第4章正弦交流電路分析

4.1正弦交流電的基本概念4.2正弦交流電的相量表示4.3正弦交流電路中的電阻、電容和電感4.4阻抗的串聯4.5導納的并聯4.6正弦交流電路的功率4.7功率因數的提高4.8交流電路中的諧振4.9復雜交流電路分析習題四

4.1正弦交流電的基本概念

大小隨時間按一定規(guī)律作周期性變化且在一個周期內平均值為零的電流(電壓、電動勢)稱為交流電。交流電的變化形式是多種多樣的，如圖4-1-1所示。隨時間按正弦規(guī)律變化的電流(電壓、電動勢)通稱為正弦電量，或稱為正弦交流電(sinusoidalalternatingcurrent)，有時又簡稱為交流電(ac或AC)。圖4-1-1

4.1.1正弦交流電量的三要素 正弦交流電量的數值和方向隨時間按正弦規(guī)律周而復始變化。在分析正弦交流電路時，我們首先要寫出正弦交流電量的數學表達式，畫出它的波形圖。為此，必須像直流電路那樣，預先設定交流電量的參考方向。如圖4-1-2(a)所示的一段電路上流過的正弦電流i，其參考方向如箭頭所示。當i的真實方向與參考方向一致時，是正值，對應波形圖的正半周；當i的真實方向與參考方向相反時，是負值，對應波形圖的負半周。同直流電路一樣，我們分析交流電路時，一般習慣將電壓和電流選取為關聯參考方向。其正弦電流i的波形如圖4-1-2(b)所示，在交流電的波形圖中，其橫軸坐標既可以用時間t(秒，s)表示，也可以用電角度ωt(弧度，rad)來表示。與波形圖相應的正弦電流的數學表達式為

i=Imsin(ωt+ψi)

上式稱為正弦電流的瞬時值表達式。正弦電量在任意瞬間的值稱為瞬時值，用小寫字母來表示，如用i、

u和e分別來表示正弦電流、正弦電壓和正弦電動勢的瞬時值。利用瞬時值表達式可以計算出任意時刻正弦電量的數值。瞬時值的正或負與假定的參考方向比較，便可確定該時刻電量的真實方向。

(4-1-1)

式(4-1-1)和圖4-1-2(b)表明：一個正弦電量的特征表現在它變化的最大值(Im)，隨時間變化的快慢(ω)和起始值(t=0時的數值，它取決于t=0時的角度ψi)三個量值。 若將這三個量值代入已選定的sin函數式中就完全確定了這個正弦量。故稱振幅、角頻率ω、初相角為正弦量的三要素。

1.最大值

正弦電量瞬時值中的最大數值稱為正弦量的最大值(maximumvalue)或幅值(amplitude)，它是正弦電量在整個變化過程中所能達到的極大值。正弦電量的振幅用帶有下標m的大寫字母表示，如用Im、Um、Em分別表示正弦電流、正弦電壓、正弦電動勢的振幅。

2.角頻率

式(4-1-1)中ω稱為角頻率(angularfrequency)，又稱為電角速度，它表示在單位時間正弦電量變化的弧度數，它是反映正弦電量變化快慢的量，其單位是弧度/秒(rad/s)。正弦電量變化的快慢還可以用周期T(period)和頻率f(frequency)來表示。 周期指正弦電量變化一周所需的時間，用大寫字母T表示，單位為秒(s)。由于正弦電量變化一周相當于正弦函數變化2π弧度，故

(4-1-2)代入式(4-1-2)得

ω=2πf

式(4-1-2)和式(4-1-3)表明，周期、頻率、角頻率三者都反映的是正弦電量變化快慢這一物理實質。三個量中只要知道一個，其它兩個物理量就可以求出。例如，我國工業(yè)和民用電的頻率為f=50Hz(稱為工頻)，其周期T=1/50=0.02s，角頻率ω=314rad/s。

頻率指正弦電量單位時間內重復變化的次數，用小寫字母f表示，單位為赫茲(Hz)。根據上述定義可知，頻率和周期互為倒數，即(4-1-3)(4-1-4)

3.初相位

正弦電量在每一瞬間的狀態(tài)是不同的，具體表現在每一瞬間的數值(包括正、負號)及變化趨勢不同。而正弦電量在任意瞬間的變化狀態(tài)是由該瞬間的電角度(ωt+ψ)決定的。把正弦電量在任意瞬間的電角度稱為相位角(phaseangle)，簡稱為相位。它反映了正弦電量隨時間變化的進程，決定正弦電量在每一瞬間的狀態(tài)。當t=0時，相位角為ψ，稱為初相位或初相角，簡稱初相(initialphase)。正弦電量在任意瞬間的相位都與初相位有關。

顯然，初相位與所選的計時起點有關，在圖4-1-2(b)所示波形圖中，正弦波從負到正的過零點A與坐標原點的距離就是初相位，在原點的右側，初相位ψ<0。由于正弦波周期性變化，最靠近坐標原點左右兩側各有一個過零點，為了避免混淆，一般規(guī)定ψ在－π～π范圍內。 綜上所述，如果知道一個正弦電量的振幅、角頻率(頻率)和初相位，就可以完全確定該正弦電量，即可以用數學表達式或用波形圖將它表示出來。圖4-1-2 4.1.2相位差 對于兩個同頻率的正弦電量而言，雖然都隨時間按正弦規(guī)律變化，但是它們隨時間變化的進程可能不同，為了描述同頻率正弦量隨時間變化進程的先后，引入了相位差(phasedifference)。這里所述的相位差就是兩個同頻率的正弦量的相位之差，用字母φ表示。例如正弦電壓u=Umsin(ωt+ψu)，正弦電流i=Imsin(ωt+ψi)，則電壓與電流相位差為

φ=(ωt+ψu)－(ωt+ψi)=ψu－ψi(4-1-5)

可見，兩個同頻率正弦量的相位差等于它們的初相差。

φ=ψu－ψi=0，表明ψu=ψi，則稱電壓u與電流i同相位，簡稱同相(inphase)。如圖4-1-3(a)所示，這時電壓u和電流i同時達到零點，同時達到最大值。

φ=ψu－ψi>0，表明ψu>ψi

，則稱電壓u超前(lead)電流i，或稱電流i滯后(lag)電壓u。如果ψu>0，ψi>0，波形如圖4-1-3(b)所示。

φ=ψu－ψi<0，表明ψu<ψi

，則稱電流i超前電壓u，或稱電壓u滯后電流i。如果ψi>0，ψu>0，波形如圖4-1-3(c)所示。

φ=ψu－ψi=±π，則稱電壓u和電流i相位相反，簡稱反相(inverseofphase)，如圖4-1-3(d))所示。

φ=ψu－ψi=±π/2，則稱電壓u和電流i正交，如圖4-1-3(e)所示。圖4-1-3

通過以上的討論可知，兩個同頻率的正弦量的計時起點(t=0)不同時，它們的相位和初始相位不同，但它們的相位差不變，即兩個同頻率的正弦量的相位差與計時起點無關。

例4-1-1

兩個同頻率的正弦電壓和電流分別為： u=8sin(ωt+60°)V

i=6cos(ωt+20°)A

求它們之間的相位差，并說明哪個超前。

解求相位差要求兩個正弦量的函數形式應一致。故首先將電流i改寫成用正弦形式表示(因本書正弦量的標準形式選用的是正弦(sin))。

i=6sin(ωt+20°＋90°)=6sin(ωt

＋110°)A因此，相位差為

φ=ψu－ψi=60°－110°=－50°所以電流超前電壓50°。

4.1.3有效值 正弦電量的瞬時值是隨時間變化的量，而在實際應用中，經常需要了解正弦電量在電路中所產生的效果，為了反映正弦電量的實際作用效果，我們通常使用“有效值”(effectivevalue)來表示正弦電量的大小。 正弦電量的有效值是按電流的熱效應來確定的，它根據熱效應相等原理，把正弦電量換算成直流電的數值，即正弦電量的有效值是熱效應與它相等的直流電量的數值。當正弦電流i和直流電流I分別流過阻值相等的電阻時(見圖4-1-4)，如果在正弦電流的一個周期內它們所產生的熱量相等，即熱效應相等，則這一直流電流的數值就稱為正弦電流的有效值。如圖4-1-4(b)所示，正弦電量的有效值用大寫字母表示。圖4-1-4由圖4-1-4(a)可知：正弦電流情況在一個周期T內R上消耗的電能為

由圖4-1-4(b)可知：直流電流情況在一個周期T內R上消耗的電能為

WDC=I2RT

若WAC=WDC，則由焦耳楞次定律知，二者所轉換的熱量也一定相等，也就滿足熱效應相等原理。

令

解得正弦電流的有效值為 可以看出正弦電流的有效值I是正弦電流i的平方在一個周期內的平均值再取平方根，因此，正弦電量的有效值又稱為方均根值(rootmeansquarevalue)。還應指出，式(4-1-6)不僅適用于正弦量，而且適用于任何波形的周期性電流和周期性電壓。(4-1-6)

類似地，可以得到正弦電壓的有效值為 若正弦電流i=Imsin(ωt+ψi)，則根據式(4-1-6)可得正弦電流的有效值和最大值之間的關系為

(4-1-7)(4-1-8)(4-1-9)同理可得正弦電壓的有效值和最大值之間的關系為

在實際應用中，通常所說的交流電的電壓或電流的數值均指的是有效值。交流電壓表、電流表測量指示的電壓、電流讀數一般都是有效值。一般只有在分析電氣設備(如電路元件)的絕緣耐壓能力時，才用到最大值。 引入有效值后，正弦電壓和電流的表達式也可寫成

小結

1．隨時間按正弦規(guī)律變化的電量(電壓、電流、電動勢)通稱為正弦電量，或稱為正弦交流電，又簡稱為交流電。

2．正弦電量的三要素是最大值(或有效值)、頻率(或角頻率或周期)和初相位，它們可以完整地描述一個正弦電量的變化情況。若已知正弦電量的三要素，就可以寫出它的瞬時值表達式并畫出它的波形圖。 3．正弦電量的有效值指的是與正弦電量熱效應相等的直流電的數值。我們一般所說的正弦電量的數值均指的是有效值。正弦電壓、電流的有效值和最大值之間的關系分別為

思考與練習

4-1-1已知一正弦電壓u=141sin(314t－120)V，計算其頻率、角頻率、周期、最大值、有效值和初相位。

4-1-2已知u1=10sin(314t－20)，u2=141sin(157t＋50)，是否可以得出u1滯后u270°，并說明原因。

4-1-3某一正弦電流的有效值為10A，初相位為30°，周期為0.02s，試寫出其瞬時值表達式，并畫出波形圖。

4-1-4有一個正弦電壓，初相位為－π/3rad，當t=T/2時，其瞬時電壓為－100V，求該電壓的最大值和有效值。4.2正弦交流電的相量表示

4.2.1正弦量的旋轉矢量表示法

假設有一個正弦電流i=Imsin(ωt＋ψ)，用旋轉矢量可以這樣表示：在一個直角坐標系中，過原點作一個矢量，它與橫軸的夾角等于正弦電流的初相位ψ，它的長度等于正弦電流的最大值Im，并令矢量以角速度ω逆時針旋轉，旋轉中的矢量在縱軸的投影是變化的。如圖4-2-1所示，設在t1時間內，矢量旋轉的角度為ωt1，與橫軸的夾角為(ωt1＋ψ)，它在縱軸的投影等于Imsin(ωt1＋ψ)，剛好等于正弦電流在t1時刻的瞬時值。

因此，在任意時刻，以角速度ω逆時針旋轉的矢量在縱軸上的投影，都與正弦電流在該時刻的瞬時值保持一一相等的對應關系。像這樣旋轉的矢量，稱為旋轉矢量(rotatingphasor)。旋轉矢量不僅表示了正弦量的瞬時值，而且還表示了正弦量的三要素，所以，這也是正弦量的一種表示方法。 可以證明，若激勵源是角頻率為ω的正弦量，則電路中任何一處的穩(wěn)態(tài)響應均為同角頻率ω的正弦量，各正弦量所對應的旋轉矢量旋轉的角速度相同。對于任意時刻t，各旋轉矢量之間的相對位置不變。這樣，只需用一個長度等于正弦量最大值，與橫軸夾角為初相位的靜矢量來表示正弦量。這種靜止在t=0時刻的旋轉矢量稱為相量。圖4-2-1

4.2.2復數及復數運算

1．復數及其表示形式 一個復數是由實部和虛部組成的。復數有多種表達形式，常見的有代數形式、指數形式、三角函數形式和極坐標形式。設A為一復數，a、b分別為實部和虛部，則

A=a+jb=rejψ=r(cosψ＋jsinψ)=r∠ψ(4-2-1)式中，稱為復數A的模，ψ=arctan(b/a)稱為輻角。圖4-2-2

復數也可以用由實軸與虛軸組成的復平面上的有向線段來表示。用直角坐標的橫軸表示實軸，以+1為單位；縱軸表示虛軸，以＋j為單位。實軸和虛軸構成復坐標平面，簡稱復平面。于是任何一個復數就與復平面上的一個確定點相對應。例如，式(4-2-1)所示的復數與A(a，b)點相對應，如圖4-2-2所示。再用有向線段連接坐標原點O和點A，在線段末端帶有箭頭，成為一個矢量，該矢量就與復數A對應。這種表示復數的矢量稱為復數矢量。

2．復數運算 設有兩個復數：復數的加、減運算應用代數形式較為方便：

A1+A2=(a1＋a2)+j(b1＋b2)復數的乘、除運算應用指數或極坐標形式較為方便：

因為＋j=1∠90°，－j=1∠－90°，所以＋j可以看成是一個模為1、輻角為＋90°的復數，－j可以看成是一個模為1、輻角為－90°的復數。因此，若復數A乘以+j或－j，則為：

jA1=r1∠(ψ1＋90°)－jA1=r1∠(ψ1－90°)

上式表明，任意一個復數乘以j，其模值不變，輻角增加90°，相當于在復平面上把復數矢量逆時針旋轉90°；任意一個復數乘以－j，其模值不變，輻角減少90°，相當于在復平面上把復數矢量順時針旋轉90°，如圖4-2-3所示。因此，j稱為旋轉90°的因子。

圖4-2-3 4.2.3正弦量的相量表示法

1.正弦量的相量表示 由上述可知，正弦量可以用矢量表示，而矢量又可以用復數表示，因此，正弦量必然可以用復數表示。

設有一復數A(t)=rej(ωt+ψ)

，它和上述復數不同，它不僅是復數，而且輻角還是時間的函數，稱為復指數函數。復指數函數與復數的關系可寫為

式中A=rejψ，按歐拉公式展開上式，有

A(t)=rcos(ωt＋ψ)＋jrsin(ωt＋ψ)由此可見，一個復指數函數的虛部是一正弦函數，或者說一個正弦函數等于復指數函數的虛數部分。因此對于正弦量，如正弦電流i=Imsin(ωt

＋ψi)，可以寫作

i=Imsin(ωt+ψi)=Im［Imejψiejωt］(4-2-2)

式(4-2-2)中，Im［·］是“取虛部”的意思，符號Im是虛數(Imaginary)的縮寫。上式表明正弦電流等于復指數函數Imejψie

jωt的虛數部分，該復指數函數包含了正弦量的三要素，這樣，就將正弦電流和復指數函數聯系了起來。將式(4-2-2)進一步改寫成

式中

=Imejψi=Im∠ψi

(4-2-3)

復數是一個與時間無關的復常數，其模是正弦量的最大值，輻角是正弦量的初相位，兩者是正弦量三要素中的兩個要素，當角頻率給定時，它就完全可以確定一個正弦量。由于正弦交流電路中的電壓、電流都是同頻率的正弦量，一般只需要確定正弦量的最大值和初相位兩個要素，因此，就是一個表示正弦電流的復數。把這樣一個能夠表示正弦量的最大值和初相位的復數稱為正弦量的相量(phasor)。同樣，正弦電壓的相量為

(4-2-4)

式(4-2-2)中，ejωt稱為旋轉因子。該復數的模值為1，輻角ωt隨時間成正比增長。

相量是一個復數，它代表一個正弦量，所以在符號字母上方加上一點，以與一般的復數加以區(qū)別。特別注意的是，相量只能表示或代表正弦量，但不等于正弦量。相量乘以旋轉因子取虛部才等于正弦量。只有正弦量才能用相量表示，非正弦量則不能。相量也有有效值相量形式，即 電流相量

(4-2-5)電壓相量

(4-2-6)

2．相量圖及相量運算

在復平面上，用矢量表示的相量稱為相量圖(phasordiagram)，下面通過例題加以說明。

例4-2-1

正弦電壓u=141sin(ωt+60°)V，正弦電流i=14.14sin(ωt－45°)A，寫出u和i的相量，并畫出相量圖。圖4-2-4

解電壓相量=100ej60°=100∠60°V

電流相量=10e

j45°=10∠－45°A

它們的相量圖如圖4-2-4所示。 應注意的是，在同一相量圖中，各相量所表示的正弦電量必須是同頻率的正弦量。只有這樣，才能對各個正弦量進行相位關系的比較。在同一個相量圖中不能表示不同頻率的正弦量。

例4-2-2

已知兩個電壓u1=141sin(ωt+45°)V，u2=84.6sin(ωt－30°)V。要求：

(1)求相量、; (2)若電壓u=u1+u2，寫出電壓u的瞬時值表式。圖4-2-5

解

(1)=141×0.707ej45°

=100ej45°

=100∠45°V =84.6×0.707e－j30°

=60e－j30°

=60∠－30°V (2)因為=，所以畫出相量圖如圖4-2-5所示，由平行四邊形法則作出，從相量圖中各相量之間的幾何關系得 初相位為

則電壓為

u=129

sin

(ωt+18.4°)V

由上例可知，同頻率正弦量相加的問題可以轉化成對應的相量相加，用這種方法形象且直觀。除了按平行四邊形法則矢量求和外，還可按矢量三角形法則計算相量的差，如圖4-2-6所示。按多邊形法則可計算多個矢量的加減，圖4-2-7所示的相量圖表達的運算為

圖4-2-6圖4-2-7

例4-2-3

已知iA＋iB＋iC=0，iB=sin(ωt＋120°)A，iC=sin(ωt－120°)A，求iA，并畫出相量圖。

解根據iB和iC的瞬時值表達式可寫出它們的相量：

=5∠120°=5cos120°+j5sin120° =-2.5＋j4.33A =4∠－120° =4cos(－120°)＋j4sin(－120°)=－2－j3.646A

因為

iA=－(iB+iC)所以

=－［(－2.5＋j4.33)＋(－2－j3.646)］

=4.5－j0.866 =4.58∠－10.9°A

則電流iA的瞬時值表達式為

iA=－(iB＋iC)=4.58sin(ωt－10.9°)A

相量圖如圖4-2-8所示。圖4-2-8

小結

1．正弦量可以用瞬時值表達式、波形圖、旋轉矢量、相量四種方法表示。相量表示法是分析和計算交流電路的一種重要工具。

2．正弦量的相量表示法是用復數表示正弦量的有效值和初相位，但相量并不等于正弦量，兩者之間不能直接相等。相量可以用最大值和初相來定義： 電流相量 電壓相量

相量亦可以用有效值和初相來定義:

電流相量

電壓相量

3．相量圖是在復平面上用矢量表示相量的一種方法。在同一相量圖中，各相量所表示的正弦電量必須是同頻率的正弦量。應用相量圖可以方便地求幾個正弦量相加減，寫出其瞬時值表達式。4.3正弦交流電路中的電阻、電容和電感

4.3.1電阻元件

1．電壓與電流關系 在交流電路中，通過電阻元件的電流和它兩端的電壓在任何瞬間都遵循歐姆定律。圖4-3-1(a)所示的只含有電阻元件R的電路中，電壓、電流的參考方向如圖所示，其方向相關聯。

圖4-3-1

設在電阻元件兩端加上的正弦交流電壓為

u=Umsinωt=Usinωt(4-3-1)

按圖4-3-1(a)所示電壓、電流的參考方向，根據歐姆定律，電路的電流為

上式表明：電阻元件中電流和其兩端的電壓是同頻率的正弦量。比較電壓和電流的數學表達式，它們的關系如下：(4-3-2) (1)數值關系。 電壓和電流最大值關系為

(4-3-3)

兩邊同除以，可得有效值關系:

(4-3-4)

即電壓與電流的最大值和有效值均服從歐姆定律關系。 (2)相位關系。 電壓與電流同相位，即ψu=ψi，相位差φ=0，電壓與電流波形圖如圖4-3-1(c)所示。 綜上所述，可得電阻元件電壓和電流之間的相量關系式：

式(4-3-5)同時表示了電壓和電流之間的數值與相位關系，稱為歐姆定律的相量形式，相應的相量圖如圖4-3-1(d)所示。根據式(4-3-5)，圖4-3-1(a)的時域模型可用圖4-3-1(b)的相量模型來代替，即電壓、電流用相量表示，而電阻不變。(4-3-5)

2．功率

在交流電路中，通過電阻元件的電流及其兩端電壓都是交變的，電阻吸收的功率也必然是隨時間變化的。把電阻在任一瞬間所吸收的功率稱為瞬時功率，用小寫字母p表示，設u，i參考方向關聯，則瞬時功率等于同一瞬時電壓和電流瞬時值的乘積，即

p=ui=Umsinωt·Imsinωt =UmImsin2ωt

=UI(1－cos2ωt)

(4-3-6)

上式表明：瞬時功率是隨時間變化的，并且由兩部分組成：第一部分是恒定值UI，第二部分是幅值為UI，并以2ω隨時間變化的交變量UIcos2ωt。瞬時功率的波形圖如圖4-3-1(e)所示。由于電阻元件的電壓、電流同相位，它們的瞬時值總是同時為正或同時為負，所以瞬時功率p總為正值(當任意正弦量為零時，p=0)，這一點也可從瞬時功率的波形圖看出。這表明，電阻元件在每一瞬間都在消耗電能，所以電阻元件是耗能元件。

由于瞬時功率是隨時間變化的，使用時不方便，因而工程上所說的功率指的是瞬時功率在一個周期內的平均值，稱為平均功率，用大寫字母P表示，平均功率又稱為有功功率(activepower)，它的單位為瓦特(W)或千瓦(kW)。

式(4-3-7)與直流電路的功率計算公式在形式上完全相同，但式中U、I是電壓、電流的有效值。(4-3-7)

例4-3-1

有一個220V、40W的白熾燈，其兩端電壓為u=311sin(314t＋30°)V。試求：

(1)通過白熾燈的電流的相量和瞬時值表達式； (2)每天使用4小時，每千瓦小時收費0.45元，問每月(30天)應付多少電費？

解

(1)白熾燈屬于電阻性負載，電壓的相量為

由式(4-3-7)得

則電流的瞬時值表達式為

i=Isin(ωt+ψi) =0.182sin(314t+30°)A (2)每月消耗的電能為

W=Pt=40×4×30=4800Wh=4.8kWh 則每月應付電費

4.8×0.45=2.16元由式(4-3-5)得電流的相量為

4.3.2電感元件

1．電壓與電流關系 如圖4-3-2(a)所示，在只含有電感元件L的電路中，電壓、電流設為如圖所示的關聯參考方向。圖4-3-2

根據電磁感應定律可以證明電壓電流有如下微分關系：

u=L

式(4-3-8)中的L稱做自感系數，簡稱自感或電感(inductance)，其定義為通過電感線圈的磁通鏈與產生該磁通鏈的電流的比值，即(4-3-8)

電感的單位為亨利(henry)，簡稱亨，用字母H表示。工程實際中也常用到毫亨(mH)和微亨(μH)單位。 設通過電感元件的正弦交流電流為

i=Imsinωt=Isinωt

則電感元件的端電壓為

u==ωLImsin(ωt＋90°) =Umsin(ωt+90°)(4-3-10)

上式表明：電感元件中電流與其兩端的電壓都是同頻率的正弦量。比較電壓和電流的數學表達式，它們的關系為:

(4-3-9) (1)數值關系。 電壓和電流最大值關系

Um=ωLIm或Im=Um/ωL

兩邊同除以，可得電流的有效值關系：(4-3-11)令則

我們把式(4-3-13)稱為電感元件的歐姆定律，式中XL=ωL稱為感抗(inductivereactance)，單位為歐姆(Ω)。感抗是表示電感對電流阻礙作用大小的一個物理量，它與L和ω成正比。對于一定的電感L，頻率越高，它呈現的感抗越大，反之越小。換句話說，對于一定的電感L，對高頻電流呈現的阻力大，對低頻電流呈現的阻力小。在直流情況下，可以看做頻率f=0，故XL=0，電感L相當于短路。因此，很容易得出電感元件具有“阻交流、通直流”或“阻高頻、通低頻”的特性。在濾波電路、頻分電路中，電感元件就是根據這一特性工作的，在實際電路中應用的高頻扼流圈也是利用這一原理制成的。

應注意的是，對于電感元件而言，電壓和電流的瞬時值之間并不具有歐姆定律的形式，即不存在正比關系，感抗也不能代表電壓、電流瞬時值的比值。電感元件的歐姆定律只適用于電壓與電流的有效值(或最大值)之比。

(2)相位關系。 比較式(4-3-9)和式(4-3-10)可知，電感電壓和電流出現了相位差，并且電壓超前電流90°，或者說電感電流滯后電壓90°，即ψu=ψi＋90°。電壓與電流波形圖如圖4-3-2(c)所示(波形圖中ψi=0，ψu=90°)。 總結上述電感元件電壓、電流之間的的數值關系和相位關系，可得出電感元件歐姆定律的相量形式為 =ωL∠90°=jXL

或=ωL∠90°=jXL

=jωL

或 =jXL(4-3-15)

式(4-3-14)同時表示了電壓和電流之間的數值與相位關系，相應的相量圖如圖4-3-2(d)所示。圖4-3-2(b)為電感元件的相量模型。

2．功率

在電壓、電流取關聯參考方向下，電感元件吸收的瞬時功率為

(4-3-14)

p=ui=Umsin(ωt＋90°)Imsinωt=UmImcosωtsinωt

=UIsin2ωt(4-3-16)

瞬時功率的波形圖如圖4-3-2(e)所示。 電感元件瞬時功率的平均值，即為平均功率：

(4-3-17)

從瞬時功率的數學表達式或波形圖都可以看出，瞬時功率也是隨時間變化的正弦函數，其幅值為UI，并以2ω角頻率隨時間變化。在一個周期內，瞬時功率的平均值為零，說明電感元件不消耗能量，但這并不意味著電感元件不從電源獲取能量。從瞬時功率的波形圖4-3-2(d)可以看出，在第一個和第三個1/4周期內，u和i同為正值或負值，瞬時功率p大于零，這一過程實際是電感將電能轉換為磁場能存儲起來，從電源吸取能量。在第二和第四個1/4周期內，u和i一個為正值，另一個則為負值，故瞬時功率小于零，這一過程實際是電感將磁場能轉換為電能釋放出來。電感不斷地與電源交換能量，在一個周期內吸收和釋放的能量相等，因此平均值為零，這說明電感不消耗能量，是一個儲能元件。

電感元件的平均功率為零，但存在著與電源之間的能量交換，電源要供給它電流，而實際電源的額定電流是有限的，所以電感元件對電源來說仍是一種負載，它要占用電源設備的容量。不同電感元件與電源進行能量交換的速率是不同的，為了衡量這種能量交換的速率，我們定義瞬時功率的最大值，即能量交換的最大速率為電感元件的無功功率(no-reactivepower)，無功功率用大寫字母Q表示：(4-3-18)

無功功率與有功功率在形式上是相似的，但無功功率不是消耗電能的速率，而是交換能量的最大速率。為了區(qū)別無功功率和有功功率，將無功功率的單位命名為“乏爾”，簡稱乏(var)，工程上還用到千乏(kvar)，1kvar=103var。

例4-3-2

已知一個電感元件，L=19.1mH，接在電壓u=220sin(314t＋45°)V的電源上。 試求：

(1)電感元件的感抗；

(2)關聯參考方向下的電流i；

(3)電感元件的無功功率。

解

(1)根據式(4-3-13)，電感元件的感抗為 XL=ωL=314×19.1×10－3=6Ω (2)電壓的相量為

=220∠45°V

根據式(4-3-15)，電流的相量為

則電流的瞬時值表達式為

i=36.67sin(314t－45°)A (3)根據式(4-3-18)，無功功率為

Q=UI=220×36.67=8067.4var=8.067kvar 4.3.3電容元件

1.電壓與電流關系 如圖4-3-3(a)所示，在只含有電容元件C的電路中，電壓、電流為如圖所示的關聯參考方向。;

圖4-3-3

可以推導證明，C上電流與電壓有如下微分關系： 式中C稱做電容量(capacitance)，其定義為電容上存儲的電荷量與電容兩端電壓的比值，即

電容的單位為法拉(farad)，簡稱法，用字母F表示。在工程實際中，由于F的單位太大，所以，常用的單位為微法(μF)和皮法(pF)。(4-3-19)

設加在電容元件上的正弦交流電壓為

u=Umsinωt=Usinωt(4-3-20)

上式表明：電容元件兩端的電壓和電流是同頻率的正弦量。比較電壓和電流的數學表達式，它們的關系為: (1)數值關系。 電壓和電流最大值關系為

Im=ωCUm

或 則流過電容元件的電流為(4-3-21)(4-3-22)

兩邊同除以，可得電流的有效值關系：

I=UωC

令(4-3-23)則

我們把式(4-3-24)稱為電容元件的歐姆定律，XC稱為容抗(capactivereactance)，單位為歐姆(Ω)。容抗是表示電容對電流阻礙作用大小的一個物理量，它與C和ω成反比。對于一定的電容C，頻率越高，它呈現的容抗越??；反之越大。換句話說，對于一定的電容C，它對低頻電流呈現的阻力大，對高頻電流呈現的阻力小。在直流情況下，可以看做頻率f=0，故XC=∞，電容C相當于開路。因此，很容易得出電容元件具有“通交流、阻直流”或“通高頻、阻低頻”的特性。因此，它在電子電路中可起到隔直、旁路、濾波等作用。

應注意的是，對于電容元件而言，電壓和電流的瞬時值之間也不具有歐姆定律的形式，即不存在正比關系，容抗也不能代表電壓、電流瞬時值的比值。電容元件的歐姆定律只適用于電壓與電流的有效值(或最大值)之比。

(2)相位關系。 比較式(4-3-20)和式(4-3-21)可知，電容電壓和電流出現了相位差，并且電壓滯后電流90°，或者說電容電流超前電壓90°，即ψu=ψi－90°。電壓與電流波形圖如圖4-3-3(c)所示。 總結上述電容元件電壓、電流之間的數值關系和相位關系，可得出電容元件歐姆定律的相量形式為

式(4-3-26)同時表示了電壓和電流之間的數值與相位關系，相應的相量圖如圖4-3-3(d)所示。圖4-3-3(b)為電容元件的相量模型圖。(4-3-25)或(4-3-26)

2．功率

在電壓、電流取關聯參考方向下，電容元件吸收的瞬時功率為

p=ui=Umsinωt

·Imsin(ωt＋90°)

=UmImsinωt·cosωt

=UIsin2ωt

瞬時功率的波形圖如圖4-3-3(e)所示。 電容元件瞬時功率的平均值(即平均功率)為(4-3-27)(4-3-28)

從瞬時功率的數學表達式或波形圖都可以看出，瞬時功率也是隨時間變化的正弦函數，其幅值為UI，并以2ω角速度隨時間變化。在一個周期內，瞬時功率的平均值為零，說明電容元件不消耗能量。但電容元件也存在著與電源之間的能量交換。從瞬時功率的波形圖可以看出，在第一和第三個1/4周期內，u和i同為正值或負值，瞬時功率p大于零，這一過程實際是電容將電能轉換為電場能存儲起來，從電源吸取能量。在第二和第四個1/4周期，u和i一個為正值，另一個則為負值，故瞬時功率小于零，這一過程實際是電容將電場能轉換為電能釋放出來。電容不斷地與電源交換能量，在一個周期內吸收和釋放的能量相等，因此平均值為零，這說明電容不消耗能量，是一個儲能元件。

與電感元件一樣，采用無功功率衡量這種能量交換，它仍等于瞬時功率的最大值。電容上無功功率的大小為

Q的單位為乏爾(var)或千乏(kvar)。

例4-3-3

一個電容元件，已知C=0.5F，流過的電流i=1.41sin(100t－30°)A。試求：

(1)電容元件的容抗；

(2)關聯參考方向下的電壓u；

(3)電容元件的無功功率。

(4-3-29)

解

(1)根據式(4-3-23)，電容元件的容抗為

(2)電流的相量為

根據式(4-3-25)，電壓的相量為 =－j0.02∠－30°=0.02∠－120° =2×10－2∠－120°A

電壓的瞬時值表達式為

u= ×10－2×2sin(100t－120°)

= ×10－2sin(100t－120°)

(3)無功功率為

QC=UI=1×0.02=0.02var 4.3.4基爾霍夫定律的相量形式 歐姆定律和基爾霍夫定律是分析各種電路的理論依據，我們已經討論了電阻、電感、電容元件的歐姆定律的相量形式。在交流電路中，由于引入了電壓、電流的相量，因此基爾霍夫定律也應有相應的相量形式。

1．基爾霍夫電流定律(KCL)的相量形式 由基爾霍夫節(jié)點電流定律可知，任一時刻，對正弦電路中任一節(jié)點而言，流入(或流出)該節(jié)點各支路電流瞬時值的代數和為零，即

例如，對于圖4-3-4所示交流電路中的節(jié)點A有

i1－i2+i3=0

由于各個電流都是同頻率的正弦量，只是初相位和最大值不同，因此根據正弦量的和差與它們的相量和差的對應關系，可以推出：任一時刻，對正弦電路中任一節(jié)點而言，流入(或流出)該節(jié)點各支路電流相量的代數和為零，即

(4-3-30)

式(4-3-30)稱為基爾霍夫節(jié)點電流定律的相量形式。圖4-3-4

2．基爾霍夫電壓定律(KVL)的相量形式 根據基爾霍夫回路電壓定律可知，對于正弦電路中任一回路而言，沿該回路繞行一周，各段電路電壓瞬時值的代數和為零，即 ∑u=0

同理可以得出基爾霍夫電壓定律(KVL)的相量形式，對于正弦電路中任一回路而言，沿該回路繞行一周，各段電壓相量的代數和為零，即

(4-3-31)

小結

1．電阻R、電感L、電容C是理想的電路元件，實際電路可由這些元件和電源的組合而構成。

2．電阻R：在直流電路及交流電路中作用相同，即有阻礙電流的作用，將電能轉換為熱能。在交流電路中，電阻兩端的電壓和流經電阻的電流是同頻率的正弦量，二者同相位，電壓和電流的瞬時值、最大值和有效值均服從歐姆定律，其歐姆定律的相量形式是

3．電感L：在直流電路中相當于短路，在交流電路中，電感兩端的電壓和流經電感的電流是同頻率的正弦量，電壓超前電流90°，電壓和電流的最大值、有效值服從歐姆定律。電感元件為儲能元件，其歐姆定律的相量形式是

4．電容C：在直流電路中相當于開路，在交流電路中，電容兩端的電壓和流經電容的電流是同頻率的正弦量，電流超前電壓90°，電壓和電流的最大值、有效值服從歐姆定律。電容元件為儲能元件，其歐姆定律的相量形式是 5．KCL的相量形式為，KVL的相量形式為。

思考與練習

4-3-1指出下列各式哪些是正確的，哪些是錯誤的，并說明理由。 4-3-2指出下列各式哪些是正確的，哪些是錯誤的，并說明理由。

4-3-3從下面的電壓、電流的數值判別題4-3-3圖所示電路包含的是什么元件，并計算其參數數值。

(1)u=80sin(ωt＋40°)V

i=20sin(ωt＋40°)A (2)u=100sin(377t＋10°)V

i=5sin(377t－80°)A (3)u=300sin(155t+30°)V

i=1.5sin(155t+120°)A (4)u=50cos(ωt+20°)V

i=5sin(ωt+110°)A題4-3-3圖 4-3-4已知電感的L=1H，電感兩端的電壓u=3sin(10t＋60°)V。試求通過電感元件的電流i和電感的無功功率Q，并畫出相量圖。

4-3-5電容C=8μF，流過的電流i=0.14sin(314t-45°)A。試求電容的電壓u和電容無功功率Q，并畫出相量圖。4.4阻抗的串聯

4.4.1RLC串聯電路

1．電壓與電流的關系

RLC串聯電路如圖4-4-1(a)所示。由于是串聯電路，流過各個元件的電流相同，所以可以以電流作為參考正弦量(所謂參考正弦量，是指電路中所有正弦量的大小和相位都以它為基準)，一般令參考正弦量的初相位為零，所以設流過電路的正弦電流

i=Imsinωt=Isinωt

圖4-4-1

根據前面的結論可知：

又根據基爾霍夫電壓定律的相量形式可以得出圖4-4-2

顯然， 組成一個直角三角形，稱為電壓三角形，如圖4-4-3所示。電壓三角形反映了各個正弦電壓有效值和相位之間的關系。根據勾股定理，總電壓和各個分電壓之間的關系為 由此可見，通常正弦電路端口電壓的有效值并不等于各串聯元件兩端電壓的有效值之和。圖4-4-3

根據各電壓的相量關系也可得出

(4-4-2)

式中Z稱為阻抗(impedance)，量綱為歐姆，阻抗一般是復數，但是阻抗不代表正弦量，不是相量。(4-4-3)

式(4-4-2)的形式與電阻電路的歐姆定律在形式上相似，只是電壓和電流都用相量表示，稱為RLC串聯電路歐姆定律的相量形式，可用圖4-4-1(b)所示的相量模型表示，它既表示了電路中總電壓和電流的有效值的關系，又表示了總電壓和電流的相位關系。而根據式(4-4-3)，相量模型可用阻抗Z來等效，如圖4-4-1(c)所示。 式(4-4-3)中，X=XL－XC稱為電抗(reactance)，|Z|稱為阻抗的模，φ稱為阻抗角，它是電壓三角形中總電壓U與電流I之間的夾角，即總電壓與電流的相位差。所以式(4-4-1)又可寫成

由上式可知，|Z|=U/I，|Z|反映了電路總電壓和電流有效值之間的關系。 如果將電壓三角形的三個邊同除以電流I，就得到一個新的三角形，它與電壓三角形相似，反映了電阻R、電路的電抗X和阻抗的模|Z|之間的數值關系，因此稱為阻抗三角形(見圖4-4-4(b))。應注意的是，阻抗三角形不是相量三角形。從阻抗三角形可以看出阻抗角也是阻抗的模|Z|和電阻R之間的夾角。(4-4-4)圖4-4-4

根據阻抗三角形或式(4-4-3)均可得到如下關系：

(4-4-5)

(4-4-6)

由式(4-4-5)和式(4-4-6)可知，阻抗的模|Z|和阻抗角φ與電路參數及頻率有關，而與電壓、電流無關。顯然，阻抗角除了可以通過阻抗三角形求出外，也可根據電壓三角形求出。

2．電路的性質

由于電抗X=XL－XC=ωL－1/(ωC)，因此，RLC串聯電路有以下三種不同的性質：

(1)當ωL>1/(ωC)時，XL>XC，

X>0，φ>0，電壓超前電流，其相量圖如圖4-4-2(a)所示。電路中電感的作用大于電容的作用，這種電路稱為電感性電路，可以等效為電阻與電感串聯的電路，此時電路除了消耗能量外，還與電源之間進行著電能和磁場能的交換。

(2)當ωL<1/(ωC)時，XL<XC，X<0，φ<0，電壓滯后電流，其相量圖如圖4-4-2(b)所示。電路中電容的作用大于電感的作用，這種電路稱為電容性電路，可以等效為電阻與電容串聯的電路，此時電路除了消耗能量外，還與電源之間進行著電能和電場能的交換。

(3)當ωL=1/(ωC)時，XL=XC，

X=0，φ=0，電壓和電流同相位，其相量圖如圖4-4-2(c)所示。電路中電容的作用和電感的作用相互抵消，這種電路稱為電阻性電路，這種情況稱為電路發(fā)生了串聯諧振，電路發(fā)生串聯諧振時有很多特殊現象，這一點將在4.8節(jié)中介紹。

例4-4-1

一個RLC串聯電路，外加電壓為u=12sin(6280t＋30°)V，若R=15Ω，L=3mH，C=100μF，設各元件上電壓電流參考方向關聯。求：

(1)電路的電流i；

(2)各元件上的電壓uR、

uL、

uC；

(3)畫出相量圖。

解

(1)XL=ωL=6280×3×10－3=18.8Ω

X=XL－XC=18.8－1.59=17.2Ω

由式(4-4-3)得

Z=R＋jX=15＋j17.2=22.8∠48.9°Ω 由式(4-4-2)得

因此(2)

(3)相量圖如圖4-4-5所示。圖4-4-5 4.4.2阻抗串聯的交流電路 工程實際中使用的電路模型有時是多個阻抗的串聯電路，對于多個阻抗的串聯電路可以用一個等效阻抗來代替，這屬于無源二端網絡的等效變換的問題。如圖4-4-6(a)所示電路中，有n個阻抗串聯，其中

Z1=R1+jX1=R1+j(XL1－XC1)

Z2=R2+jX2=R2+j(XL2－XC2)

…

Zn=Rn+

jXn=Rn+j(XLn－XCn)

根據基爾霍夫電壓定律的相量形式可以得出

即總電壓的相量等于各分電壓的相量之和。 各串聯阻抗流過同一電流，并且各分電壓與電流之間符合歐姆定律的相量形式，因此

上式即為歐姆定律的相量形式，Z是串聯阻抗的等效阻抗，它等于各個串聯阻抗之和，即(4-4-7)

式中：

X==X1+X2+…+Xn

因此，n個串聯的阻抗就可以用一個等效阻抗來替代，如圖4-4-6(b)所示。

需要注意的是，一般情況下

|Z|≠|Z1|＋|Z2|＋…＋|Zn|圖4-4-6

例4-4-2

圖4-4-7(a)所示電路中，Z1=12Ω，Z2=j5Ω，電壓u=130sin314tV。求：

(1)電路的電流；

(2)各個元件上的電壓u1和u2；

(3)畫出相量圖。圖4-4-7

解

(1)根據式(4-4-8)，可得等效阻抗為

Z=Z1+Z2=12+j5=13∠22.6°Ω

電壓的相量為

=130∠0°V

又根據歐姆定律相量形式，可得電流的相量為

(2)各元件上的電壓相量為

=12×10∠－22.6°=120∠－22.6°V =j5×10∠－22.6°=50∠67.4°V

所以

u1=120sin(314t－22.6°)V u2=50sin(314t＋67.4°)V

(3)相量圖如圖4-4-7(b)所示。由本題的已知條件可知，Z1為電阻的阻抗，Z2為電感的阻抗，顯然，二者串聯的等效阻抗Z為電感性阻抗。

小結

1．RLC串聯電路中總電壓和各個元件上電壓服從基爾霍夫電壓定律的相量形式，即

2．RLC串聯電路歐姆定律的相量形式為 阻抗為

Z=R+j(XL－XC)=R

＋jX=|Z|∠φ

3．幾個阻抗串聯可用一個阻抗等效替代，等效阻抗為

Z=Z1

＋Z2

＋…

＋Zn=|Z|∠φ

思考與練習

4-4-1在RLC串聯電路中，設各元件上電壓、電流參考方向關聯，問下列哪些表示式是正確的？

(1)u=uR＋uL

＋uC

(2)u=Ri＋XLi＋XCi

(3)U=UR＋

UL

＋UC

(4)U=UR＋j(UL－UC) (5) (6) 4-4-2計算下列各題，并說明電路的性質。(設 參考方向關聯。) (1)=10∠30°V，Z=5+j5Ω，=？

(2)=30∠30°V，=－3∠－165°，R=？X=？

(3)=－100∠30°V，=5e－j60°A，R=？X=？ 4-4-3已知RL串聯電路中，R=50Ω，L=0.2H，設電壓、電流參考方向關聯，并知總電壓u=220sin314tV，求阻抗Z和電路中的電流i，并畫出相量圖。4-4-4已知RLC串聯電路中，R=50Ω，L=0.2H，C=100μF，設電壓、電流參考方向關聯，并知總電壓u=413sin(314t－30°)V，求阻抗Z和電路中的電流i，并畫出相量圖。4.5導納的并聯

4.5.1

RLC并聯電路

1．電壓與電流的關系

RLC并聯電路如圖4-5-1(a)所示。由于是并聯電路，各元件電壓相等，所以，以電壓作為參考相量，并畫出相量圖如圖4-5-2所示。圖4-5-1圖4-5-2

設電路的正弦電壓為 根據前面的結論可知

(4-5-1)

式中G=1/R，稱為電導。

(4-5-2)

式中BL=1/XL，稱為感納(inductivesusceptance)。

(4-5-3)

式中BC=1/XC，稱為容納(capacitivesusceptance)。 電導、感納、容納的單位為西門子(S)。 根據基爾霍夫電流定律的相量形式可以得出

(4-5-4)

式中Y稱為導納(Admittance)，量綱為西門子，同阻抗一樣，導納也是復數，但它不代表正弦量，不是相量。

Y=G＋j(BC－BL)=G＋jB=|Y|∠φ′

(4-5-5)式中:B=BC－BL稱為電納(conductance)，|Y|稱為導納的模，φ′稱為導納角。 導納既表示了電路中電壓和總電流的有效值的關系，又表示了電壓和總電流的相位關系，因此RLC并聯電路可用圖4-5-1(b)所示的相量模型表示。根據式(4-5-5)，相量模型的電路可用導納Y來等效，如圖4-5-1(c)所示。

觀察相量圖(如圖4-5-3所示)，顯然， 也組成了一個直角三角形，稱為電流三角形。電流三角形反映了各個正弦電流有效值和相位之間的關系。根據勾股定理，總電流和各個分電流之間的關系為

與阻抗三角形一樣，我們同樣也可得到導納三角形，如圖4-5-4所示。(4-5-6)圖4-5-3圖4-5-4

根據導納三角形或式(4-5-6)均可得到如下關系： 由式(4-5-7)和式(4-5-8)可知，導納的模|Y|、導納角φ′與電路參數及頻率有關，而與電壓、電流無關。導納角φ′除了可以通過導納三角形求出外，也可通過電流三角形求出，根據電流三角形可以看出，導納角φ′表示了電流與電壓的相位差。(4-5-7)(4-5-8)

2．電路的性質 由于電納B=BC－BL=Ωc－1/(ωL)，因此，RLC并聯電路有以下三種不同的性質: (1)當ωC>1/(ωL)時，BC>BL，B>0，

φ′>0，電流超前電壓，其相量圖如圖4-5-2(a)所示。電路中的電容作用大于電感作用，這種電路稱為電容性電路，可以等效為電阻與電容并聯的電路，此時，電路除了消耗能量外，還與電源之間進行著電能和電場能的交換。

(2)當ωC<1/(ωL)時，BC<BL

，X<0，

φ′<0，電流滯后電壓，其相量圖如圖4-5-2(b)所示。電路中的電感作用大于電容作用，這種電路稱為電感性電路，可以等效為電阻與電感并聯的電路，此時，電路除了消耗能量外，還與電源之間進行著電能和磁場能的交換。

(3)當ωC=1/(ωL)時，BC=BL

，

B=0，φ′=0，電流和電壓同相位，其相量圖如圖4-5-2(c)所示。電路中電容的作用和電感的作用相互抵消，這種電路稱為電阻性電路，這種情況表明電路發(fā)生了并聯諧振。

例4-5-1

已知一個RLC并聯電路中，R=10Ω，L=

3μH，C=0.5μF，正弦電壓有效值U=5V，ω=106rad/s。求電路的總電流I，并說明電路的性質。

解根據式(4-5-5)可知，電路的導納為

Y=G

＋j(BC－BL)

其中

G==0.1S

BC=ωC=106×0.5×10－6=0.5S

于是

Y=0.1+j(0.5－0.2)=0.1+j0.3=0.316∠71.56°S 設以電壓為參考相量，則

=5∠0°V

根據式(4-5-4)得

=Y=1.58∠71.56°A，I=1.58A

因導納角φ′=71.56°>0，表示電流超前電壓，因此電路呈電容性。

4.5.2導納并聯的交流電路

通過上面的討論可知，對于多個導納的并聯電路可以用一個等效導納來代替，如圖4-5-5(a)所示電路中，有n個導納并聯，其中

Y1=G1+jB1=G1+

j(BC1－BL1)

Y2=G2+jB2=G2+j(BC2－BL2)

…

Yn=Gn+jBn=Gn+

j(BCn－BLn)

根據基爾霍夫電流定律的相量形式可以得出

(4-5-9)

即總電流的相量等于各分電流的相量之和。圖4-5-5

各并聯導納兩端的電壓相同，因此

(4-5-10)

Y是并聯導納的等效導納，它等于各個導納之和，即(4-5-11)

式中:

G==G1+G2+:+Gn，

B==B1+B2+:+Bn

因此，

n個并聯的導納可以用一個等效導納來替代，如圖4-5-5(b)所示。 也需注意的是，一般情況下|Y|≠|Y1|＋|Y2|＋…＋|Yn|。

4.5.3阻抗和導納的等效變換 我們研究電路，重點研究的是電路模型，在前面討論阻抗的串聯時，指出幾個阻抗串聯和幾個導納并聯的電路模型可以分別用一個阻抗、一個導納的電路模型等效替代。因此，一個無源二端網絡，在端口處電壓、電流參考方向關聯的條件下，既可以用一個阻抗來等效替代，也可以用一個導納來等效替代，如圖4-5-6所示。圖4-5-6

在圖4-5-6(b)中畫出的是等效阻抗的最簡單的電路模型，即電阻與電抗串聯。同樣，在圖4-5-6(c)中畫出了等效導納的最簡單的電路模型，即電導與電納并聯。 根據阻抗與導納互為倒數關系，即

若已知Z=R+jX=|Z|∠φ，則

式中：

(4-5-13)

根據式(4-5-12)和式(4-5-13)就可以由阻抗的電阻R和電抗X分別求出導納的電導G和電納B，且二者均為頻率的函數。(4-5-12)

由式(4-5-12)和式(4-5-13)可以看出 若已知Y=G＋jB=|Y|∠φ′，則 式中：

(4-5-14)

(4-5-15)

根據式(4-5-14)和式(4-5-15)就可以由導納的電導G和電納B分別求出阻抗的電阻R和電抗X，且二者均為頻率的函數。 由式(4-5-14)和式(4-5-15)可以看出

由于等效電導G、電納B、等效電阻R、電抗X都是與頻率有關的，即都是頻率的函數，因此，不同頻率的相互等效的阻抗和導納的數值亦不同。

例4-5-2

已知RL串聯電路中，R=20Ω，L=0.1H，f=50Hz，求等效導納。

解感抗為

XL=ωL=2πfL=2×