9.19.2剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述和分解

9.3求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度的基點(diǎn)法

9.4求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度的瞬心法9.5用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度

9.6運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例1.剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義平面運(yùn)動(dòng)的實(shí)例1平面運(yùn)動(dòng)的實(shí)例2平面運(yùn)動(dòng)的實(shí)例3既沒有一條和原位置始終平行的直線也沒有一條始終不動(dòng)的直線。——它們的運(yùn)動(dòng)既不是平動(dòng)也不是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，

剛上各點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變?！矫孢\(yùn)動(dòng)ABCD提交圖中連桿AB

做的是

A)直線平動(dòng)B)曲線平動(dòng) C)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)D)平面運(yùn)動(dòng)單選題1分MNSA1A2A剛體作平面運(yùn)動(dòng).平面N

//平面M截割剛體得一平面圖形S.該平面圖形S始終在平面N內(nèi)運(yùn)動(dòng).A1A2⊥圖形S直線A1A2

作平動(dòng)A1A2

的運(yùn)動(dòng)═點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)

結(jié)論：剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為

平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。2.平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化OyxS3.剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)A稱為基點(diǎn)(Basepoint)，一般選為已知點(diǎn)。——?jiǎng)傮w平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程ABφyAxAφ稱為平面圖形的轉(zhuǎn)角。基點(diǎn)法4.平面運(yùn)動(dòng)的分解平面圖形S的運(yùn)動(dòng)，可以看成是隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。若φ不變，若A點(diǎn)不動(dòng)，則平面圖形做平動(dòng)則平面圖形繞A點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)ABSφABSφBABS5.平面圖形的角速度及角加速度A’B’ⅡABSⅠOyxBDj1ADj2圖形S繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度、角加速度稱為平面圖形的角速度和角加速度

不必指明其基點(diǎn)即：即：動(dòng)點(diǎn)：B絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：待求牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)動(dòng)系：(平動(dòng)坐標(biāo)系)相對(duì)運(yùn)動(dòng)

：繞A點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)OyxSwAvABxy——B點(diǎn)繞基點(diǎn)

A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，

⊥AB，指向同w一致vBvAvBA1.基點(diǎn)法

平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和?！c(diǎn)法（Methodofbasepoint）注意：⑵共包括大小﹑方向六個(gè)要素，已知任意四個(gè)要素，能求出另外兩個(gè)要素。⑴是矢量式，符合矢量合成法則；ABCD提交1. 如果AB桿上A點(diǎn)的速度是

3m/s,如果想求出

=60o時(shí)桿的角速度，選擇哪個(gè)點(diǎn)為基點(diǎn)比較方便求解? A) AB)B C) CD)一樣方便A4mB

C單選題1分15(2)選擇基點(diǎn)并求解：通常選擇速度已知的點(diǎn)作為基點(diǎn)。

本題選擇點(diǎn)A為基點(diǎn)。解：(1)運(yùn)動(dòng)分析：桿AB作平面運(yùn)動(dòng)

例1

橢圓規(guī)尺A端以速度vA沿水平向左運(yùn)動(dòng)，已知AB=l，求桿AB與水平線夾角為j

時(shí)，B端的速度以及桿AB的角速度。vAABj速度大小方向？鉛直方位水平向左vA垂直AB？作出速度平行四邊形vAABjvAvBvBAwABj

例2

如圖所示平面機(jī)構(gòu)中，AB=BD=DE=l=30cm，在圖示位置時(shí)，BD//DE，桿AB角速度為

。試求此瞬時(shí)桿DE的角速度和桿BD中點(diǎn)C的速度。

解:(1)運(yùn)動(dòng)分析：桿AB和DE——定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿BD——平面運(yùn)動(dòng)。

(2)選點(diǎn)B為基點(diǎn)作速度平行四邊形AwBDEC60°60°vDvBvBvDBwDEwBD求：桿DE的角速度和桿BD中點(diǎn)C的速度再以B為基點(diǎn)由幾何關(guān)系可求得C點(diǎn)的速度為AwBDEC60°60°vBwBDvBvCBvC2.速度投影法速度投影定理：平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度

在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。向AB連線投影OyxSwAvABxyvBvAvBAab例3圖示機(jī)構(gòu)，曲柄

OA

=10cm，以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，CD=3CB。在圖示位置時(shí)，A、B、E三點(diǎn)恰在同一水平線上，且。試求此瞬時(shí)點(diǎn)

E的速度。解：（1）運(yùn)動(dòng)分析：桿

OA、CD——定軸轉(zhuǎn)動(dòng)桿

AB、DE、輪

E作平面運(yùn)動(dòng)AwBDEC30°60°OAwBDEC30°60°O（2）應(yīng)用速度投影法求解搖桿CD作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)vEvAvBvDwCDEvE輪子沿直線軌道做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)——純滾動(dòng)速度為01.平面圖形的速度瞬心

在某一瞬時(shí)，平面圖形（或其延伸部分）上速度等于零的點(diǎn)稱為平面圖形的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱為速度瞬心。

定理：一般情況，在每一瞬時(shí)，平面圖形（或其延伸部分）上都惟一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。Sw證明：設(shè)某瞬時(shí)，平面圖形S，w，vA

。若取點(diǎn)A為基點(diǎn)，則：若點(diǎn)M位于vA

的垂線AN上，總可以找到一點(diǎn)C：Nv

MAv

ACv

Av

CAAvAM則vA和vMA

共線反向。剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，在每一瞬時(shí)，圖形內(nèi)必有一點(diǎn)為

速度瞬心；速度瞬心是隨時(shí)間而變化的，在不同瞬時(shí)，平面圖形的速度瞬心的位置是不同的。SwC2.平面運(yùn)動(dòng)圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度及其分布若選速度瞬心C作為基點(diǎn)，AvABDvBvD結(jié)論：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于該點(diǎn)繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的速度。

SwCAvABDvBvD平面圖形的運(yùn)動(dòng)可看成為繞速度瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)速度的大小等于該點(diǎn)到速度瞬心的距離與平面圖形角速度的乘積速度的方位垂直于該點(diǎn)與速度瞬心的連線，指向與角速度的轉(zhuǎn)向一致——速度瞬心法

速度瞬心法的關(guān)鍵在于確定平面圖形的速度瞬心的位置。(1)當(dāng)平面圖形沿一固定面作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)(純滾動(dòng))時(shí)。平面圖形與固定面的接觸點(diǎn)C就是圖形的速度瞬心。

車輪在純滾動(dòng)的過程中，輪緣上的各點(diǎn)相繼與地面接觸而成為車輪在不同時(shí)刻的速度瞬心。3.速度瞬心位置的確定vOCw(2)已知圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B的速度的方向，

且它們互不平行。通過點(diǎn)A、B分別作vA、vB的垂線，其交點(diǎn)C即為平面圖形的速度瞬心。SwAvABvBabCSAvABvB(3)若某瞬時(shí)，vA

∥vB

,并且速度方向垂直于AB連線。

但大小不等。則AB連線與速度vA

和vB

終端連線的交點(diǎn)C即為

速度瞬心。wCSAvABvBCwSAvABvB(4)若某瞬時(shí)，vA

=vB

時(shí)。速度瞬心在無(wú)限遠(yuǎn)處。在該瞬時(shí)，圖形上各點(diǎn)的速度分布如同平面圖形作平動(dòng)的情形一樣，因此稱瞬時(shí)平動(dòng)。

ω

=0，

vA

=vB。SBvBAvA必須注意，加速度不同。ABCD提交1. 瞬心法可以確定剛體上任一點(diǎn)的__________. A) 速度 B)加速度 C) 速度和加速度 D) 力單選題1分ABCD提交2. 剛體上任一點(diǎn)速度的方位_____該點(diǎn)與速度瞬心的連線。 A)總是平行于 B)總是垂直于 C)總是相反于 D) 總是同向于單選題1分例1如圖所示機(jī)構(gòu)中，已知A點(diǎn)速度為vA。試用速

度瞬心法求B點(diǎn)速度vB

。解：先找速度瞬心。也可求平面運(yùn)動(dòng)圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度。例如桿AB中點(diǎn)D的速度為vAABjCwvBDvD

例2半徑為

R的圓輪，沿直線軌道作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。

已知輪心O以速度vO

運(yùn)動(dòng)，

試求輪緣上點(diǎn)A、B、D

的速度。解：純滾動(dòng)，點(diǎn)C為速度瞬心。圓輪上各點(diǎn)速度為:圓輪的角速度為ODBARCwvOvAvBvDABCD提交3.

圖示車輪半徑為0.45m，角速度為w=3rad/s，轉(zhuǎn)向如圖所示，則

vB

=__________. A)0.15m/sB)0.45m/s C) 0m/sD)1.35m/s單選題1分

例3連桿如圖所示，滑塊D的速度vD=3m/s。求該瞬時(shí)桿AB和BD的角速度。解：點(diǎn)B的速度方向可判斷vBCwBDwAB

例4平面機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA以角速度w=2rad/s繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知：OA=CD=10cm，AB=20cm，BC=30cm，在圖示位置時(shí)，曲柄OA處于水平位置，曲柄CD與水平線夾角；試求該瞬時(shí)連桿AB、BC和曲柄CD的角速度。解：點(diǎn)A的速度為連桿AB作瞬時(shí)平動(dòng)，vAAjOjCDBwvB連桿BC速度瞬心為P。則連桿BC的角速度為曲柄CD的角速度為PvCwBCvAAjOjCDBwvBwCDBC=30cm課堂練習(xí)連桿機(jī)構(gòu)如圖所示，CD桿的角速度為wCD=4rad/s。求該瞬時(shí)桿AB和BC的角速度。平面圖形

S的運(yùn)動(dòng)可分解為：

隨同基點(diǎn)A的平動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)也由這兩種運(yùn)動(dòng)合成其加速度可以用加速度合成定理求出。ABSφABSφB1A1B’SSwAaAaBaeaBAaB牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)：——基點(diǎn)法

ABO1OIIIw1C例1

在外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu)中，系桿O1O

=l，以勻角速度w1

繞O1轉(zhuǎn)動(dòng)。大齒輪II固定，行星輪I半徑為r，在輪II上只滾不滑。設(shè)A和B是輪緣上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在O1O

的延長(zhǎng)線上，而點(diǎn)B則在垂直于O1O

的半徑上。試求點(diǎn)A和B的加速度。解：輪I作平面運(yùn)動(dòng)輪I的速度瞬心——接觸點(diǎn)CvOaOw

ABO1OIIIw1CvOaOw以O(shè)點(diǎn)為基點(diǎn)aOaBθaO

例2車輪沿直線純滾動(dòng)。已知車輪半徑為R，中心O速度vO，加速度為aO。求車輪上速度瞬心的加速度。解：ORaOvOCwaOα

速度瞬心的加速度不等于零!ORaOvOCwaOα例3在橢圓規(guī)的機(jī)構(gòu)中，曲柄OD以勻角速度w繞O

軸轉(zhuǎn)動(dòng)。OD=AD=BD=l。求當(dāng)j=60o時(shí)，桿AB的角加速度和點(diǎn)A的加速度。解：OD——定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；桿AB——平面運(yùn)動(dòng)。取桿AB上的點(diǎn)D為基點(diǎn)。ABjDOwwABCvDaDABjDOwwABCaD

將①式向

x軸投影：

與假設(shè)相反aDaAxh將①式向h軸投影

---------①投影方程

×工程中的機(jī)構(gòu)都是由數(shù)個(gè)物體組成的，各物體間通過聯(lián)接點(diǎn)而傳遞運(yùn)動(dòng)。為分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，首先要分清各物體都作什么運(yùn)動(dòng)，計(jì)算有關(guān)聯(lián)接點(diǎn)的速度和加速度。在分析平面圖形某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，如能確定其位置與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，則可直接建立相關(guān)運(yùn)動(dòng)方程。9.5運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例當(dāng)難以確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、或只計(jì)算機(jī)構(gòu)某些瞬時(shí)位置的運(yùn)動(dòng)參數(shù)時(shí)，可根據(jù)剛體各種不同運(yùn)動(dòng)的形式，確定此剛體的運(yùn)動(dòng)與其上一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。通常利用合成運(yùn)動(dòng)或平面運(yùn)動(dòng)的理論來(lái)分析相關(guān)的兩個(gè)點(diǎn)某瞬時(shí)的速度和加速度關(guān)系。在復(fù)雜的機(jī)構(gòu)中，可能同時(shí)有平面運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)問題。應(yīng)注意分別分析、綜合應(yīng)用有關(guān)理論。9.5運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例例1如圖所示平面機(jī)構(gòu)中，滑塊B可沿桿OA滑動(dòng)。桿BE與BD分別與滑塊B鉸接；BD桿可沿水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。滑塊

E以勻速度v沿鉛直導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)。桿

BE長(zhǎng)為。在圖示瞬時(shí)，桿

OA鉛直，且與桿BE夾角為45°。試求該瞬時(shí)桿OA的角速度與角加速度。

ABlODvEl9.5運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例

解：1、BE桿作平面運(yùn)動(dòng)，以E為基點(diǎn)沿BE方向投影？大小方向√0？√√√ABlODvElvBwBEaB速度瞬心為O點(diǎn)。

2、動(dòng)點(diǎn)：滑塊B，動(dòng)系：桿OA桿OA的角速度作速度平行四邊形ABlODvElwBEvBvevrwOA加速度合成定理投影到BD線上（順時(shí)針）ABlODvElwBEaBaraOA

例2

如圖所示平面機(jī)構(gòu)中，桿AC在導(dǎo)軌中以勻速v平動(dòng)。通過鉸鏈A帶動(dòng)桿AB沿導(dǎo)套O運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)套O與桿AC距離為l。圖示瞬時(shí)桿AB與桿AC夾角為，求該瞬時(shí)桿AB的角速度及角加速度。ABjlOCjvwABaAB9.5運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例

桿AB在導(dǎo)套O中滑動(dòng)，因此桿AB與導(dǎo)套O具有相同的角速度及角加速度。解：方法1以A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)在導(dǎo)套O上。A點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為以勻速v沿AC方向的運(yùn)動(dòng)；

相對(duì)運(yùn)動(dòng)是A點(diǎn)沿導(dǎo)套O的運(yùn)動(dòng)。

牽連運(yùn)動(dòng)為繞O的轉(zhuǎn)動(dòng)；作速度平行四邊形ABjlOCjwABvrvave投影到方向桿AB的角加速度大小為A點(diǎn)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)加速度為零。作加速度矢量圖ABjlOCjvwABaAB將其兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意到再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：方法2以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立Oxy直角坐標(biāo)系A(chǔ)BjlOCjvxyxAwABaAB

例3

如圖所示平面機(jī)構(gòu)。AB長(zhǎng)為l，滑塊A可沿?fù)u桿OC的長(zhǎng)槽滑動(dòng)。搖桿OC以勻角速度w繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B以勻速沿水平導(dǎo)軌滑動(dòng)。圖示瞬時(shí)OC鉛直，AB與水平線OB夾角為30°。求此瞬時(shí)AB桿的角速度及角加速度。1、桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，以B為基點(diǎn)

解：？大小方向?v？√√2、動(dòng)點(diǎn)：滑塊A，動(dòng)系：桿OC?大小方向?√？√√3、兩式聯(lián)合61沿vB方向投影AB桿的角速度為沿vr方向投影得以B為基點(diǎn)A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于OC上4、加速度分析？大小方向?