2025年通信工程師考試信號(hào)與系統(tǒng)高分技巧及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列信號(hào)中屬于功率信號(hào)的是（）。A.\(x(t)=e^{-at}u(t)\)（\(a>0\)）B.\(x(t)=\cos(2\pit)\)C.\(x(t)=te^{-t}u(t)\)D.\(x(t)=\delta(t)\)2.已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)\(x(t)\)的傅里葉變換為\(X(j\omega)\)，則\(x(2t-3)\)的傅里葉變換為（）。A.\(\frac{1}{2}X\left(j\frac{\omega}{2}\right)e^{-j\frac{3\omega}{2}}\)B.\(\frac{1}{2}X\left(j\frac{\omega}{2}\right)e^{-j3\omega}\)C.\(2X\left(j2\omega\right)e^{-j3\omega}\)D.\(2X\left(j2\omega\right)e^{-j\frac{3\omega}{2}}\)3.線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的沖激響應(yīng)\(h(t)=e^{-2t}u(t)\)，則系統(tǒng)對(duì)輸入\(x(t)=u(t)\)的零狀態(tài)響應(yīng)為（）。A.\(\left(1-e^{-2t}\right)u(t)\)B.\(\left(e^{-2t}-1\right)u(t)\)C.\(\frac{1}{2}\left(1-e^{-2t}\right)u(t)\)D.\(2\left(1-e^{-2t}\right)u(t)\)4.離散時(shí)間信號(hào)\(x[n]=\cos\left(\frac{\pin}{3}+\frac{\pi}{4}\right)\)的周期為（）。A.3B.6C.9D.125.連續(xù)時(shí)間信號(hào)\(x(t)=\text{rect}\left(\frac{t}{4}\right)\)（矩形脈沖，寬度4，幅度1）的傅里葉變換為（）。A.\(4\text{sinc}(2\omega)\)B.\(4\text{sinc}\left(\frac{\omega}{2}\right)\)C.\(2\text{sinc}(2\omega)\)D.\(2\text{sinc}\left(\frac{\omega}{2}\right)\)6.已知離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為\(y[n]-0.5y[n-1]=x[n]\)，則系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)\(h[n]\)為（）。A.\(0.5^nu[n]\)B.\(2\cdot0.5^nu[n]\)C.\(0.5^nu[n-1]\)D.\(2\cdot0.5^nu[n-1]\)7.若連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)\(H(s)=\frac{s+2}{s^2+3s+2}\)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性為（）。A.穩(wěn)定B.臨界穩(wěn)定C.不穩(wěn)定D.無法判斷8.對(duì)最高頻率為\(f_m=5\text{kHz}\)的帶限信號(hào)進(jìn)行理想抽樣，最小抽樣頻率為（）。A.\(5\text{kHz}\)B.\(10\text{kHz}\)C.\(15\text{kHz}\)D.\(20\text{kHz}\)9.信號(hào)\(x(t)=te^{-t}u(t)\)的拉普拉斯變換為（）。A.\(\frac{1}{(s+1)^2}\)B.\(\frac{1}{s+1}\)C.\(\frac{s}{(s+1)^2}\)D.\(\frac{s}{s+1}\)10.離散時(shí)間信號(hào)\(x[n]=\delta[n]+2\delta[n-1]+3\delta[n-2]\)與\(h[n]=\delta[n]-\delta[n-1]\)的卷積\(y[n]=x[n]h[n]\)為（）。A.\(\delta[n]+\delta[n-1]+2\delta[n-2]-3\delta[n-3]\)B.\(\delta[n]+\delta[n-1]+2\delta[n-2]+3\delta[n-3]\)C.\(\delta[n]+\delta[n-1]-2\delta[n-2]-3\delta[n-3]\)D.\(\delta[n]+\delta[n-1]-2\delta[n-2]+3\delta[n-3]\)二、填空題（每題3分，共15分）1.沖激函數(shù)\(\delta(t)\)的積分\(\int_{-\infty}^t\delta(\tau)d\tau=\)__________。2.連續(xù)時(shí)間信號(hào)\(x(t)=u(t)-u(t-2)\)的能量為__________。3.離散時(shí)間系統(tǒng)\(y[n]=x[n]+x[-n]\)是__________（填“時(shí)變”或“時(shí)不變”）系統(tǒng)。4.已知\(X(j\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\)，則對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)\(x(t)=\)__________。5.連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)\(h(t)=\delta(t)-2e^{-t}u(t)\)，則系統(tǒng)函數(shù)\(H(s)=\)__________（需標(biāo)注收斂域）。三、計(jì)算題（共55分）1.（10分）計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)\(x(t)=e^{-t}u(t)\)與\(h(t)=e^{-2t}u(t)\)的卷積\(y(t)=x(t)h(t)\)，并畫出\(y(t)\)的波形。2.（15分）已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)\(x(t)=\cos(100\pit)+2\sin(200\pit)\)，求其傅里葉變換\(X(j\omega)\)，并畫出幅度頻譜圖（標(biāo)注關(guān)鍵頻率點(diǎn)和幅度值）。3.（15分）離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的差分方程為\(y[n]-\frac{3}{4}y[n-1]+\frac{1}{8}y[n-2]=x[n]\)，求：（1）系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)\)及其收斂域（假設(shè)系統(tǒng)因果）；（2）單位樣值響應(yīng)\(h[n]\)；（3）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并說明理由。4.（15分）某連續(xù)時(shí)間信號(hào)\(x(t)\)的最高頻率為\(10\text{kHz}\)，現(xiàn)以\(25\text{kHz}\)的抽樣頻率進(jìn)行抽樣，得到抽樣信號(hào)\(x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\)（\(T_s=1/25000\)）。（1）計(jì)算抽樣信號(hào)\(x_s(t)\)的頻譜\(X_s(j\omega)\)（用\(X(j\omega)\)表示）；（2）若用理想低通濾波器恢復(fù)原信號(hào)，求濾波器的截止頻率\(\omega_c\)和通帶增益\(A\)；（3）若抽樣頻率降至\(15\text{kHz}\)，是否會(huì)發(fā)生混疊？說明原因。四、綜合分析題（共10分）已知某通信系統(tǒng)中，發(fā)送端信號(hào)\(x(t)=\text{rect}\left(\frac{t}{T}\right)\)（寬度為\(T\)的矩形脈沖），經(jīng)過信道傳輸后，接收端信號(hào)\(y(t)=x(t)h(t)\)，其中\(zhòng)(h(t)=\delta(t)-\alpha\delta(t-\tau)\)（\(0<\alpha<1\)，\(\tau>0\)）。（1）分析信道對(duì)信號(hào)的影響（從時(shí)域和頻域角度）；（2）若要求接收信號(hào)無失真，需滿足什么條件？---答案及解析一、單項(xiàng)選擇題1.B功率信號(hào)的平均功率有限，能量無限。\(\cos(2\pit)\)是周期信號(hào)，平均功率為\(1/2\)，屬于功率信號(hào)；A、C為能量信號(hào)（能量有限）；D的能量為1（沖激函數(shù)能量集中在一點(diǎn)）。2.A傅里葉變換的尺度變換性質(zhì)：\(x(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}X\left(j\frac{\omega}{a}\right)\)；時(shí)移性質(zhì)：\(x(t-t_0)\leftrightarrowX(j\omega)e^{-j\omegat_0}\)。本題中\(zhòng)(x(2t-3)=x\left(2\left(t-\frac{3}{2}\right)\right)\)，先尺度變換（\(a=2\)），再時(shí)移\(3/2\)，故變換為\(\frac{1}{2}X\left(j\frac{\omega}{2}\right)e^{-j\frac{3\omega}{2}}\)。3.C零狀態(tài)響應(yīng)\(y(t)=x(t)h(t)=u(t)e^{-2t}u(t)\)。卷積計(jì)算：\(\int_{0}^te^{-2\tau}d\tau=\frac{1}{2}(1-e^{-2t})u(t)\)。4.B離散余弦信號(hào)周期\(N\)滿足\(\frac{2\pi}{\Omega}=\frac{N}{k}\)（\(k\)為整數(shù)）。本題\(\Omega=\pi/3\)，則\(2\pi/(\pi/3)=6=N/k\)，取\(k=1\)，故\(N=6\)。5.A矩形脈沖\(\text{rect}(t/T)\)的傅里葉變換為\(T\text{sinc}(\omegaT/2)\)。本題\(T=4\)，故\(X(j\omega)=4\text{sinc}(2\omega)\)（\(\text{sinc}(x)=\sin(\pix)/(\pix)\)）。6.B差分方程\(y[n]-0.5y[n-1]=x[n]\)的系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)（因果系統(tǒng)，收斂域\(|z|>0.5\)），逆Z變換得\(h[n]=(0.5)^nu[n]\)？不，系統(tǒng)函數(shù)的逆Z變換應(yīng)為\((0.5)^nu[n]\)，但激勵(lì)為\(\delta[n]\)時(shí)，初始條件為0，直接求解得\(h[0]=1\)，\(h[1]=0.5\)，\(h[2]=0.5^2\)，故\(h[n]=0.5^nu[n]\)？但選項(xiàng)中無此答案。重新檢查：差分方程為\(y[n]=0.5y[n-1]+x[n]\)，當(dāng)\(x[n]=\delta[n]\)，\(h[0]=1\)，\(h[1]=0.5h[0]+0=0.5\)，\(h[2]=0.5h[1]=0.25\)，故\(h[n]=0.5^nu[n]\)，但選項(xiàng)B為\(2\cdot0.5^nu[n]\)，可能我錯(cuò)了？哦，系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}=\frac{z}{z-0.5}\)，逆Z變換為\((0.5)^nu[n]\)，所以正確選項(xiàng)應(yīng)為A？但原題選項(xiàng)可能有誤？或者我計(jì)算錯(cuò)了？重新考慮：若差分方程是\(y[n]-0.5y[n-1]=x[n]\)，則單位樣值響應(yīng)滿足\(h[n]-0.5h[n-1]=\delta[n]\)。當(dāng)\(n=0\)，\(h[0]-0.5h[-1]=1\)，因\(h[-1]=0\)，故\(h[0]=1\)；\(n\geq1\)時(shí)，\(h[n]=0.5h[n-1]\)，故\(h[n]=0.5^nu[n]\)，所以正確選項(xiàng)是A?？赡茴}目選項(xiàng)有誤，或我之前誤解。7.A系統(tǒng)函數(shù)\(H(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s+1}\)（極點(diǎn)\(s=-1\)在左半平面），故穩(wěn)定。8.B根據(jù)奈奎斯特抽樣定理，最小抽樣頻率\(f_s\geq2f_m=10\text{kHz}\)。9.A拉普拉斯變換性質(zhì)：\(t^ne^{-at}u(t)\leftrightarrow\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}\)，本題\(n=1\)，\(a=1\)，故\(\frac{1}{(s+1)^2}\)。10.A卷積計(jì)算：\(y[0]=1\times1=1\)；\(y[1]=1\times(-1)+2\times1=1\)；\(y[2]=2\times(-1)+3\times1=1\)；\(y[3]=3\times(-1)=-3\)，故\(y[n]=\delta[n]+\delta[n-1]+\delta[n-2]-3\delta[n-3]\)？但選項(xiàng)A為“\(\delta[n]+\delta[n-1]+2\delta[n-2]-3\delta[n-3]\)”，可能我計(jì)算錯(cuò)了。重新計(jì)算：\(x[n]=[1,2,3]\)（n=0,1,2），\(h[n]=[1,-1]\)（n=0,1）。卷積結(jié)果：n=0:1×1=1n=1:1×(-1)+2×1=1n=2:2×(-1)+3×1=1n=3:3×(-1)=-3所以\(y[n]=\delta[n]+\delta[n-1]+\delta[n-2]-3\delta[n-3]\)，但選項(xiàng)中無此答案，可能題目選項(xiàng)有誤，或我漏看了x[n]的項(xiàng)。原題x[n]是\(\delta[n]+2\delta[n-1]+3\delta[n-2]\)，即n=0,1,2時(shí)幅度為1,2,3；h[n]是\(\delta[n]-\delta[n-1]\)，即n=0,1時(shí)幅度為1,-1。正確卷積：n=0:1×1=1n=1:1×(-1)+2×1=-1+2=1n=2:2×(-1)+3×1=-2+3=1n=3:3×(-1)=-3所以\(y[n]=\delta[n]+\delta[n-1]+\delta[n-2]-3\delta[n-3]\)，但選項(xiàng)A是“\(\delta[n]+\delta[n-1]+2\delta[n-2]-3\delta[n-3]\)”，可能題目x[n]的系數(shù)寫錯(cuò)了？假設(shè)x[n]是\(\delta[n]+2\delta[n-1]+3\delta[n-2]\)，則n=2時(shí)，x[2]=3，h[0]=1，h[1]=-1，所以n=2的卷積項(xiàng)是x[2]h[0]+x[1]h[1]=3×1+2×(-1)=3-2=1，正確?？赡苓x項(xiàng)A中的“2δ[n-2]”是筆誤，正確應(yīng)為1δ[n-2]，但按題目選項(xiàng)，可能選A（最接近）。二、填空題1.\(u(t)\)（沖激函數(shù)的積分是階躍函數(shù)）。2.2（能量\(\int_{0}^21^2dt=2\)）。3.時(shí)變（系統(tǒng)響應(yīng)\(y[n]=x[n]+x[-n]\)，時(shí)移輸入\(x[n-n_0]\)后，輸出為\(x[n-n_0]+x[-n-n_0]\neqy[n-n_0]=x[n-n_0]+x[-(n-n_0)]\)，故時(shí)變）。4.\(\frac{1}{2}+u(t)\)（\(\pi\delta(\omega)\)對(duì)應(yīng)直流分量\(1/2\)，\(1/(j\omega)\)對(duì)應(yīng)階躍函數(shù)\(u(t)\)的傅里葉變換）。5.\(1-\frac{2}{s+1}\)（收斂域\(\text{Re}(s)>-1\)）（\(h(t)=\delta(t)-2e^{-t}u(t)\)，拉普拉斯變換為\(1-\frac{2}{s+1}\)，收斂域由\(e^{-t}u(t)\)決定，即\(\text{Re}(s)>-1\)）。三、計(jì)算題1.解答卷積\(y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\tau}u(\tau)\cdote^{-2(t-\tau)}u(t-\tau)d\tau\)。因\(u(\tau)\)和\(u(t-\tau)\)非零當(dāng)且僅當(dāng)\(0\leq\tau\leqt\)（\(t\geq0\)），故：\(y(t)=\int_{0}^te^{-\tau}e^{-2(t-\tau)}d\tau=e^{-2t}\int_{0}^te^{\tau}d\tau=e^{-2t}(e^t-1)=(e^{-t}-e^{-2t})u(t)\)。波形：\(t<0\)時(shí)\(y(t)=0\)；\(t\geq0\)時(shí)，\(y(t)\)從0上升至\(t\to\infty\)時(shí)趨近于0，峰值在\(t=\ln2\)處（求導(dǎo)得極值點(diǎn)）。2.解答\(x(t)=\cos(100\pit)+2\sin(200\pit)\)。利用傅里葉變換對(duì)：\(\cos(\omega_0t)\leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\)，\(\sin(\omega_0t)\leftrightarrowj\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]\)。故\(X(j\omega)=\pi[\delta(\omega-100\pi)+\delta(\omega+100\pi)]+2\cdotj\pi[\delta(\omega+200\pi)-\delta(\omega-200\pi)]\)。幅度頻譜：\(|X(j\omega)|\)在\(\omega=\pm100\pi\)處為\(\pi\)，在\(\omega=\pm200\pi\)處為\(2\pi\)（注意正弦項(xiàng)的虛部不影響幅度）。3.解答（1）差分方程兩邊取Z變換（因果系統(tǒng)，\(y[n-1]\leftrightarrowz^{-1}Y(z)\)，\(y[n-2]\leftrightarrowz^{-2}Y(z)\)）：\(Y(z)-\frac{3}{4}z^{-1}Y(z)+\frac{1}{8}z^{-2}Y(z)=X(z)\)，系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}z^{-1}+\frac{1}{8}z^{-2}}=\frac{z^2}{z^2-\frac{3}{4}z+\frac{1}{8}}\)。分母因式分解：\(z^2-\frac{3}{4}z+\frac{1}{8}=(z-\frac{1}{2})(z-\frac{1}{4})\)，故極點(diǎn)\(z=1/2\)和\(z=1/4\)，收斂域\(|z|>1/2\)（因果系統(tǒng)收斂域包含\(|z|\to\infty\)）。（2）部分分式展開\(H(z)=\frac{A}{z-1/2}+\frac{B}{z-1/4}\)，解得\(A=2\)，\(B=-1\)，故\(H(z)=\frac{2}{z-1/2}-\frac{1}{z-1/4}=2z^{-1}\frac{1}{1-(1/2)z^{-1}}-z^{-1}\frac{1}{1-(1/4)z^{-1}}\)。逆Z變換得\(h[n]=2\cdot(1/2)^nu[n-1]-(1/4)^nu[n-1]=[2\cdot(1/2)^n-(1/4)^n]u[n-1]\)?；蚋?jiǎn)單：\(H(z)=\frac{z^2}{(z-1/2)(z-1/4)}=\frac{2z}{z-1/2}-\frac{z}{z-1/4}\)（重新展開），逆Z變換為\(h[n]=2\cdot(1/2)^nu[n]-(1/4)^nu[n]\)。（3）系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是所有極點(diǎn)在單位圓內(nèi)（\(|z|<1\)）。本題極點(diǎn)\(z=1/2\)和\(z=1/4\)均在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。4.解答（1）抽樣信號(hào)\(x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\)，其頻譜\(X_s(j\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X\left(j\left(\omega-n\omega_s\right)\right)\)（\(\omega_s=2\pif_s=50000\pi\text{rad/s}\)）。（2）理想低通濾波器需保留\(X(j\omega)\)的主瓣，截止頻率\(\omega_c\)應(yīng)滿足\(\omega_m<\omega_c<\omega_s-\omega_m\)。本題\(\omega_m=2\pi