明由Z變換的定義式可得

【例6.2－4】已知

解由尺度變換得

4.z域微分性質(zhì)

若f(k)?F(z)，則

證明由Z變換的定義式

上式對(duì)z求導(dǎo)得

即

可將式(6.2－11)推廣得

5.時(shí)域卷積定理

證明

根據(jù)序列f2(得

時(shí)域卷積定理是Z域求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的理論基礎(chǔ)。

6.序列求和的Z變換

若f(k)?F(z)，則

證明任意序列與單位階躍序列ε(k)作卷積得

而由時(shí)域卷積定理得

即

7.初值定理

若f(k)?F(z)，則

證明由Z變換定義知

當(dāng)z→∞，上式右邊除第一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都趨于零，所以

另外，由Z變換定義減去f(0)并乘以Z，有

8.終值定理

若f(k)?F(z)，且f(∞)存在，則

證明根據(jù)Z變換的線性性質(zhì)和移位性

由Z變換定義

所以

對(duì)上式兩端取極限，令z→1

所以

在應(yīng)用終值定理時(shí)，為了保證f(∞)的存在，(z-1)F(z)的極點(diǎn)必須限制在單位圓內(nèi)，即F(z)的極點(diǎn)必須是單位圓內(nèi)和單位圓上z=1的單極點(diǎn)，否則f(∞)不存在。

6.3Z反變換

在離散系統(tǒng)的分析中，常常要從Z域的象函數(shù)F(z)中求出原序列f(k)，也就是作Z反變換。Z反變換可利用式(6.1－5)來進(jìn)行，也可以直接通過查閱Z變換表完成，但很多時(shí)候，F(xiàn)(z)為z的有理函數(shù)，變換表中的變換式往往很有限，難以適應(yīng)實(shí)際應(yīng)用中多種多樣的變換式。這里主要介紹兩種Z反變換的方法:冪級(jí)數(shù)展開法和部分分式展開法。

1.冪級(jí)數(shù)展開法(長(zhǎng)除法)

根據(jù)Z變換的定義，F(xiàn)(z)可展開成冪級(jí)數(shù)的形式

則該級(jí)數(shù)的各系數(shù)就是序列f(k)的值，即

F(z)一般為變量z的有理分式，展開為冪級(jí)數(shù)時(shí)，可以用代數(shù)學(xué)中的長(zhǎng)除法，即將分子和分母多項(xiàng)式按z的降冪排列，然后將分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式所得的商式，即為

z-1的冪級(jí)數(shù)。

在實(shí)用中，如果只需要求序列的前幾個(gè)值，長(zhǎng)除法就很方便。使用長(zhǎng)除法的缺點(diǎn)是不易求得閉合表示式。

解

2.部分分式展開法

與拉普拉斯反變換類似，Z反變換也可以采用部分分式展開法。

若F(z)為有理式

式中，m≤n，N(z)為F(z)的分子多項(xiàng)式，D(z)為F(z)的分子多項(xiàng)式。

由于Z變換最基本的形式是1和所以，通常不是直接展開F(z)，而是展開然后，每個(gè)部分分式再乘以z。這時(shí)，展開為

展開的方法與第四章中F(s)展開的方法相同，且保證展開的部分為真分式。使得分母多項(xiàng)式D(z)=0的n個(gè)根，稱為F(z)的極點(diǎn)，一般有以下幾種情況。

(1)F(z)的根為單實(shí)極點(diǎn)。

如果F(z)有n個(gè)非零極點(diǎn)pii=(1，2，…，n)，則

可展開為

若q為3，系數(shù)A1i的表達(dá)式為

利用Z反變換，得

即可得到原序列。

除了以上的兩種極點(diǎn)以外，F(xiàn)(z)的根也可能出現(xiàn)復(fù)極點(diǎn)，若為共軛復(fù)單極點(diǎn)，仍可按單實(shí)極點(diǎn)一樣進(jìn)行變換，且部分分式系數(shù)必共軛;若為共軛復(fù)重極點(diǎn)，則按重極點(diǎn)處理，其部分分式系統(tǒng)亦必共軛。

6.4Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系

在本章第1節(jié)中，我們已經(jīng)得知，Z變換的定義可以利用取樣信號(hào)fs(t)的拉普拉斯變換引出來，再將其拉普拉斯變換fs(t)中的變量用z=esT做替代，便得到離散序列f(kT)的Z變換F(z)。因此，與因果連續(xù)信號(hào)f(t)同規(guī)律的離散序列f(k)，在s域中的拉普拉斯變換與在z域中的Z變換也應(yīng)具有對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)換。

若f(t)?F(s)，則

取t=kT，得

則

可見，可以直接由連續(xù)信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換F(s)求出響應(yīng)的離散序列f(kT)的Z變換F(z)。式(6.45)可以用留數(shù)定理來計(jì)算，即

式中，si

是F(s)的極點(diǎn)。若將si帶入上式，就可以得到F(z)的極點(diǎn)z=esiT

。Z變換和拉普拉斯變換間的關(guān)系也可由兩者的z平面和s平面極點(diǎn)間的映射關(guān)系來討論。

將s平面的極點(diǎn)si=σ+jω代入zi=esiT

，則

故

這就表示出了z平面中極點(diǎn)的模和輻角分別與s平面中極點(diǎn)的實(shí)部和虛部的關(guān)系。

若σ=0、ω=0，則z=1，θ=0，即s平面的原點(diǎn)s=0映射到z平面z=1;

若σ=0，則z=1，即位于s平面的虛軸上的極點(diǎn)映射到z平面的單位圓上;

若σ<0，則z<1，即位于s平面左半平面的極點(diǎn)映射到z平面的單位圓內(nèi);

若σ>0，則z>1，即位于s平面右半平面的極點(diǎn)映射到z平面的單位圓外。

s平面和z平面的映射關(guān)系如圖6.4－1所示。圖6.4－1s平面與z平面的映射關(guān)系

需要注意，s平面中的單極點(diǎn)映射到z平面中并不一定是單極點(diǎn)，因?yàn)閟平面中具有同樣實(shí)部而虛部相差2π/T(或2π/T的整數(shù)倍)的兩個(gè)極點(diǎn)映射到z平面中的極點(diǎn)卻是相同的。這就是說，s平面與z平面的映射關(guān)系并不是唯一的。

圖6.4－1中，s平面的極點(diǎn)a和b分別映射到z平面中的a'和b';s平面中的極點(diǎn)c、d和e具有相同的實(shí)部，而虛部相差2π/T(或2π/T的整數(shù)倍)，映射到z平面的同一點(diǎn)c'=d'=e'。

【例6.4－2】已知f(t)=cosω0tε(t)，試求相應(yīng)的離散信號(hào)f(kT)=cos(ω0kT)ε(kT)的Z變換F(z)。

解

這與Z變換求得的結(jié)果完全一致。

6.5離散系統(tǒng)的z域分析

用Z變換的方法分析離散時(shí)間系統(tǒng)稱為Z域分析，它與連續(xù)系統(tǒng)的拉普拉斯分析相類似。首先把時(shí)間域的差分方程變換為Z域的代數(shù)方程，在Z域中求得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，以及全響應(yīng)，再結(jié)合Z變換的性質(zhì)等進(jìn)行Z反變換得到期望的時(shí)域解。本章討論LTI因果離散系統(tǒng)的Z變換分析法。

1.零輸入響應(yīng)

現(xiàn)以二階系統(tǒng)為例，設(shè)線性非時(shí)變系統(tǒng)的輸入為x(k)，響應(yīng)為y(k)，則可用線性常系數(shù)差分方程描述系統(tǒng)，即

由于是求取零輸入響應(yīng)，所以令輸入信號(hào)x(k)=0，得到一個(gè)齊次差分方程

式中，yzi

(k)即為零輸入響應(yīng)，利用移位性質(zhì)對(duì)齊次差分方程作Z變換

對(duì)Yzi(z)進(jìn)行Z反變換

即得零輸入響應(yīng)

需要說明的是，若計(jì)算所需的初始條件不是已知的零輸入初始條件時(shí)，可以用遞推的方法將已知的初始條件代入相應(yīng)的齊次差分方程中，即可得到所需的初始條件。

比如在例6.5－1中，如果已知的初始條件為yzi(1)=2，yzi(2)=3，而計(jì)算所需的初始條件為yzi(0)和yzi(1)。這時(shí)，將yzi(1)=2，yzi(2)=3代入原齊次差分方程中，并取k=0，得yzi(2)-5yzi(1)+6yzi(0)=0，故得yzi(0)=76，這樣便可按上述方法繼續(xù)求取零輸入響應(yīng)。

2.零狀態(tài)響應(yīng)

在離散系統(tǒng)的時(shí)域分析中，零狀態(tài)響應(yīng)是沖激響應(yīng)與輸入信號(hào)的卷積和，即

根據(jù)時(shí)域卷積定理，有

式中，為離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，顯然沖激響應(yīng)h(k)與系統(tǒng)函數(shù)H(z)為Z變換對(duì)，即h(k)?H(z)，在時(shí)域中h(k)表征了系統(tǒng)的特性;在Z域中，系統(tǒng)函數(shù)H(z)表征了系統(tǒng)的特性。

【例6.5－2】求離散系統(tǒng)y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=x(k+2)-3x(k)的零狀態(tài)響應(yīng)。已知輸入信號(hào)x(

k)=ε(k)。

解求零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(k)，此時(shí)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零。

對(duì)方程兩端作Z變換

求其反變換得零狀態(tài)響應(yīng)

3.全響應(yīng)

如果已知系統(tǒng)的零輸入初始條件，求全響應(yīng)時(shí)，可分別求得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，兩者疊加即得到全響應(yīng)。

但是，如果已知的是系統(tǒng)全響應(yīng)初始條件，分開求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)相對(duì)麻煩一些，需要先求出零狀態(tài)響應(yīng)，得到零狀態(tài)的初始條件，再用全響應(yīng)初始條件減去零狀

態(tài)初始條件，從而得到零輸入初始條件，便可求出零輸入響應(yīng)。最后，兩者疊加即得到全響應(yīng)。所以，在已知系統(tǒng)全響應(yīng)初始條件時(shí)，我們通常采用的方法是對(duì)差分方程直接進(jìn)行

Z變換，將全響應(yīng)初始條件和激勵(lì)的Z變換一起代入計(jì)算，直接求得全響應(yīng)。

【例6.5－3】離散系統(tǒng)y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=x(k+2)-3x(k)，已知零輸入初始條件yzi(0)=2，yzi

(1)=3，輸入信號(hào)x(k)=ε(k)，求全響應(yīng)。

解題目中已知零輸入初始條件，分別求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。

由例6.5－1得零輸入響應(yīng)

由例6.5－2得零狀態(tài)響應(yīng)

全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加，即

【例6.5－4】離散系統(tǒng)y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=x(k+2)-3x(k)，已知全響應(yīng)初始條件y(0)=2，y(1)=3，輸入信號(hào)x(k)=ε(k)，求全響應(yīng)。

解題目中已知全響應(yīng)初始條件，對(duì)方程兩端直接作Z變換

整理得

對(duì)Y(z)作Z反變換，得全響應(yīng)為

6.6系統(tǒng)函數(shù)H(z)與系統(tǒng)特性

與連續(xù)系統(tǒng)中的系統(tǒng)函數(shù)類似，離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)在離散系統(tǒng)分析中也非常重要。

6.6.1系統(tǒng)函數(shù)H(z)的定義

若線性離散時(shí)不變系統(tǒng)輸入信號(hào)為x(k)，響應(yīng)為y(k)，其n階前向方程為

當(dāng)輸入信號(hào)為因果信號(hào)，在零狀態(tài)下，對(duì)方程兩端做Z變換，可得到

式中，零狀態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)的Z變換之比為系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

同理，若描述線性離散時(shí)不變系統(tǒng)的n階后向方程為

則系統(tǒng)函數(shù)為

由此可見，系統(tǒng)函數(shù)H(z)僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)無關(guān)。一旦差分方程給定了，H(z)便立即確定了。

由前所述，根據(jù)時(shí)域卷積定理可知，系統(tǒng)函數(shù)H(z)與單位函數(shù)響應(yīng)h(k)為Z變換對(duì)，即h(k)?H(z)。

【例6.6－1】已知系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)為h(k)=2δ(k)+(3k-2k)ε(k-1)，試列寫出描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程。

解由

得

于是得到差分方程為

6.6.2由系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的時(shí)域特性

由6.6－1節(jié)內(nèi)容可知，對(duì)于n階線性時(shí)不變因果離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一般為z的有理式，可表示為

式中，m≤n，N(z)和D(z)分別為H(z)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式，它們都是z的有理多項(xiàng)式。其中，N(z)=0的根z1，z2

，…，zm稱為系統(tǒng)的零點(diǎn);D(z)=0的根p1，p2，…，pn稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)。H(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)或復(fù)數(shù)。在z平面上零極點(diǎn)的分布圖就是離散系統(tǒng)的零極圖或極零圖。

系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有單極點(diǎn)時(shí)，H(z)可按部分分式法展開為

系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h(k)為

由此可見，單位函數(shù)響應(yīng)的性質(zhì)完全由系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)決定，稱為系統(tǒng)的自然頻率或故有頻率。而待定系數(shù)由零點(diǎn)和極點(diǎn)共同決定?；蛘哒f相應(yīng)的響應(yīng)模式由極點(diǎn)決定，而零

點(diǎn)只對(duì)h(k)的大小產(chǎn)生影響。

根據(jù)z平面和s平面的映射關(guān)系，對(duì)照連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布對(duì)h(k)模式的影響，

可以分以下幾種情況來進(jìn)行討論:

(1)當(dāng)H(z)的極點(diǎn)p是位于z平面實(shí)軸上的單極點(diǎn):

①p>0時(shí)，即極點(diǎn)位于z平面的正實(shí)軸，h(k)=Apkε(k)，則h(k)的幅度按p小于、等于或大于1，分別隨k值的增大而單調(diào)減小、不變或單調(diào)增長(zhǎng)。

②p<0時(shí)，即極點(diǎn)位于z平面的負(fù)實(shí)軸，h(k)=Apkε(k)，則h(k)的幅度仍按小于、等于或大于1，分別隨k值的增大而作遞減、不變或遞增的變化，但正負(fù)交替改變。

(2)當(dāng)H(z)的極點(diǎn)是位于z平面上的一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)

其H(z)的部分分式系數(shù)有共軛系數(shù)可得

式(6.6－8)是一個(gè)幅度按指數(shù)規(guī)律變幅的離散余弦振蕩序列。決定了余弦振蕩幅度增減的快慢。

①極點(diǎn)p1和p2

位于z平面單位圓內(nèi)，h(k)為減幅振蕩的余弦序列。

②極點(diǎn)p1

和p2

位于z平面單位圓外，h(k)為增幅振蕩的余弦序列。

③極點(diǎn)p1

和p2

位于z平面單位圓上，h(k)為等幅振蕩的余弦序列。

h(k)振蕩包絡(luò)角頻率ω由極點(diǎn)p的相位θ確定。因此，當(dāng)θ=0，即極點(diǎn)位于z平面的正實(shí)軸時(shí)，振蕩角頻率ω=0，h(k)隨k值單調(diào)增減而無振蕩現(xiàn)象;當(dāng)θ=±π，即極點(diǎn)位于

z平面的負(fù)實(shí)軸時(shí)，cos(kθ+φ)=cos(±kπ)，h(k)隨序號(hào)k每增加1作一次正負(fù)交替，每增加2就完成一個(gè)周期振蕩，振蕩頻率為最高?？梢?，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，h(k)的幅度和振蕩頻率分別取決于系統(tǒng)函數(shù)H(z)極點(diǎn)的模和幅角;而連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，h(t)的幅度和振蕩頻率分別取決于系統(tǒng)函數(shù)H(s)極點(diǎn)的實(shí)部和虛部。離散時(shí)間系統(tǒng)H(z)的一階極點(diǎn)在z平面上的分布與時(shí)域h(k)模式的關(guān)系如圖6.6－1所示。圖6.6－1一階極點(diǎn)分布與h(k)模式的關(guān)系

6.6.3離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判別

離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和準(zhǔn)則與連續(xù)系統(tǒng)類似。一個(gè)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，如果對(duì)于任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱為有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定的系

統(tǒng)，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定系統(tǒng)。也即是說，假設(shè)Mx，My

為正實(shí)常數(shù)，如果系統(tǒng)對(duì)于所有激勵(lì)

其零狀態(tài)響應(yīng)

則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

由此可得到，離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是

判斷離散系統(tǒng)是否穩(wěn)定的方法一般有兩種:極點(diǎn)判別法和裘利判別法。

1.極點(diǎn)判別法

根據(jù)圖6.61可知，只有當(dāng)H(z)的極點(diǎn)位于z平面單位圓內(nèi)時(shí)，才滿足式(6.6－6)，于是得出系統(tǒng)穩(wěn)定性與H(

z)極點(diǎn)分布之間的關(guān)系為:當(dāng)離散系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)全部位于z

平面單位圓內(nèi)部時(shí)，此系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定系統(tǒng);當(dāng)極點(diǎn)位于單位圓上，且為單極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定的;否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

由s平面和z平面間的映射關(guān)系可知，s平面的左半平面映射到z平面為單位圓內(nèi)部，因此，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)均位于s左半平面，而離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)均位于z平面的單位圓內(nèi)，是符合映射關(guān)系的。

此準(zhǔn)則判定一階和二階系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較方便，但對(duì)于三階及其以上的系統(tǒng)，求取極點(diǎn)相對(duì)困難，因此不容易判斷。

2.裘利(Jury)判別法

裘利判別法是判別離散系統(tǒng)是否穩(wěn)定的一般準(zhǔn)則。它可以直接檢驗(yàn)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的特征多項(xiàng)式D(z)=0的根是否全部位于z平面的單位圓內(nèi)，而無需求解方程的根。

若系統(tǒng)的特征方程為

可列出如下裘利表(裘利陣列):

表中，第1行為D(z)的全部系數(shù)按順序排列，第2行是把第1行的系數(shù)反序排列，第3行元素按下列規(guī)則求取

第4行為第3行元素的反序排列，第5行元素按下列規(guī)則求取

以此類推，一直排到第2n-3行。

裘利準(zhǔn)則:系統(tǒng)特征方程的根全部位于z平面單位圓內(nèi)的充要條件是

及裘利表中每一奇數(shù)行的第一個(gè)元素大于該行最后一個(gè)元素的絕對(duì)值，即

滿足全部條件，則系統(tǒng)穩(wěn)定;否則為不穩(wěn)定。

由此，容易推出二階系統(tǒng)特征方程D(z)=a2z2+a1z+a0

=0，系統(tǒng)函數(shù)H(z)所有極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)，即系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

【例6.6－2】已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

試判定其穩(wěn)定性。

解方法一:

特征方程

特征根為z=1的重根，極點(diǎn)是位于z平面單位圓上的重極點(diǎn)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。

方法二:

不滿足裘利準(zhǔn)則，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。

【例6.6－3】離散系統(tǒng)的特征方程如下，試確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解由于

列裘利表如下:

裘利表第3行不滿足裘利準(zhǔn)則，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。

6.7離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

1.離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性H(ejωT

)穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)可以用連續(xù)時(shí)間傅氏變換來分析，即H(s)s=jω=H(ω)表示連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。類似地，對(duì)于穩(wěn)定的離散系統(tǒng)，h(k)在單位圓上的Z變換H(ejωT)就是離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，記做其中，|H(ejωT)|為幅頻特性，θ(ω)為相頻特性

當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)為一個(gè)無時(shí)限復(fù)指數(shù)序列x(k)=ejωkT

，其零狀態(tài)響應(yīng)為

由于

故

由此表明:當(dāng)一個(gè)無時(shí)限復(fù)指數(shù)信號(hào)作用于線性系統(tǒng)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的指數(shù)信號(hào)，其幅度擴(kuò)大為原來的|H(ejωT)|倍，相位增加了θ(ω)。

剛才得到

對(duì)兩邊取實(shí)部，得

于是，當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)為一個(gè)正弦序列x(k)=Acos(ωkT+?)，其零狀態(tài)響應(yīng)為

這個(gè)結(jié)果僅對(duì)BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)成立，對(duì)于對(duì)BIBO不穩(wěn)定系統(tǒng)，討論其頻率響應(yīng)是毫無意義的。

解由已知條件可得該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，其頻響特性為

幅頻特性為

相頻特性為

幅頻特性和相頻特性波形如圖6.7－1所示。圖6.7－1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

通過例6.7－1可見，離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)有如下性質(zhì):

(1)因ejωT是ω的周期函數(shù)，故H(ejωT)也是ω的周期函數(shù)，周期為2π/T。離散系統(tǒng)頻響特性的周期性，是區(qū)別于連續(xù)系統(tǒng)頻響特性的。

(2)與連續(xù)系統(tǒng)頻響特性相似的是，離散系統(tǒng)幅頻特性H(ejωT)是ω的偶函數(shù)，相頻特性θ(ω)是ω的奇函數(shù)。

數(shù)字濾波器也可按幅頻特性分為低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。由于頻率特性的周期性，所以這些特性只能在ω限于的范圍內(nèi)來區(qū)分。||

2.H(z)的零極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性

離散系統(tǒng)也可以根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)在z平面的位置分布來確定離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。思想類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可表示為

如果H(z)的極點(diǎn)p

i均在z平面單位圓內(nèi)，則該離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為

將分子分母每一個(gè)因子都用矢量表示，則有零點(diǎn)矢量Nr和極點(diǎn)矢量Mi

如下

其中，零點(diǎn)矢量Nr代表z平面上零點(diǎn)zr

指向單位圓上任意一旋轉(zhuǎn)點(diǎn)

ejωT的矢量，Nr

和φr

表示零點(diǎn)zr

到單位圓上某點(diǎn)ejωT

的長(zhǎng)度和與正實(shí)軸的夾角，即模和幅角;極點(diǎn)矢量Mi

代表z平面上極點(diǎn)pi

指向單位圓上任意一旋轉(zhuǎn)點(diǎn)ejωT

的矢量，Mi和?i表示極點(diǎn)pi

到單位圓上某點(diǎn)ejωT

的長(zhǎng)度和與正實(shí)軸的夾角，即模和幅角。

于是，式(6.7－9)可表示為

則，幅頻特性為

相頻特性為

例6.71中系統(tǒng)的極零圖如圖6.7－2所示。

圖6.7－2系統(tǒng)的極零圖

則頻率響應(yīng)函數(shù)為．

幅頻特性為

相頻特性為

當(dāng)ω從0變化到單位圓上某點(diǎn)ejωT

沿單位圓逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)半周，那么各零極點(diǎn)矢量的模和幅角也將隨之變化。根據(jù)離散系統(tǒng)頻響特性H

(ejωT)的周期性，以及幅頻特性是ω的偶函數(shù)，相頻特性θ(ω)是ω的奇函數(shù)，只需繪出半個(gè)周期內(nèi)的幅頻特性和相頻特性曲線，即可得到整個(gè)系統(tǒng)的頻響特性。

6.8離散系統(tǒng)的z域模擬和信號(hào)流圖

離散系統(tǒng)也可以用模擬框圖或信號(hào)流圖來表示。6.8.1離散系統(tǒng)的z域模擬離散系統(tǒng)的基本運(yùn)算器為加法器、標(biāo)量乘法器和延遲器，它們的模型如圖6.8－1所示。圖6.8－1離散系統(tǒng)的基本運(yùn)算器

為了方便起見，以二階系統(tǒng)為例。設(shè)描述二階離散系統(tǒng)的差分方程為

則系統(tǒng)函數(shù)

因此

令中間變量為

則有

所以

由此，可得到如圖6.8－2所示模擬圖。它含有兩個(gè)求和器，與連續(xù)系統(tǒng)域模擬規(guī)律是類似的。圖6.8－2二階離散系統(tǒng)z域模擬圖

6.8.2離散系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示

離散系統(tǒng)的z域模擬也可以畫為信號(hào)流圖的形式，信號(hào)流圖的基本單元表示如圖6.8－3所示。圖6.8－3z域信號(hào)流圖的基本單元

與s域的信號(hào)流圖相似，首先把模擬單元換為流圖單元，然后按H(z)的關(guān)系畫出流圖形式。圖6.8－2所對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖如圖6.8－4所示。圖6.8－4二階離散系統(tǒng)z域信號(hào)流圖

【例6.8－1】描述某離散系統(tǒng)的差分方程為

分別畫出該系統(tǒng)的模擬框圖和信號(hào)流圖。

解根據(jù)差分方程寫出系統(tǒng)函數(shù)

該系統(tǒng)的z域模擬框圖和信號(hào)流圖如圖6.8－5所示。圖6.8－5系統(tǒng)的z域模擬框圖和信號(hào)流圖

與連續(xù)系統(tǒng)類似，仍可應(yīng)用梅森公式對(duì)離散系統(tǒng)的z域模擬框圖或信號(hào)流圖簡(jiǎn)化，以及實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的級(jí)聯(lián)和并聯(lián)模擬，不再述及。

習(xí)題6

6．1求下列序列的Z變換F

(z)，并注明收斂域。

6．2求下列序列的Z變換F(z)。

6．3粗略畫出以下因果序列的圖形，并求其Z變換F(z)。

6．6若f(k)?F(z)，試求下列序列的Z變換。

6．7求下列Z