第十章數(shù)學

大一輪復習202X/01/01§10.6二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進行簡單應用.課標要求第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時精練目錄落實主干知識01單擊此處添加章節(jié)副標題1.二項分布(1)伯努利試驗只包含

可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為

.(2)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝0，1，2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作

.兩個n重伯努利試驗

X~B(n，p)(3)兩點分布與二項分布的均值、方差①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝

，D(X)＝

.②若X~B(n，p)，則E(X)＝

，D(X)＝

.2.超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.pp(1－p)npnp(1－p)

X~N(μ，σ2)x＝μx＝μ(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X~N(μ，σ2)，則E(X)＝

，D(X)＝

.μσ21.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩點分布是二項分布當n＝1時的特殊情形.(

)(2)若X表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.(

)(3)從裝有3個紅球、3個白球的盒中有放回地任取一個球，連取3次，則取到紅球的個數(shù)X服從超幾何分布.(

)(4)當μ取定值時，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”.(

)×√√×

√

3.在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品的個數(shù)，則P(X＝1)＝

.

4.已知隨機變量X~N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(X<3)＝0.5，則P(X<4)的值為

.

因為X~N(μ，σ2)，P(X<3)＝0.5，所以μ＝3，所以P(X>4)＝P(X<2)＝0.2，所以P(X<4)＝1－0.2＝0.8.0.8

返回微點提醒探究核心題型02單擊此處添加章節(jié)副標題

題型一二項分布

(2)現(xiàn)從該中學的學生中任意抽取三名學生，記X表示這三名學生中肥胖的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

X0123P二項分布問題的解題關(guān)鍵(1)定型：①在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.②各次試驗中的事件是相互獨立的.③在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.(2)定參：確定二項分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗中事件發(fā)生的概率.思維升華跟蹤訓練1

某校為了解本校學生課間進行體育活動的情況，隨機抽取了50名男生和50名女生，通過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：50名女生中有10人課間經(jīng)常進行體育活動，50名男生中有20人課間經(jīng)常進行體育活動.(1)請補全2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，判斷性別與課間經(jīng)常進行體育活動是否有關(guān)聯(lián)；性別體育活動合計課間不經(jīng)常進行體育活動課間經(jīng)常進行體育活動男

女

合計

附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

依題意，列出2×2列聯(lián)表如下：

性別體育活動合計課間不經(jīng)常進行體育活動課間經(jīng)常進行體育活動男302050女401050合計7030100根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為性別與課間是否經(jīng)常進行體育活動有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.(2)以樣本的頻率作為概率的值，在全校的男生中任取4人，記其中課間經(jīng)常進行體育活動的人數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學期望和方差.

X01234P例2

為了進一步推動智慧課堂的普及和應用，A市現(xiàn)對全市中小學智慧課堂的應用情況進行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：題型二

經(jīng)常應用偶爾應用或者不應用合計農(nóng)村40

城市60

合計10060160

超幾何分布

α0.10.050.005xα2.7063.8417.879

經(jīng)常應用偶爾應用或者不應用合計農(nóng)村404080城市602080合計10060160

(2)在經(jīng)常應用智慧課堂的學校中，按照農(nóng)村和城市的比例抽取5個學校進行分析，然后再從這5個學校中隨機抽取2個學校所在的地域進行核實，記其中農(nóng)村學校有X個，求X的分布列和數(shù)學期望.

經(jīng)常應用偶爾應用或者不應用合計農(nóng)村40

城市60

合計10060160

X012P(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的分布列.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.思維升華跟蹤訓練2

(2024·聊城模擬)隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及、大數(shù)據(jù)的驅(qū)動，線上線下相結(jié)合的新零售時代已全面開啟，新零售背景下，即時配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長.某即時配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務，提高客戶滿意度，在其A，B兩個分公司的客戶中各隨機抽取10位客戶進行了滿意度評分調(diào)查(滿分100分)，評分結(jié)果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)；

(2)規(guī)定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進建議，設被抽到的3人中分公司B的客戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.

X123P

題型三√√√正態(tài)分布

√√

解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點(1)對稱軸為x＝μ.(2)標準差為σ.(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.思維升華

抽取的200名考生數(shù)學成績的方差估計值為s2＝(80－110)2×0.02＋(90－110)2×0.09＋(100－110)2×0.22＋(110－110)2×0.33＋(120－110)2×0.24＋

返回課時精練03單擊此處添加章節(jié)副標題答案1234567891011121314題號12345678答案CAADACBCDABC題號91013

14答案0.4

64C

BCD對一對答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

11.X234P答案1234567891011121314(1)∵12×0.04＋13×0.05＋14×0.25＋15×0.35＋16×0.18＋17×0.10＋18×0.03＝15，∴估計這一地區(qū)居民點疏散所需時間t的均值為15，∵(12－15)2×0.04＋(13－15)2×0.05＋(14－15)2×0.25＋(15－15)2×0.35＋(16－15)2×0.18＋(17－15)2×0.10＋(18－15)2×0.03＝1.66，∴估計這一地區(qū)居民點疏散所需時間t的方差為1.66.(2)∵疏散時間為17小時，18小時兩組的頻率之比為10∶3，∴在疏散時間超過16小時的13個居民點中，疏散時間為17小時的有10個，12.答案1234567891011121314

12.答案1234567891011121314

X0123P12.

√1234567891011121314知識過關(guān)答案

1234567891011121314答案2.若隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，P(X≤5)＝0.55，則P(X<1)等于A.0.45 B.0.55

C.0.1

D.0.9√因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，所以P(X≤5)＝P(X≥1)＝0.55，所以P(X<1)＝1－P(X≥1)＝1－0.55＝0.45.

√1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314√答案√√

1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案√√1234567891011121314

答案三、填空題9.(2024·南通調(diào)研)已知隨機變量X~N(4，42).若P(X<3)＝0.3，則P(3<X<5)＝

，若Y＝2X＋1，則Y的方差為

.

1234567891011121314答案0.464由題意可知μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，所以D(Y)＝4D(X)＝64，因為3＋5＝2μ，且P(X<3)＝0.3，所以P(3<X<5)＝1－2P(X<3)＝0.4.10.(2024·煙臺模擬)甲、乙兩位同學進行乒乓球比賽，采用五局三勝制(當一人贏得三局時，該同學獲勝，比賽結(jié)束).根據(jù)以往比賽成績，每局比賽中甲獲勝的概率都是p(0<p<1)，且各局比賽結(jié)果相互獨立.若甲以3∶0獲勝的概率不低于甲以3∶1獲勝的概率，則p的取值范圍為

.

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

X234P(2)記李明所答題目的數(shù)量為X，求X的分布列和數(shù)學期望.12.臺風是我國東部沿海地區(qū)夏秋季節(jié)常見的自然災害，當臺風來臨之際，沿海居民點的居民必須提前進行疏散.某地有關(guān)部門為了解居民疏散所需時間，在當?shù)仉S機抽取了100處居民點進行疏散所需時間的調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如表：1234567891011121314答案疏散時間t(最接近的時間，取整數(shù))單位：小時12131415161718頻率0.040.050.250.350.180.100.03(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，視頻率為概率，估計這一地區(qū)居民點疏散所需時間t的均值和方差；1234567891011121314答案∵12×0.04＋13×0.05＋14×0.25＋15×0.35＋16×0.18＋17×0.10＋18×0.03＝15，∴估計這一地區(qū)居民點疏散所需時間t的均值為15，∵(12－15)2×0.04＋(13－15)2×0.05＋(14－15)2×0.25＋(15－15)2×0.35＋(16－15)2×0.18＋(17－15)2×0.10＋(18－15)2×0.03＝1.66，